دالة سيجمويد

الدالة السينية هي أي دالة رياضية يكون لرسمها البياني شكل مميز على هيئة حرف S أو منحنى سيجمويد .

ومن الأمثلة الشائعة على الدالة السينية الدالة اللوجستية .

تُعرض دوال سيجمويد أخرى في قسم الأمثلة . في بعض المجالات، ولا سيما في سياق الشبكات العصبية الاصطناعية ، يُستخدم مصطلح "دالة سيجمويد" كمرادف لـ "الدالة اللوجستية".

تشمل الحالات الخاصة للدوال السينية منحنى جومبيرتز (المستخدم في نمذجة الأنظمة التي تصل إلى حالة التشبع عند قيم x الكبيرة ) ومنحنى أوجي (المستخدم في مفيض بعض السدود ). مجال الدوال السينية هو جميع الأعداد الحقيقية ، وقيمة الاستجابة (العائد) عادةً ما تكون متزايدة بشكل رتيب ، ولكن قد تكون متناقصة. في أغلب الأحيان، تُظهر الدوال السينية قيمة عائد ( محور y ) في النطاق من 0 إلى 1. وهناك نطاق شائع الاستخدام آخر هو من -1 إلى 1.

وهناك أيضًا دالة هيفسايد المتدرجة ، التي تنتقل بشكل فوري بين 0 و 1.

استُخدمت مجموعة واسعة من الدوال السينية، بما في ذلك الدالتان اللوجستية والظل الزائدي، كدوال تنشيط للخلايا العصبية الاصطناعية . كما تُستخدم المنحنيات السينية بكثرة في الإحصاء كدوال توزيع تراكمي (تتراوح قيمها بين 0 و1)، مثل تكاملات دالة الكثافة اللوجستية ، ودالة الكثافة الطبيعية ، ودالة كثافة احتمال توزيع t للطالب . الدالة السينية اللوجستية قابلة للعكس، ومعكوسها هو دالة اللوجيت .

في الرياضيات، الدالة السينية الوحدوية هي دالة محدودة من النوع السيني مُعَيَّرة إلى نطاق الوحدة، وعادةً ما يكون لها خطوط تقارب دنيا وعليا عند 0 و1. تميز النظرية التي اقترحها غريبينك ^{[ 1 ]} ثلاثة أنواع من الدوال السينية الوحدوية وفقًا لسلوكها التقاربي ووجود أو عدم وجود تذبذب بالقرب من خطوط التقارب.

الصيغة العامة لدالة سيجمويد الوحدوية هي

${\displaystyle y=A\,S(f(x))+B,}$

أين${\displaystyle S}$هي دالة سيجمويد متزايدة،${\displaystyle f(x)}$هو تحويل للمتغير المستقل، و${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي ثوابت تتحكم في التحجيم والترجمة.

تصنيف

^النوع الأول​

الدالة السينية الوحدوية من النوع الأول هي دالة متزايدة ومحدودة تقترب من خطيها التقاربيين الأدنى والأعلى بشكل رتيب، دون تذبذب. تشمل هذه الفئة العديد من الدوال السينية القياسية المستخدمة في الإحصاء والرياضيات الحيوية والهندسة، مثل الدالة اللوجستية والتعميمات ذات الصلة.

النوع الثاني^​

الدالة السينية الوحدوية من النوع الثاني هي دالة متزايدة محدودة تتذبذب بالقرب من الخط المقارب العلوي مع الحفاظ على انتقال سيجمويدي شامل.

النوع الثالث^​

الدالة السينية الوحدوية من النوع الثالث هي دالة متزايدة محدودة تتذبذب بالقرب من كل من خطي التقارب الأدنى والأعلى. تحتفظ هذه الدوال بالشكل العام لمنحنى سيجمويد، لكنها تُظهر سلوكًا تذبذبيًا في جوار كلتا الحالتين الحدّيتين.

التصنيف

توضح الجداول أدناه تصنيف الدوال السينية الوحدوية من جميع الأنواع الثلاثة.

