رقم برنولي

أرقام برنولي ب^±
_ن

ن	جزء	عشري
0	1	+1.000000000
1	± ⁠1/2⁠	±0.500000000
2	⁠1/6⁠	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	- ⁠1/30⁠	-0.033333333
5	0	+0.000000000
6	⁠1/42⁠	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	- ⁠1/30⁠	-0.033333333
9	0	+0.000000000
10	⁠5/66⁠	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	- ⁠691/2730⁠	-0.253113553
13	0	+0.000000000
14	⁠7/6⁠	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	- ⁠3617/510⁠	-7.092156862
17	0	+0.000000000
18	⁠43867/798⁠	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	- ⁠174611/330⁠	-529.1242424

في الرياضيات ، أعداد برنولي B _n هي متوالية من الأعداد النسبية التي تظهر بشكل متكرر في التحليل . تظهر أعداد برنولي في (ويمكن تعريفها من خلال) توسعات متسلسلة تايلور للدوال الظلية والدوال الظلية الزائدية ، وفي صيغة فاولهابر لمجموع القوى m -th لأول n عدد صحيح موجب، وفي صيغة أويلر-ماكلورين ، وفي تعبيرات لقيم معينة من دالة زيتا لريمان .

قيم أول 20 رقم برنولي معطاة في الجدول المجاور. يتم استخدام اتفاقيتين في الأدبيات، يشار إليهما هنا بـ و ؛ يختلفان فقط بالنسبة لـ n = 1 ، حيث و . لكل عدد فردي n > 1 ، B _n = 0 . لكل عدد زوجي n > 0 ، B _n يكون سالبًا إذا كان n قابلًا للقسمة على 4 وموجبًا بخلاف ذلك. أرقام برنولي هي قيم خاصة لمتعددات حدود برنولي ، مع و . ^[1]${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

تم اكتشاف أعداد برنولي في نفس الوقت تقريبًا بواسطة عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي ، الذي سميت باسمه، وبشكل مستقل بواسطة عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو . نُشر اكتشاف سيكي بعد وفاته في عام 1712 ^{[2] [3] [4]} في عمله كاتسويو سانبو ؛ كما نُشر اكتشاف برنولي، بعد وفاته أيضًا، في كتابه آرس كونكيكانتدي عام 1713. تصف ملاحظة آدا لوفليس G حول المحرك التحليلي من عام 1842 خوارزمية لتوليد أعداد برنولي باستخدام آلة باباج ؛ ^[5] ومن المتنازع عليه ما إذا كان لوفليس أو باباج هو من طور الخوارزمية . ونتيجة لذلك، تتميز أعداد برنولي بأنها موضوع أول برنامج كمبيوتر معقد منشور .

يميز الرمز العلوي ± المستخدم في هذه المقالة بين اتفاقيتي الإشارة لأرقام برنولي. ويتأثر فقط الحد n = 1 :

• ب^-
  _ن مع ب^-
  ₁= −1/2 ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) هي اتفاقية الإشارة التي يحددها المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ومعظم الكتب المدرسية الحديثة. ^[6]
• ب⁺
  _نمع ب⁺
  ₁= +1/2 ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) تم استخدامه في الأدبيات القديمة، ^[1] و(منذ عام 2022) بواسطة دونالد كنوث ^[7] بعد "بيان برنولي" لبيتر لوشني. ^[8]

في الصيغ أدناه، يمكنك التبديل من اتفاقية إشارة إلى أخرى باستخدام العلاقة ، أو بالنسبة للعدد الصحيح n = 2 أو أكبر، يمكنك ببساطة تجاهلها. ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

نظرًا لأن B _n = 0 لجميع الأعداد الفردية n > 1 ، ولأن العديد من الصيغ لا تتضمن سوى أعداد برنولي ذات الفهرس الزوجي، فإن بعض المؤلفين يكتبون " B _n " بدلاً من B _{2 n}  . لا تتبع هذه المقالة هذا الترميز.

تعود جذور أعداد برنولي إلى التاريخ المبكر لحساب مجموعات القوى الصحيحة، والتي كانت موضع اهتمام علماء الرياضيات منذ العصور القديمة.

كانت هناك طرق معروفة لحساب مجموع أول n من الأعداد الصحيحة الموجبة، ومجموع مربعات ومكعبات أول n من الأعداد الصحيحة الموجبة، ولكن لم تكن هناك "صيغ" حقيقية، بل كانت هناك أوصاف معطاة بالكامل بالكلمات. ومن بين علماء الرياضيات العظماء في العصور القديمة الذين فكروا في هذه المشكلة فيثاغورس (حوالي 572-497 قبل الميلاد، اليونان)، وأرخميدس (287-212 قبل الميلاد، إيطاليا)، وأريابهاتا (ولد عام 476، الهند)، وأبو بكر الكرجي (توفي عام 1019، بلاد فارس)، وأبو علي الحسن بن الحسن بن الهيثم (965-1039، العراق).

خلال أواخر القرن السادس عشر وأوائل القرن السابع عشر، أحرز علماء الرياضيات تقدمًا كبيرًا. ففي الغرب، لعب توماس هاريوت (1560-1621) من إنجلترا، ويوهان فاولهابر (1580-1635) من ألمانيا، وبيير دي فيرما (1601-1665) وزميله عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال (1623-1662) أدوارًا مهمة.

يبدو أن توماس هاريوت كان أول من استنتج وكتب صيغًا لمجموعات القوى باستخدام التدوين الرمزي، ولكن حتى هو لم يحسب إلا حتى مجموع القوى الرابعة. أعطى يوهان فاولهابر صيغًا لمجموعات القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه " أكاديمية الجبر" عام 1631 ، وهي صيغ أعلى بكثير من أي شخص سبقه، ولكنه لم يقدم صيغة عامة.

أثبت بليز باسكال في عام 1654 متطابقة باسكال من خلال ربط مجموعات القوى p من أول n عدد صحيح موجب لـ p = 0, 1, 2, ..., k .

كان عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي (1654-1705) أول من أدرك وجود تسلسل واحد من الثوابت B ₀ ، B ₁ ، B ₂ ،... والتي توفر صيغة موحدة لجميع مجموعات القوى. ^[9]

يمكن رؤية الفرحة التي شعر بها برنولي عندما توصل إلى النمط اللازم لحساب معاملات صيغته لمجموع القوى c لأي عدد صحيح موجب c بسرعة وسهولة من خلال تعليقه. كتب:

"بمساعدة هذا الجدول، استغرق الأمر مني أقل من نصف ربع ساعة لأجد أن القوى العشرية لأول 1000 رقم عند جمعها معًا ستعطي المجموع 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500."

