تخمين أغوه-جيوغا

في نظرية الأعداد ، حدسية أغوه-جيوغا حول أعداد برنولي${\displaystyle B_{k}}$يفترض ذلك${\displaystyle p}$يكون عددًا أوليًا إذا وفقط إذا

${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1\!{\pmod {p}}.}$

وقد سميت على اسم تاكاشي أغوه وجوزيبي جيوغا .

إن الفرضية المذكورة أعلاه تعود إلى تاكاشي أغوه؛ ^{[ 1 ]} أما الصياغة المكافئة فتعود إلى جوزيبي جيوجا، من عام 1950، ^{[ 2 ]} ومفادها أن${\displaystyle p}$يكون عدد أولي إذا وفقط إذا

${\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1\!{\pmod {p}}}$،

والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1\!{\pmod {p}}.}$

من السهل إثبات ذلك${\displaystyle p}$يكفي أن يكون العدد أوليًا لكي يتحقق التكافؤ الثاني، لأنه إذا${\displaystyle p}$إذا كان العدد أوليًا، تنص نظرية فيرما الصغرى على أن

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

ل${\displaystyle a=1,2,\dots ,p-1}$ويترتب على ذلك التكافؤ لأن${\displaystyle p-1\equiv -1\!{\pmod {p}}.}$

لا يزال هذا البيان مجرد تخمين لأنه لم يتم إثبات ذلك بعد إذا كان العدد${\displaystyle n}$ليس عددًا أوليًا (أي إذا${\displaystyle n}$إذا كان العدد مركباً ، فإن الصيغة لا تنطبق. وقد ثبت أن العدد المركب${\displaystyle n}$يحقق العدد الصيغة إذا وفقط إذا كان عددًا من أعداد كارمايكل وعددًا من أعداد جيوجا ، وإذا وُجد مثل هذا العدد، فإنه يحتوي على 13800 رقم على الأقل. ^{[ 3 ]} في عام 2001، أثبت سوريني أن المثال المضاد المحتمل يجب أن يكون أكبر من ^1036067 ، ^{[ 4 ]} وهو ما يمثل الحد الذي اقترحه بيدوتشي لتقنية البرهان التي حددها جيوجا لتخمينه.

تُشابه حدسية أغوه-جيوغا نظرية ويلسون ، التي ثبتت صحتها. تنص نظرية ويلسون على أن عددًا${\displaystyle p}$يكون عدد أولي إذا وفقط إذا

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1\!{\pmod {p}},}$

والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1\!{\pmod {p}}.}$

لعدد أولي فردي${\displaystyle p}$لدينا

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1\!{\pmod {p}},}$

ولـ${\displaystyle p=2}$لدينا

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1\!{\pmod {p}}.}$

إذن، فإن صحة حدسية أغوه-جيوغا مقترنة بنظرية ويلسون تعطي: عددًا${\displaystyle p}$يكون عدد أولي إذا وفقط إذا

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1\!{\pmod {p}}}$

و

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1\!{\pmod {p}}.}$

• عدد برنولي §  الخصائص الحسابية لأعداد برنولي