الجدول 1. مصفوفة التصنيف مع أمثلة على الدوال السينية من النوع ^الأول

لا	نوع الدالة السينية	فترة غير محدودة${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )}$	فاصل زمني شبه محدود${\displaystyle x\in [0,+\infty ),\ a>1,\ a\notin 2n,\ b>0}$	فاصل زمني أحادي${\displaystyle x\in (0,1),\ a,b>0}$
1	عاقِل	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {x}{|a|+|x|}}\right)}$(إليوت [ 2 ] )	${\displaystyle \left(1+(b\,x)^{-a}\right)^{-c}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {(b+{\frac {1}{0-x}}+{\frac {1}{1-x}})}{\left|a\right|+\left|b+{\frac {1}{0-x}}+{\frac {1}{1-x}}\right|}}\right)}$
2	غير عقلاني	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\right)}$(جبري)${\displaystyle {\sqrt[{-b}]{1+e^{-b\,a\,x}}}}$(ريتشاردز [ 3 ] )	${\displaystyle {\frac {x^{a}}{\sqrt {b^{2}+x^{2a}}}}}$	${\displaystyle \left(1-\left(1-x^{a}\right)^{b}\right)^{c}}$
3	النمو الأسي	${\displaystyle \left(1+e^{-a\,x}\right)^{-1}}$(لوجستيك/فيرهولست [ 4 ] )${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2|x|}}\left(1-e^{-a|x|}\right)}$(لابلاس [ 5 ] )	${\displaystyle 2^{-b^{-x^{a}}}}$؛${\displaystyle 1-e^{a\,x^{2}}}$(رايلي [ 6 ] )	${\displaystyle \left(1+e^{\frac {-a\,(2x^{b}-1)}{x^{b}(1-x^{b})}}\right)^{-1}}$
4	اللوغاريتمي	${\displaystyle \ln \!\left({\frac {1+e^{ax}e^{\frac {1}{2}}}{1+e^{ax}e^{-{\frac {1}{2}}}}}\right)}$	${\displaystyle \ln \!\left({\frac {1+x^{a}e^{\frac {1}{2}}}{1+x^{a}e^{-{\frac {1}{2}}}}}\right)}$	${\displaystyle \ln \!\left({\frac {1+e^{\frac {a(2x^{b}-1)}{x^{b}(1-x^{b})}}e^{\frac {1}{2}}}{1+e^{\frac {a(2x^{b}-1)}{x^{b}(1-x^{b})}}e^{-{\frac {1}{2}}}}}\right)}$
5	حساب المثلثات	${\displaystyle \sin \!\left({\frac {\pi }{2+2\,e^{-a\,x}}}\right)}$	${\displaystyle \sin \!\left({\frac {\pi \,e^{a\ln(x)}}{2+2\,e^{a\ln(x)}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-\cos(\pi \,x)\right)}$
6	المعكوس المثلثي	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(a\,x)}$(لورنز [ 7 ] )	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(x^{a})}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \!\left({\frac {a(2x^{b}-1)}{x^{b}(1-x^{b})}}\right)}$
7	زائدي	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh(a\,x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh(a\ln(x))}$(لوجستي-لوغ [ 8 ] )	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \!\left({\frac {a(2x^{b}-1)}{x^{b}(1-x^{b})}}\right)}$
8	القطع الزائد العكسي	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arcsin \!\left({\frac {1}{1+e^{-a(x-c)}}}\right),\ e^{c}={\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arcsin \!\left({\frac {x^{a}}{1+x^{a}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arcsin \!\left({\frac {1}{1+e^{a\cot(\pi x)}}}\right)}$
9	خاص	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {erf} \!\left({\frac {a}{\sqrt {2}}}\,x\right)}$(عادي [ 9 ] [ 10 ] )	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {erf} \!\left({\frac {a}{\sqrt {2}}}\ln(x)\right)}$(التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي [ 11 ] )	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {erf} \!\left({\frac {a(2x^{b}-1)}{x^{b}(1-x^{b})}}\right)}$
10	الاحتمالية	—	${\displaystyle e^{\left(a-{\frac {b^{2}}{2}}\right)x+b\,w_{i}}\cdot \left(y_{0}^{-1}+a\int _{0}^{x}e^{\left(a-{\frac {b^{2}}{2}}\right)s+b\,w_{s}}ds\right)^{-1}}$	—
11	فوضوي	${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+yz,\quad {\frac {dy}{dt}}=-ay+az,\quad {\frac {dz}{dt}}=-z+by-(b-1)xy}$(غريبينك [ 12 ] )	—	—