نُشرت نتيجة برنولي بعد وفاته في مجلة Ars Conjectandi في عام 1713. اكتشف سيكي تاكاكازو بشكل مستقل أعداد برنولي ونشرت نتيجته قبل عام، أيضًا بعد وفاته، في عام 1712. ^[2] ومع ذلك، لم يقدم سيكي طريقته كصيغة تعتمد على سلسلة من الثوابت.

صيغة برنولي لمجموع القوى هي الصيغة الأكثر فائدة وقابلية للتعميم حتى الآن. تُسمى المعاملات في صيغة برنولي الآن أعداد برنولي، بناءً على اقتراح أبراهام دي موافر .

تُسمى صيغة برنولي أحيانًا بصيغة فاولهابر نسبةً إلى يوهان فاولهابر الذي وجد طرقًا رائعة لحساب مجموع القوى لكنه لم يذكر صيغة برنولي مطلقًا. ووفقًا لكنوث ^[9]، فقد نُشر لأول مرة دليل صارم على صيغة فاولهابر بواسطة كارل جاكوبي في عام 1834. ^[10] وتستنتج دراسة كنوث المتعمقة لصيغة فاولهابر (سيتم شرح التدوين غير القياسي على LHS لاحقًا):

"لم يكتشف فاولهابر أبدًا أرقام برنولي؛ أي أنه لم يدرك أبدًا أن تسلسلًا واحدًا من الثوابت B ₀ ، B ₁ ، B ₂ ، ... من شأنه أن يوفر

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

بالنسبة لجميع مجموعات القوى. لم يذكر قط، على سبيل المثال، حقيقة أن ما يقرب من نصف المعاملات تحولت إلى صفر بعد أن حول صيغه لـ Σ n ^m من حدوديات في N إلى حدوديات في n ." ^[11]

في ما سبق كان قصد كنوث ؛ بدلاً من ذلك، استخدم الصيغة لتجنب الطرح: ${\displaystyle B_{1}^{-}}$${\displaystyle B_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

تم تقديم أرقام برنولي OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) بواسطة جاكوب برنولي في كتاب Ars Conjectandi الذي نُشر بعد وفاته في عام 1713 صفحة 97. يمكن رؤية الصيغة الرئيسية في النصف الثاني من النسخة المقابلة. يتم تعيين المعاملات الثابتة التي أشار إليها برنولي A و B و C و D إلى الترميز السائد الآن على النحو التالي: A = B ₂ و B = B ₄ و C = B ₆ و D = B _8. تعني العبارة c · c −1· c −2· c −3 أن c ·( c −1)·( c −2)·( c −3) - تُستخدم النقاط الصغيرة كرموز تجميعية. باستخدام مصطلحات اليوم، تُعتبر هذه التعبيرات قوى عاملية متساقطة c ^k . الترميز العاملي k ! كاختصار لـ 1 × 2 × ... × k لم يتم تقديمه حتى بعد 100 عام. يعود رمز التكامل على الجانب الأيسر إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز في عام 1675 الذي استخدمه كحرف طويل S لـ "summa" (المجموع). ^[ب] الحرف n على الجانب الأيسر ليس مؤشرًا للجمع ولكنه يعطي الحد الأعلى لنطاق الجمع والذي يجب فهمه على أنه 1، 2، ...، n . بجمع الأشياء معًا، بالنسبة لـ c الموجبة ، من المرجح أن يكتب عالم الرياضيات اليوم صيغة برنولي على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

تقترح هذه الصيغة الإعداد B ₁ = ⁠1/2عند التبديل من ما يسمى بالترقيم "القديم" الذي يستخدم فقط المؤشرات الزوجية 2، 4، 6... إلى الشكل الحديث (المزيد عن الاتفاقيات المختلفة في الفقرة التالية). الأمر الأكثر إثارة للدهشة في هذا السياق هو حقيقة أن العامل الساقط c ^{k −1} لهقيمة k = 01/ج + 1^[12] وبالتالي يمكن كتابة صيغة برنولي

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

إذا كانت B ₁ = 1/2 ، فإننا نستعيد القيمة التي أعطاها برنولي للمعامل في هذا الموضع.

تحتوي الصيغة في النصف الأول من الاقتباس الذي قدمه برنولي أعلاه على خطأ في الحد الأخير؛ حيث يجب أن تكون بدلاً من . ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

تم العثور على العديد من الخصائص لأرقام برنولي في السنوات الثلاثمائة الماضية، ويمكن استخدام كل منها لتقديم هذه الأرقام. فيما يلي ذكر أربعة فقط من أكثرها فائدة:

• معادلة متكررة
• صيغة صريحة،
• دالة توليد
• تعبير متكامل.

لإثبات تكافؤ الطرق الأربعة. ^[13]

تتبع أرقام برنولي صيغ الجمع ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=\end{aligned}}}$

حيث و δ يدلان على دلتا كرونيكر . ${\displaystyle m=0,1,2...}$

يُكتب الأول منها أحيانًا ^[14] على هيئة صيغة (لـ m > 1) حيث يتم توسيع القوة رسميًا باستخدام نظرية ذات الحدين ويتم استبدالها بـ . $${\displaystyle (B+1)^{m}-B_{m}=0,}$$${\displaystyle B^{k}}$${\displaystyle B_{k}}$

حل المعادلة يعطي الصيغ المتكررة ^[15]${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

في عام 1893، قام لويس سالشوتز بإدراج ما مجموعه 38 صيغة صريحة لأعداد برنولي، ^[16] مع الإشارة عادةً إلى بعض المراجع في الأدبيات القديمة. أحدها (لـ ): ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

وظائف التوليد الأسي هي

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty}}{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty}}{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

حيث يكون الاستبدال هو . تختلف الدالتان المولدتان فقط بمقدار t . ${\displaystyle t\to -t}$

دالة التوليد (العادية)

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

هي سلسلة مقاربة . وهي تحتوي على دالة تريجاما ψ ₁ .

من خلال وظائف التوليد أعلاه، يمكننا الحصول على صيغة التكامل التالية لأعداد برنولي الزوجية:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

يمكن التعبير عن أرقام برنولي من حيث دالة زيتا لريمان :

ب⁺
_ن= − n ζ (1 − n )           لـ n ≥ 1  .

هنا تكون وسيطة دالة زيتا 0 أو سالبة. كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة الزوجية السالبة ( الأصفار البسيطة )، إذا كان n>1 فرديًا، يكون صفرًا. ${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle \zeta (1-n)}$

وباستخدام معادلة الدالة زيتا وصيغة الانعكاس جاما يمكن الحصول على العلاقة التالية: ^[17]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$لـ n ≥ 1  .

الآن أصبحت حجة الدالة زيتا موجبة.

ومن ثم يتبع من ζ → 1 ( n → ∞ ) وصيغة ستيرلنغ أن

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$لـ n → ∞  .

في بعض التطبيقات، من المفيد أن تكون قادرًا على حساب أعداد برنولي B ₀ إلى B _{p − 3} modulo p ، حيث p هو عدد أولي؛ على سبيل المثال لاختبار ما إذا كانت تخمينة فانديفر صحيحة بالنسبة لـ p ، أو حتى لتحديد ما إذا كان p هو عدد أولي غير منتظم . ليس من الممكن إجراء مثل هذا الحساب باستخدام الصيغ المتكررة أعلاه، حيث ستكون هناك حاجة إلى عمليات حسابية على الأقل (مضاعف ثابت لـ) p ^2. لحسن الحظ، تم تطوير طرق أسرع ^[18] والتي تتطلب فقط O ( p (log p ) ² ) عمليات (انظر تدوين O الكبير ).

يصف ديفيد هارفي ^[19] خوارزمية لحساب أعداد برنولي عن طريق حساب B _n modulo p للعديد من الأعداد الأولية الصغيرة p ، ثم إعادة بناء B _n عبر نظرية الباقي الصيني . يكتب هارفي أن التعقيد الزمني المقارب لهذه الخوارزمية هو O ( n ² log( n ) ^{2 + ε} ) ويدعي أن هذا التنفيذ أسرع بشكل ملحوظ من التنفيذات القائمة على طرق أخرى. باستخدام هذا التنفيذ، حسب هارفي B _n لـ n = 10 ^8. تم تضمين تنفيذ هارفي في SageMath منذ الإصدار 3.1. قبل ذلك، حسب بيرند كيلنر ^[20] B _n بدقة كاملة لـ n = 10 ⁶ في ديسمبر 2002 وأولكسندر بافليك ^[21] لـ n = 10 ⁷ باستخدام Mathematica في أبريل 2008.

حاسوب	سنة	ن	الارقام*
ج. برنولي	~1689	10	1
ل. أويلر	1748	30	8
جيه سي آدامز	1878	62	36
دي كنوث، تي جيه بوكهولتز	1967	1672​	3330​
ج. في، س. بلوف	1996	10000​	27677​
ج. في، س. بلوف	1996	100000​	376 755
بي سي كيلنر	2002	1000000​​	4 767 529
أ. بافليك	2008	10000000​​	57 675 260
د. هارفي	2008	100000000​​	676 752 569

* يجب فهم الأرقام على أنها الأس لـ 10 عندما يتم كتابة B _n كعدد حقيقي في الصيغة العلمية الطبيعية .

يمكن القول إن أهم تطبيق لأعداد برنولي في الرياضيات هو استخدامها في صيغة أويلر-ماكلورين . بافتراض أن f هي دالة قابلة للاشتقاق بشكل كافٍ، يمكن كتابة صيغة أويلر-ماكلورين على النحو التالي ^[22]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

تفترض هذه الصيغة الاتفاقية B^-
₁= −1/2. باستخدام الاتفاقية ب⁺
₁= +1/2تصبح الصيغة

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

هنا (أي أن المشتقة من الدرجة الصفرية لـ هي فقط ). علاوة على ذلك، دعونا نشير إلى المشتقة العكسية لـ . وفقًا للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، ${\displaystyle f^{(0)}=f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(-1)}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

وبالتالي، يمكن تبسيط الصيغة الأخيرة إلى الشكل المختصر التالي لصيغة أويلر-ماكلورين

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

على سبيل المثال، يعد هذا النموذج المصدر لتوسع أويلر-ماكلورين المهم لدالة زيتا

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

هنا يشير s ^k إلى القوة العاملية الصاعدة . ^[23]

تُستخدم أرقام برنولي أيضًا بشكل متكرر في أنواع أخرى من التوسعات التقريبية . المثال التالي هو التوسع التقريبي الكلاسيكي من نوع بوانكاريه لدالة ديجاما ψ .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

تظهر أرقام برنولي بشكل بارز في صيغة التعبير المغلقة لمجموع القوى m من أول n عدد صحيح موجب. بالنسبة إلى m ، n ≥ 0، حدد

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

يمكن دائمًا إعادة كتابة هذا التعبير على هيئة كثيرة حدود في n من الدرجة m + 1. ترتبط معاملات هذه الحدود بأعداد برنولي بواسطة صيغة برنولي :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

أين (^{م + 1}
_ك) يشير إلىمعامل ثنائي الحدين.

على سبيل المثال، إذا أخذنا m ليكون 1 فإننا نحصل على الأرقام المثلثية 0، 1، 3، 6، ... OEIS : A000217 .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

بأخذ m ليكون 2 نحصل على الأرقام الهرمية المربعة 0، 1، 5، 14، ... OEIS : A000330 .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

يستخدم بعض المؤلفين الاتفاقية البديلة لأرقام برنولي ويذكرون صيغة برنولي بهذه الطريقة:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

تُسمى صيغة برنولي أحيانًا بصيغة فاولهابر نسبةً إلى يوهان فاولهابر الذي اكتشف أيضًا طرقًا رائعة لحساب مجموعات القوى .

تم تعميم صيغة فاولهابر بواسطة V. Guo و J. Zeng إلى q -analog . ^[24]

تظهر أرقام برنولي في توسع متسلسلة تايلور للعديد من الدوال المثلثية والدوال الزائدية .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

تظهر أرقام برنولي في سلسلة لوران التالية : ^[25]

دالة ديجاما :${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

تتضمن صيغة كيرفير-ميلنور لترتيب المجموعة الدورية لفئات التماثل التفاضلي للكرات الغريبة (4 n − 1) التي تربط بين متشعبات قابلة للتوازي أعداد برنولي. دع ES _n يكون عدد هذه الكرات الغريبة لـ n ≥ 2 ، إذن

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

تتضمن نظرية توقيع هيرزبروخ للجنس L لمتعدد الشعب المغلق الموجه السلس ذو البعد 4 n أيضًا أرقام برنولي.