الجدول 2. مصفوفة التصنيف مع أمثلة على الدوال السينية من النوع ^الثاني على الفترة غير المحدودة

لا	نوع الدالة السينية	فترة غير محدودة${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty ),\ A<1,\ b>0,\ A+B=1}$	توضيح
1	جميع الدوال من الجدول 1	${\displaystyle s(a\,x)+A\cdot \operatorname {Ai} (-b\,x)}$	إضافة${\displaystyle A\cdot \operatorname {Ai} (-bx)}$إلى الوظائف${\displaystyle s(ax)}$من العمود الثالث من الجدول 1، حيث${\displaystyle \operatorname {Ai} }$هي وظيفة Airy Ai
2	خاص	${\displaystyle a\int \operatorname {Ai} (-a\,x)\,dx+{\tfrac {1}{3}}}$
3	خاص	${\displaystyle A\,s(a\,x)+{\frac {B}{8}}\left(1+2\,C(a\,x)\right)^{2}+{\frac {B}{8}}\left(1+2\,S(a\,x)\right)^{2}}$	${\displaystyle C}$،${\displaystyle S}$هي تكاملات فرينل
4	خاص	${\displaystyle 1-{\frac {\sin(b\,e^{a\,x})}{b\,e^{a\,x}}}}$
5	خاص	${\displaystyle 1-J_{0}\!\left(b\,e^{a\,x}\right)}$	${\displaystyle J_{0}}$هي دالة بيسل J

الجدول 3. مصفوفة التصنيف مع أمثلة على الدوال السينية من النوع ^الثالث

لا	يكتب	فترة غير محدودة${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty ),\ A+B=1,\ B\neq 0}$	توضيح
1	خاص	${\displaystyle A\,s(a\,x)+B\!\left({\tfrac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {Si} (ax)}{\pi }}\right)}$	إضافة${\displaystyle B\!\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {Si} (ax)}{\pi }}\right)}$إلى الوظائف${\displaystyle A\,s(ax)}$من العمود الثالث من الجدول 1، حيث${\displaystyle \operatorname {Si} }$هي دالة التكامل الجيبي
2	خاص	${\displaystyle A\,s(a\,x)+B\!\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}e^{\operatorname {Ci} (ax)}\right)}$	إضافة${\displaystyle B\!\left({\frac {1}{2}}+{\frac {e^{\operatorname {Ci} (ax)}}{2}}\right)}$إلى الوظائف${\displaystyle A\,s(ax)}$من العمود الثالث من الجدول 1، حيث${\displaystyle \operatorname {Ci} }$هي دالة التكامل الجيبية
3	خاص	${\displaystyle A\,s(a\,x)+B\!\left({\tfrac {1}{2}}+S(a\,x)\right)}$	${\displaystyle S(ax)}$التكامل S لفرينل
4	خاص	${\displaystyle A\,s(a\,x)+B\!\left({\tfrac {1}{2}}+C(a\,x)\right)}$	${\displaystyle C(ax)}$هو تكامل فرينل C

الدالة السينية هي دالة حقيقية محدودة وقابلة للتفاضل ، معرفة لجميع قيم المدخلات الحقيقية ولها مشتقة موجبة عند كل نقطة. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

بشكل عام، تكون الدالة السينية رتيبة ، ولها مشتقة أولى على شكل منحنى جرسي . وعلى العكس، فإن تكامل أي دالة متصلة، غير سالبة، على شكل منحنى جرسي (مع قيمة عظمى محلية واحدة ولا توجد لها قيمة صغرى محلية، إلا إذا كانت منعدمة ) يكون تكاملاً سينياً. وبالتالي، فإن دوال التوزيع التراكمي للعديد من التوزيعات الاحتمالية الشائعة هي دوال سينية. ومن الأمثلة على ذلك دالة الخطأ ، المرتبطة بدالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي ؛ ومثال آخر هو دالة الظل العكسي ، المرتبطة بدالة التوزيع التراكمي لتوزيع كوشي .