يعتمد ربط عدد برنولي بأنواع مختلفة من الأعداد التركيبية على النظرية الكلاسيكية للفروق المحدودة وعلى التفسير التركيبي لأعداد برنولي كمثال لمبدأ تركيبي أساسي، وهو مبدأ التضمين والاستبعاد .

تم تطوير التعريف الذي سيتم المضي قدمًا فيه بواسطة يوليوس وربيتزكي في عام 1883. بالإضافة إلى الحساب الأولي، يتم استخدام دالة العامل n ! ودالة القوة k ^m فقط . يتم تعريف أرقام وربيتزكي بدون إشارة على أنها

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

يمكن أيضًا التعبير عنها من خلال أرقام ستيرلينج من النوع الثاني

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

يتم بعد ذلك تقديم رقم برنولي كمجموع تضمين واستبعاد لأرقام وربيتزكي المرجحة بالمتتالية التوافقية 1  ،1/2⁠ ,  ⁠1/3⁠ , ...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

ب ₀ = 1

ب ₁ = 1 −1/2⁠

ب ₂ = 1 −3/2+​​2/3⁠

ب ₃ = 1 −7/2+​​12/3− ⁠​6/4⁠

ب ₄ = 1 −15/2+​​50/3− ⁠​60/4+​​24/5⁠

ب ₅ = 1 −31/2+​​180/3− ⁠​390/4+​​360/5− ⁠​120/6⁠

ب ₆ = 1 −63/2+​​602/3− ⁠​2100/4+​​3360/5− ⁠​2520/6+​​720/7⁠

هذا التمثيل له ب⁺
₁= +1/2⁠ .

خذ بعين الاعتبار المتوالية s _n ، n ≥ 0. من أرقام Worpitzky OEIS : A028246 ، OEIS : A163626 المطبقة على s ₀ ، s ₀ ، s ₁ ، s ₀ ، s ₁ ، s ₂ ، s ₀ ، s ₁ ، s ₂ ، s ₃ ، ... هي مطابقة لتحويل Akiyama–Tanigawa المطبق على s _n (انظر الاتصال بأعداد ستيرلنغ من النوع الأول). يمكن ملاحظة ذلك من خلال الجدول:

هوية
تمثيل ووربيتسكي وتحويل أكاياما-تانيجاوا

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	-1					0	2	-2				0	0	3	-3			0	0	0	4	-4
1	-3	2				0	4	-10	6			0	0	9	-21	12
1	-7	12	-6			0	8	-38	54	-24
1	-15	50	-60	24

يمثل الصف الأول s ₀ ، s ₁ ، s ₂ ، s ₃ ، s ₄ .

ومن ثم بالنسبة لأرقام أويلر الكسرية الثانية OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ):

هـ ₀ = 1

هـ ₁ = 1 −1/2⁠

هـ ₂ = 1 −3/2+​​2/4⁠

هـ ₃ = 1 −7/2+​​12/4− ⁠​6/8⁠

هـ ₄ = 1 −15/2+​​50/4− ⁠​60/8+​​24/16⁠

هـ ₅ = 1 −31/2+​​180/4− ⁠​390/8+​​360/16− ⁠​120/32⁠

هـ ₆ = 1 −63/2+​​602/4− ⁠​2100/8+​​3360/16− ⁠​2520/32+​​720/64⁠

الصيغة الثانية التي تمثل أرقام برنولي بواسطة أرقام ووربيتسكي هي لـ n ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

التمثيل الثاني المبسط لأرقام برنولي الثانية لـ Worpitzky هو:

OEIS : A164555 ( ن + 1 ) / OEIS : A027642 ( ن + 1 ) = ⁠ن + 1/2 ^{ن + 2} − 2⁠ × OEIS : A198631 ( ن ) / OEIS : A006519 ( ن + 1 )

الذي يربط أعداد برنولي الثانية بأعداد أويلر الكسرية الثانية. البداية هي:

⁠1/2⁠ , ⁠1/6, 0, −1/30, 0 ,1/42, ... = (1/2⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠3/14⁠ , ⁠2/15⁠ , ⁠5/62⁠ , ⁠1/21⁠ , ...) × (1، ⁠1/2, 0, −1/4, 0 ,1/2⁠ , ...)

البسوط للأقواس الأولى هي OEIS : A111701 (انظر العلاقة مع أرقام ستيرلنغ من النوع الأول).

إذا تم تعريف متعددات حدود برنولي B _k ( j ) على النحو التالي: ^[26]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

حيث B _k لـ k = 0, 1, 2,... هي أعداد برنولي، و S(k,m) هو عدد ستيرلينغ من النوع الثاني .

كما يوجد أيضًا ما يلي بالنسبة لمتعددات حدود برنولي، ^[26]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

معامل j في (^ج
_{م + 1}) هو​(-1) ^م/م + 1⁠ .

عند مقارنة معامل j في تعبيرين من متعددات حدود برنولي، نجد أن:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

(مما أدى إلى B ₁ = + ⁠1/2) وهي صيغة صريحة لأعداد برنولي ويمكن استخدامها لإثبات نظرية فون ستودت كلاوسن . ^{[27] [28] [29]}

الصيغتان الرئيسيتان اللتان تربطان بين أعداد ستيرلينغ غير الموقعة من النوع الأول [^ن
_م] إلى أرقام برنولي (مع B ₁ = + ⁠1/2) هي

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

وعكس هذا المجموع (لـ n ≥ 0 ، m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

هنا، الرقم A _{n ، m} هما الأعداد النسبية Akiyama–Tanigawa، والتي يتم عرض الأعداد القليلة الأولى منها في الجدول التالي.

رقم أكاياما-تانيجاوا

م ن	0	1	2	3	4
0	1	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠
1	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠	...
2	⁠1/6⁠	⁠1/6⁠	⁠3/20⁠	...	...
3	0	⁠1/30⁠	...	...	...
4	- ⁠1/30⁠	...	...	...	...

تلبي أرقام أكاياما-تانيجاوا علاقة تكرارية بسيطة يمكن استغلالها لحساب أرقام برنولي بشكل متكرر. وهذا يؤدي إلى الخوارزمية الموضحة في قسم "الوصف الخوارزمي" أعلاه. انظر OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

المتوالية الذاتية هي متوالية يكون تحويلها الثنائي العكسي مساويًا للمتوالية الموقعة. إذا كان القطر الرئيسي يساوي صفرًا = OEIS : A000004 ، فإن المتوالية الذاتية تكون من النوع الأول. مثال: OEIS : A000045 ، أعداد فيبوناتشي. إذا كان القطر الرئيسي هو القطر العلوي الأول مضروبًا في 2، فإنه يكون من النوع الثاني. مثال: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ، أعداد برنولي الثانية (انظر OEIS : A190339 ). يؤدي تحويل أكاياما-تانيغاوا المطبق على 2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079 إلى OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1). وبالتالي:

تحويل أكاياما-تانيجاوا لأعداد أويلر الثانية

م ن	0	1	2	3	4
0	1	⁠1/2⁠	⁠1/4⁠	⁠1/8⁠	⁠1/16⁠
1	⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	⁠3/8⁠	⁠1/4⁠	...
2	0	⁠1/4⁠	⁠3/8⁠	...	...
3	- ⁠1/4⁠	- ⁠1/4⁠	...	...	...
4	0	...	...	...	...

انظر OEIS : A209308 و OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) هي أرقام أويلر الثانية (الكسرية) وتسلسل ذاتي من النوع الثاني.

( ⁠OEIS : A164555 ( ن + 2 )/OEIS : A027642 ( ن + 2 )= ⁠​1/6, 0, −1/30, 0 ,1/42⁠ , ... ) × ( ⁠2 ^{ن + 3} − 2/ن + 2= 3 ،​14/3⁠ , ⁠15/2⁠ , ⁠62/5, 21, ... ) = ⁠OEIS : A198631 ( ن + 1 )/OEIS : A006519 ( ن + 2 )= ⁠​1/2, 0, −1/4, 0 ,1/2, ... .

كما أنها ذات قيمة أيضًا بالنسبة إلى OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (انظر الاتصال بأرقام Worpitzky).

هناك صيغ تربط مثلث باسكال بأرقام برنولي ^[ج]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

أين هو محدد مصفوفة هيسنبرج ذات n × n جزء من مثلث باسكال الذي عناصره هي:${\displaystyle |A_{n}|}$${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

مثال:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

هناك صيغ تربط بين الأعداد الأويلريّة ⟨^ن
_م⟩ إلى أرقام برنولي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

كلتا الصيغتين صالحة لـ n ≥ 0 إذا تم ضبط B ₁ على ⁠1/2. إذا تم ضبط B ₁ على −1/2أنها صالحة فقط لـ n ≥ 1 و n ≥ 2 على التوالي.

ترتبط حدود ستيرلينج σ _n ( x ) بأعداد برنولي بواسطة B _n = n ! σ _n (1) . وصف SC Woon خوارزمية لحساب σ _n (1) كشجرة ثنائية: ^[30]

تبدأ خوارزمية وون التكرارية (لـ n ≥ 1 ) بتعيين العقدة الجذرية N = [1,2] . وإذا كانت العقدة N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] للشجرة، فإن الطفل الأيسر للعقدة هو L ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , ..., a _k ] والطفل الأيمن R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ] . وتُكتب العقدة N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] على هيئة ±[ a ₂ , ..., a _k ] في الجزء الأولي من الشجرة الممثلة أعلاه مع ± التي تشير إلى إشارة a ₁ .

بالنظر إلى العقدة N، يتم تعريف عامل N على النحو التالي:

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

يقتصر على العقد N من مستوى شجرة ثابتة n مجموع ⁠1/ن !⁠ هو σ _n (1) ، وبالتالي

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

على سبيل المثال:

ب ₁ = 1! (1/2!)​

ب ₂ = 2!( −1/3!+​​1/2!2!)​

ب ₃ = 3! (1/4!− ⁠​1/2!3!− ⁠​1/3!2!+​​1/2!2!2!)​

المتكامل​

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

لها قيم خاصة b (2 n ) = B _{2 n} لـ n > 0 .

على سبيل المثال، ب (3) =3/2⁠ ζ (3) π ⁻³ i و b (5) = − ⁠15/2⁠ ζ (5) π ⁻⁵ i . هنا، ζ هي دالة زيتا لريمان ، و i هي الوحدة التخيلية . درس ليونهارد أويلر ( أوبرا أومنيا ، السلسلة 1، المجلد 10، ص 351) هذه الأرقام وحسبها

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

هناك تمثيل تكاملي مماثل آخر هو

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

أعداد أويلر هي سلسلة من الأعداد الصحيحة المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بأعداد برنولي. تُظهر مقارنة التوسعات المقاربة لأعداد برنولي وأعداد أويلر أن أعداد أويلر E _{2 n} لها مقدار تقريبًا2/π( 4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} ) مرات أكبر من أرقام برنولي B _{2 n} . ونتيجة لذلك:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

تكشف هذه المعادلة المقاربة أن π يقع في الجذر المشترك لكل من أرقام برنولي وأويلر. في الواقع، يمكن حساب π من هذه التقريبات النسبية.

يمكن التعبير عن أرقام برنولي من خلال أرقام أويلر والعكس صحيح. نظرًا لأن B _n = E _n = 0 (باستثناء B ₁ ) بالنسبة للأعداد الفردية n ، فيكفي أن نأخذ في الاعتبار الحالة التي يكون فيها n عددًا زوجيًا.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

تعبر صيغ التحويل هذه عن ارتباط بين أرقام برنولي وأويلر. ولكن الأهم من ذلك، أن هناك جذرًا حسابيًا عميقًا مشتركًا بين النوعين من الأرقام، والذي يمكن التعبير عنه من خلال تسلسل أكثر جوهرية من الأرقام، والذي يرتبط ارتباطًا وثيقًا أيضًا بـ π . يتم تعريف هذه الأرقام لـ n ≥ 1 على النحو التالي ^{[31] [32]}

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

تكمن سحر هذه الأرقام في حقيقة أنها تتحول إلى أرقام نسبية. وقد أثبت ليونهارد أويلر ذلك لأول مرة في ورقة بحثية بارزة بعنوان De summis serierum reciprocarum (حول مجموعات متسلسلات المقلوبات) وقد أذهل علماء الرياضيات منذ ذلك الحين. ^[33] أول عدد قليل من هذه الأرقام هي

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

هذه هي المعاملات في توسع sec x + tan x .