تُقيَّد الدالة السينية بزوج من خطوط التقارب الأفقية كما يلي:${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$.

تكون الدالة السينية محدبة للقيم الأقل من نقطة معينة، وتكون مقعرة للقيم الأكبر من تلك النقطة: في العديد من الأمثلة هنا، تكون تلك النقطة هي 0.

• الدالة اللوجستية$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$$
• الظل الزائدي (نسخة مُزاحة ومُقاسة من الدالة اللوجستية، أعلاه)$${\displaystyle f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$$
• دالة الظل العكسي$${\displaystyle f(x)=\arctan x}$$
• دالة غودرمان$${\displaystyle f(x)=\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)}$$
• دالة الخطأ$${\displaystyle f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$$
• دالة لوجستية معممة$${\displaystyle f(x)=\left(1+e^{-x}\right)^{-\alpha },\quad \alpha >0}$$
• وظيفة التدرج السلس$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\displaystyle \left(\int _{0}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{N}du\right)^{-1}\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}\right)^{N}\ du},&|x|\leq 1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\quad N\in \mathbb {Z} \geq 1}$$
• بعض الدوال الجبرية ، على سبيل المثال$${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$$
• وبصيغة أكثر عمومية ^{[ 15 ]}$${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\left(1+|x|^{k}\right)^{1/k}}}}$$
• باستثناء التحولات والتحجيم، فإن العديد من الدوال السينية هي حالات خاصة من$${\displaystyle f(x)=\varphi (\varphi (x,\beta ),\alpha ),}$$أين$${\displaystyle \varphi (x,\lambda )={\begin{cases}(1-\lambda x)^{1/\lambda }&\lambda \neq 0\\e^{-x}&\lambda =0\\\end{cases}}}$$هو معكوس تحويل بوكس-كوكس السالب ، و${\displaystyle \alpha <1}$و${\displaystyle \beta <1}$هي معلمات الشكل. ^{[ 16 ]}
• دالة الانتقال السلس ^{[ 17 ]} مُعَيَّرة إلى (−1,1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{1+e^{-2m{\frac {x}{1-x^{2}}}}}}-1},&|x|<1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\displaystyle \tanh \left(m{\frac {x}{1-x^{2}}}\right)},&|x|<1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$باستخدام دالة الظل الزائدي المذكورة أعلاه. هنا،${\displaystyle m}$هو مُعامل حر يُشفّر الميل عند${\displaystyle x=0}$والتي يجب أن تكون أكبر من أو تساوي${\displaystyle {\sqrt {3}}}$لأن أي قيمة أصغر ستؤدي إلى دالة ذات نقاط انعطاف متعددة، وبالتالي فهي ليست دالة سيجمويد حقيقية. هذه الدالة غير عادية لأنها تصل فعليًا إلى القيمتين الحديتين -1 و1 ضمن نطاق محدود، مما يعني أن قيمتها ثابتة عند -1 لجميع قيم .${\displaystyle x\leq -1}$و1 للجميع${\displaystyle x\geq 1}$ومع ذلك، فهو سلس (قابل للتفاضل إلى ما لا نهاية،${\displaystyle C^{\infty }}$) في كل مكان ، بما في ذلك في${\displaystyle x=\pm 1}$.

تُظهر العديد من العمليات الطبيعية، مثل منحنيات التعلم في الأنظمة المعقدة ، تطورًا يبدأ بخطوات صغيرة ثم يتسارع ويقترب من ذروته بمرور الوقت. ^{[ 18 ]} وعندما لا يتوفر نموذج رياضي محدد، غالبًا ما تُستخدم دالة سيجمويد. ^{[ 19 ]}

يعتمد نموذج فان جينوختن-جوبتا على منحنى S مقلوب ويتم تطبيقه على استجابة محصول المحاصيل لملوحة التربة .

تظهر أمثلة على تطبيق منحنى S اللوجستي على استجابة محصول القمح لكل من ملوحة التربة وعمق مستوى المياه الجوفية في التربة في نمذجة استجابة المحاصيل في الزراعة .