يمكن فهم أرقام برنولي وأرقام أويلر باعتبارها وجهات نظر خاصة لهذه الأرقام، يتم اختيارها من التسلسل S _n وقياسها لاستخدامها في تطبيقات خاصة.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

يحتوي التعبير [ n زوجي] على القيمة 1 إذا كان n زوجيًا و0 بخلاف ذلك ( قوس إيفرسون ).

تظهر هذه الهويات أن حاصل قسمة أرقام برنولي وأويلر في بداية هذا القسم هو مجرد حالة خاصة لـ R _n = ⁠2 س _ن/س _{ن + 1}عندما يكون n زوجيًا. R _n هي تقريبات نسبية لـ π ويحيط حدان متتاليان دائمًا بالقيمة الحقيقية لـ π . بدءًا من n = 1 ،يبدأ التسلسل ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

وتظهر هذه الأعداد النسبية أيضًا في الفقرة الأخيرة من ورقة أويلر المذكورة أعلاه.

خذ في الاعتبار تحويل أكاياما-تانيجاوا للتسلسل OEIS : A046978 ( n + 2 ) / OEIS : A016116 ( n + 1 ):

0	1	⁠1/2⁠	0	- ⁠1/4⁠	- ⁠1/4⁠	- ⁠1/8⁠	0
1	⁠1/2⁠	1	⁠3/4⁠	0	- ⁠5/8⁠	- ⁠3/4⁠
2	- ⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	⁠9/4⁠	⁠5/2⁠	⁠5/8⁠
3	-1	- ⁠7/2⁠	- ⁠3/4⁠	⁠15/2⁠
4	⁠5/2⁠	- ⁠11/2⁠	- ⁠99/4⁠
5	8	⁠77/2⁠
6	- ⁠61/2⁠

من العمود الثاني، تكون البسط في العمود الأول هي مقامات صيغة أويلر. العمود الأول هو −1/2× OEIS : A163982 .

تحتوي المتوالية S _n على خاصية أخرى غير متوقعة ولكنها مهمة: مقامات S _{n +1} تقسم العامل n ! . بعبارة أخرى: الأعداد T _n  =  S _{n + 1} n ! ، والتي تسمى أحيانًا أعداد أويلر المتعرجة ، هي أعداد صحيحة.

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( OEIS : A000111 ). انظر ( OEIS : A253671 ).

دالة التوليد الأسية هي مجموع الدالتين القاطعة والمماسة .

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$.

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة التمثيلات أعلاه لأرقام برنولي وأويلر من حيث هذا التسلسل على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

تجعل هذه الهويات من السهل حساب أرقام برنولي وأويلر: أرقام أويلر E _{2 n} تُعطى على الفور بواسطة T _{2 n} وأرقام برنولي B _{2 n} هي كسور تم الحصول عليها من T _{2 n - 1} عن طريق بعض التحول السهل، وتجنب الحساب النسبي.

ما تبقى هو إيجاد طريقة ملائمة لحساب الأعداد T _n . ومع ذلك، في عام 1877 نشر فيليب لودفيج فون سيدل خوارزمية مبتكرة تجعل من السهل حساب T _n . ^[34]

1. ابدأ بوضع 1 في الصف 0 ودع k يشير إلى رقم الصف الذي يتم ملؤه حاليًا
2. إذا كان k فرديًا، فضع الرقم الموجود على الطرف الأيسر من الصف k − 1 في الموضع الأول من الصف k ، واملأ الصف من اليسار إلى اليمين، بحيث يكون كل إدخال هو مجموع الرقم الموجود على اليسار والرقم الموجود على الطرف العلوي.
3. في نهاية الصف قم بمضاعفة الرقم الأخير.
4. إذا كان k زوجيًا، فاستمر بنفس الطريقة في الاتجاه الآخر.

في الواقع، تعتبر خوارزمية سيدل أكثر عمومية (انظر شرح دومينيك دومون ^[35] ) وتم إعادة اكتشافها عدة مرات بعد ذلك.

على غرار نهج سيدل، قدم دي كنوث وتي جيه بوكولتز معادلة تكرارية للأعداد T _{2 n} وأوصوا بهذه الطريقة لحساب B _{2 n} و E _{2 n} "على أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية باستخدام العمليات البسيطة فقط على الأعداد الصحيحة". ^[36]

أعاد أرنولد السادس ^[37] اكتشاف خوارزمية سيدل، وفي وقت لاحق قام ميلار وسلون ويونج بنشر خوارزمية سيدل تحت اسم تحويل بوستروفيدون .

الشكل المثلث:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

يوجد فقط OEIS : A000657 ، مع 1 واحد، و OEIS : A214267 ، مع اثنين من 1، في OEIS.

التوزيع مع 1 إضافي و 0 واحد في الصفوف التالية:

						1
					0		1
				-1		-1		0
			0		-1		-2		-2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
-61		-61		-56		-46		-32		-16		0

هذا هو OEIS : A239005 ، وهو إصدار موقّع من OEIS : A008280 . الخط القطري الرئيسي هو OEIS : A122045 . الخط القطري الرئيسي هو OEIS : A155585 . العمود المركزي هو OEIS : A099023 . مجموع الصفوف: 1، 1، −2، −5، 16، 61.... انظر OEIS : A163747 . انظر المصفوفة التي تبدأ بـ 1، 1، 0، −2، 0، 16، 0 أدناه.

خوارزمية Akiyama-Tanigawa المطبقة على OEIS : A046978 ( n + 1 ) / OEIS : A016116 ( n ) تنتج:

1	1	⁠1/2⁠	0	- ⁠1/4⁠	- ⁠1/4⁠	- ⁠1/8⁠
0	1	⁠3/2⁠	1	0	- ⁠3/4⁠
-1	-1	⁠3/2⁠	4	⁠15/4⁠
0	-5	- ⁠15/2⁠	1
5	5	- ⁠51/2⁠
0	61
-61

1. العمود الأول هو OEIS : A122045 . يؤدي تحويله الثنائي إلى:

1	1	0	-2	0	16	0
0	-1	-2	2	16	-16
-1	-1	4	14	-32
0	5	10	-46
5	5	-56
0	-61
-61

الصف الأول من هذه المصفوفة هو OEIS : A155585 . القيم المطلقة للأضلاع المضادة المتزايدة هي OEIS : A008280 . مجموع الأضلاع المضادة هو − OEIS : A163747 ( n + 1 ).