في الشبكات العصبية الاصطناعية ، تُستخدم الدوال غير الملساء أحيانًا لتحقيق الكفاءة؛ وتُعرف هذه الدوال باسم الدوال السينية الصلبة .

في معالجة الإشارات الصوتية ، تُستخدم الدوال السينية كدوال نقل لتشكيل الموجة لمحاكاة صوت قص الدوائر التناظرية . ^{[ 20 ]}

في معالجة الإشارات الرقمية عمومًا، تتميز الدوال السينية، نظرًا لرتبة استمراريتها العالية، بانخفاض تقاربي أسرع بكثير في مجال التردد مقارنةً بدالة هيفسايد المتدرجة، ولذلك فهي مفيدة لتنعيم الانقطاعات قبل أخذ العينات لتقليل التداخل. يُستخدم هذا، على سبيل المثال، لتوليد موجات مربعة في العديد من أنواع أجهزة توليف الصوت الرقمية .

في الكيمياء الحيوية وعلم الأدوية ، تعتبر معادلات هيل وهيل -لانغمير دوال سيجمويد.

في القيادة ، يتم تغيير المسارات بسلاسة عن طريق اتباع مسار سيجمويدي.

في رسومات الحاسوب والعرض في الوقت الحقيقي، تُستخدم الدوال السينية لمزج الألوان أو الأشكال الهندسية بين قيمتين، مما ينتج عنه انتقالات سلسة بدون فواصل أو انقطاعات مرئية.

تتخذ منحنيات المعايرة بين الأحماض القوية والقواعد القوية شكلاً سينياً بسبب الطبيعة اللوغاريتمية لمقياس الرقم الهيدروجيني .

يمكن حساب الدالة اللوجستية بكفاءة باستخدام النوع الثالث من الأعداد غير المحددة . ^{[ 21 ]}

تم بناء تسلسل هرمي لنماذج النمو السيني ذات تعقيد متزايد (عدد المعاملات) ^{[ 22 ]} بهدف أساسي هو إعادة تحليل البيانات الحركية، ما يُسمى منحنيات Nt، من تجارب التكوين النووي غير المتجانس ^{[ 23 ]} في الكيمياء الكهربائية . يتضمن هذا التسلسل الهرمي حاليًا ثلاثة نماذج، بمعامل واحد، ومعاملين، وثلاثة معاملات على التوالي، إذا لم يتم احتساب الحد الأقصى لعدد النوى N _max - نموذج tanh ² يُسمى α ₂₁ ^{[ 24 ]} تم تصميمه في الأصل لوصف نمو البلورات المحدود بالانتشار (وليس التجميع!) في بعدين، ونموذج جونسون-ميهل-أفرامي-كولموغوروف (JMAK) ^{[ 25 ]} ، ونموذج ريتشاردز . ^{[ 26 ]} لقد تبين أنه بالنسبة للغرض المحدد، حتى أبسط نموذج يعمل، وبالتالي فقد تم استنتاج أن التجارب التي تمت إعادة النظر فيها هي مثال على التكوين النووي على مرحلتين، حيث تتمثل المرحلة الأولى في نمو الطور شبه المستقر الذي تتشكل فيه نوى الطور المستقر. ^{[ 22 ]}

• ميتشل، توم م. (1997). تعلم الآلة . دبليو سي بي ماكجرو هيل . رقم ISBN 978-0-07-042807-2.. (ملاحظة: انظر على وجه الخصوص "الفصل 4: الشبكات العصبية الاصطناعية" (وخاصة الصفحات  96-97) حيث يستخدم ميتشل مصطلح "الدالة اللوجستية" و"الدالة السينية" بشكل مترادف - ويطلق على هذه الدالة أيضًا اسم "دالة الضغط" - وتستخدم الدالة السينية (المعروفة أيضًا باسم الدالة اللوجستية) لضغط مخرجات "الخلايا العصبية" في الشبكات العصبية متعددة الطبقات.)
• همفريز، مارك. "الإخراج المستمر، دالة سيجمويد" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 يوليو 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 يوليو 2022 .(ملاحظة: خصائص الدالة السينية، بما في ذلك كيفية تحركها على طول المحاور وكيفية تحويل نطاقها.)