2. العمود الثاني هو 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . ويعطي تحويله الثنائي:

1	2	2	-4	-16	32	272
1	0	-6	-12	48	240
-1	-6	-6	60	192
-5	0	66	32
5	66	66
61	0
-61

الصف الأول من هذه المصفوفة هو 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584... القيم المطلقة للقسم الثاني هي ضعف القيم المطلقة للقسم الأول.

خذ بعين الاعتبار خوارزمية Akiyama-Tanigawa المطبقة على OEIS : A046978 ( n ) / ( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2, ⁠3/2, 1, ⁠3/4⁠ , ⁠3/4⁠ , ⁠7/8, 1, ⁠17/16⁠ , ⁠17/16⁠ , ⁠33/32... . ​

1	2	2	⁠3/2⁠	1	⁠3/4⁠	⁠3/4⁠
-1	0	⁠3/2⁠	2	⁠5/4⁠	0
-1	-3	- ⁠3/2⁠	3	⁠25/4⁠
2	-3	- ⁠27/2⁠	-13
5	21	- ⁠3/2⁠
-16	45
-61

العمود الأول الذي تكون قيمه المطلقة OEIS : A000111 يمكن أن يكون البسط لدالة مثلثية.

OEIS : A163747 عبارة عن تسلسل تلقائي من النوع الأول (القطر الرئيسي هو OEIS : A000004 ). والمصفوفة المقابلة هي:

0	-1	-1	2	5	-16	-61
-1	0	3	3	-21	-45
1	3	0	-24	-24
2	-3	-24	0
-5	-21	24
-16	45
-61

أول قطرين علويين هما −1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832 . مجموع الأقطار المعاكسة هو 0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1).

− OEIS : A163982 عبارة عن تسلسل تلقائي من النوع الثاني، مثل OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . ومن ثم فإن المصفوفة:

2	1	-1	-2	5	16	-61
-1	-2	-1	7	11	-77
-1	1	8	4	-88
2	7	-4	-92
5	-11	-88
-16	-77
-61

القطر الرئيسي، هنا 2 −2 8 −92... ، هو ضعف القطر العلوي الأول، هنا OEIS : A099023 . مجموع الأقطار المعاكسة هو 2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1). OEIS : A163747  −  OEIS : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045 .

حوالي عام 1880، بعد ثلاث سنوات من نشر خوارزمية سيدل، أثبت ديزيريه أندريه نتيجة كلاسيكية الآن للتحليل التوافقي. ^{[38] [39]} بالنظر إلى الحدود الأولى لتوسع تايلور للوظائف المثلثية tan x و sec x، توصل أندريه إلى اكتشاف مذهل.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

المعاملات هي أرقام أويلر ذات المؤشر الفردي والزوجي على التوالي. وبالتالي فإن التوسع العادي لـ tan x + sec x له معاملات الأعداد النسبية S _n .

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

ثم نجح أندريه، من خلال حجة التكرار، في إظهار أن التباديل المتبادلة ذات الحجم الفردي يتم ترقيمها بواسطة أرقام أويلر ذات المؤشر الفردي (وتسمى أيضًا أرقام الظل) والتباديل المتبادلة ذات الحجم الزوجي بواسطة أرقام أويلر ذات المؤشر الزوجي (وتسمى أيضًا أرقام القاطع).

المتوسط ​​الحسابي لأرقام برنولي الأولى والثانية هي أرقام برنولي المرتبطة: B ₀ = 1 ، B ₁ = 0 ، B ₂ =1/6⁠ ، ب ₃ = 0 ، ب ₄ = − ⁠1/30⁠ ، OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . ومن خلال الصف الثاني من تحويل أكاياما-تانيجاوا العكسي OEIS : A177427 ، فإنها تؤدي إلى سلسلة بالمر OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .

تؤدي خوارزمية أكاياما-تانيغاوا المطبقة على OEIS : A060819 ( n + 4 ) / OEIS : A145979 ( n ) إلى أرقام برنولي OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ، أو OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ، أو OEIS : A176327 OEIS : A176289 بدون B ₁ ، والتي تسمى أرقام برنولي الجوهرية B _i ( n ) .

1	⁠5/6⁠	⁠3/4⁠	⁠7/10⁠	⁠2/3⁠
⁠1/6⁠	⁠1/6⁠	⁠3/20⁠	⁠2/15⁠	⁠5/42⁠
0	⁠1/30⁠	⁠1/20⁠	⁠2/35⁠	⁠5/84⁠
- ⁠1/30⁠	- ⁠1/30⁠	- ⁠3/140⁠	- ⁠1/105⁠	0
0	- ⁠1/42⁠	- ⁠1/28⁠	- ⁠4/105⁠	- ⁠1/28⁠

ومن ثم، هناك رابط آخر بين أرقام برنولي الجوهرية وسلسلة بالمر عبر OEIS : A145979 ( n ).

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... هو تبديل للأرقام غير السالبة.

حدود الصف الأول هي f(n) = ⁠1/2+​​1/ن + 22 ، f(n) هي تسلسل ذاتي من النوع الثاني. 3/2، f(n) تؤدي من خلال تحويلها الثنائي العكسي إلى 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

لنفترض أن g(n) = 1/2 – 1 / (n+2) = 0، 1/6، 1/4، 3/10، 1/3. تعطي تحويلات أكاياما-تاناغيوا:

0	⁠1/6⁠	⁠1/4⁠	⁠3/10⁠	⁠1/3⁠	⁠5/14⁠	...
- ⁠1/6⁠	- ⁠1/6⁠	- ⁠3/20⁠	- ⁠2/15⁠	- ⁠5/42⁠	- ⁠3/28⁠	...
0	- ⁠1/30⁠	- ⁠1/20⁠	- ⁠2/35⁠	- ⁠5/84⁠	- ⁠5/84⁠	...
⁠1/30⁠	⁠1/30⁠	⁠3/140⁠	⁠1/105⁠	0	- ⁠1/140⁠	...

0، g(n)، هو تسلسل ذاتي من النوع الثاني.

أويلر OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) بدون الحد الثاني (1/2) هي أرقام أويلر الكسرية الجوهرية E _i ( n ) = 1, 0, −1/4, 0 ,1/2, 0, −17/8, 0, ... التحويل أكاياما المقابل هو:

1	1	⁠7/8⁠	⁠3/4⁠	⁠21/32⁠
0	⁠1/4⁠	⁠3/8⁠	⁠3/8⁠	⁠5/16⁠
- ⁠1/4⁠	- ⁠1/4⁠	0	⁠1/4⁠	⁠25/64⁠
0	- ⁠1/2⁠	- ⁠3/4⁠	- ⁠9/16⁠	- ⁠5/32⁠
⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	- ⁠9/16⁠	- ⁠13/8⁠	- ⁠125/64⁠

السطر الأول هو Eu ( n ) . Eu ( n ) مسبوقًا بصفر هو تسلسل تلقائي من النوع الأول. وهو مرتبط بأرقام Oresme. البسط في السطر الثاني هو OEIS : A069834 مسبوقًا بـ 0. جدول الفروق هو:

0	1	1	⁠7/8⁠	⁠3/4⁠	⁠21/32⁠	⁠19/32⁠
1	0	- ⁠1/8⁠	- ⁠1/8⁠	- ⁠3/32⁠	- ⁠1/16⁠	- ⁠5/128⁠
-1	- ⁠1/8⁠	0	⁠1/32⁠	⁠1/32⁠	⁠3/128⁠	⁠1/64⁠

يمكن التعبير عن أرقام برنولي من حيث دالة زيتا ريمان على النحو التالي: B _n = − nζ (1 − n ) للأعداد الصحيحة n ≥ 0 بشرط أن يكون n = 0، فإن التعبير − nζ (1 − n ) يُفهم على أنه القيمة الحدية والاتفاقية B ₁ =1/2تُستخدم ⁠ . وهذا يربطها ارتباطًا وثيقًا بقيم دالة زيتا عند الأعداد الصحيحة السالبة. وعلى هذا النحو، يمكن توقع أن يكون لها خصائص حسابية عميقة وأن يكون لها بالفعل. على سبيل المثال،تفترض تخمينة أغوه-جيوغا أن p هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان pB _{p − 1} متطابقًا مع −1 modulo p . ترتبط خصائص قابلية القسمة لأعداد برنولي بالمجموعاتالطبقية المثالية للحقول الدائرية الذرية من خلال نظرية كومر وتعزيزها في نظرية هيربراند-ريبيت ، وبأعداد الفئات للحقول التربيعية الحقيقية من خلال أنكيني-آرتين-تشولا .

ترتبط أرقام برنولي بنظرية فيرما الأخيرة (FLT) من خلال نظرية كومر ، ^[40] التي تنص على:

إذا كان العدد الأولي الفردي p لا يقسم أيًا من بسوط أعداد برنولي B ₂ ، B ₄ ، ...، B _{p − 3} فإن x ^p + y ^p + z ^p = 0 ليس له حلول في الأعداد الصحيحة غير الصفرية.

الأعداد الأولية التي تمتلك هذه الخاصية تسمى الأعداد الأولية المنتظمة . ومن النتائج الكلاسيكية الأخرى لكومر التطابقات التالية . ^[41]

ليكن p عددًا أوليًا فرديًا و b عددًا زوجيًا بحيث لا يقسم p  − 1 b . إذن لأي عدد صحيح غير سالب k

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

يُطلق على تعميم هذه التطابقات اسم الاستمرارية p -adic.

إذا كانت b و m و n أعدادًا صحيحة موجبة بحيث لا يمكن قسمة m و n على p − 1 و m ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1)) ، إذن

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

نظرًا لأن B _n = − nζ (1 − n ) ، فيمكن أيضًا كتابة ذلك

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

حيث u = 1 − m و v = 1 − n ، بحيث تكون u و v غير موجبين وغير متطابقين مع 1 modulo p − 1. يخبرنا هذا أن دالة زيتا لريمان، مع إخراج 1 − p ^{− s} من صيغة حاصل أويلر، متصلة في الأعداد الصحيحة السالبة الفردية p المتطابقة modulo p − 1 إلى a ≢ 1 mod ( p − 1) معينة ، وبالتالي يمكن تمديدها إلى دالة متصلة ζ _p ( s ) لجميع الأعداد الصحيحة p - adic دالة زيتا p - adic . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

العلاقات التالية، التي وضعها رامانوجان ، توفر طريقة لحساب أرقام برنولي أكثر كفاءة من الطريقة المعطاة بواسطة تعريفها التكراري الأصلي:

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

تم تقديم نظرية فون ستودت-كلاوسن بواسطة كارل جورج كريستيان فون ستودت ^[42] وتوماس كلاوسن ^[43] بشكل مستقل في عام 1840. وتنص النظرية على أنه لكل n > 0 ،

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

هو عدد صحيح. ويمتد المجموع إلى جميع الأعداد الأولية p حيث p − 1 يقسم 2 n .

نتيجة لذلك، فإن مقام B _{2 n} يُعطى بواسطة حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية p حيث p − 1 يقسم 2 n . وعلى وجه الخصوص، هذه المقامات خالية من المربعات وقابلة للقسمة على 6.

المجموع

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

يمكن تقييمها للقيم السالبة للمؤشر n . سيُظهر القيام بذلك أنها دالة فردية للقيم الزوجية لـ k ، مما يعني أن المجموع له حدود ذات مؤشر فردي فقط. هذا وصيغة مجموع برنولي تعني أن B _{2 k + 1 − m} يساوي 0 لـ m زوجي و 2 k + 1 − m > 1 ؛ وأن حد B ₁ يُلغى بالطرح. كما تقدم نظرية فون ستودت-كلاوزن مع تمثيل ووربيتسكي إجابة تركيبية لهذا السؤال (صالحة لـ n > 1).

من نظرية فون ستودت-كلاوسن، من المعروف أنه بالنسبة لعدد فردي n > 1 فإن العدد 2 B _n هو عدد صحيح. ويبدو هذا تافهاً إذا علمنا مسبقًا أن العدد الصحيح المعني يساوي صفرًا. ومع ذلك، من خلال تطبيق تمثيل ووربيتسكي، نحصل على

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

كمجموع أعداد صحيحة ، وهو ليس بالأمر التافه. وهنا تظهر حقيقة تركيبية تفسر اختفاء أرقام برنولي عند مؤشر فردي. دع S _{n , m} يكون عدد الخرائط الفوقية من {1, 2, ..., n } إلى {1, 2, ..., m }، إذن S _{n , m} = m ! {^ن
_م} . المعادلة الأخيرة لا يمكن أن تصمد إلا إذا

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

يمكن إثبات هذه المعادلة بالاستقراء. المثالان الأولان لهذه المعادلة هما

ن = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ،

ن = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

وبالتالي فإن أرقام برنولي تختفي عند المؤشر الفردي لأن بعض الهويات التركيبية غير الواضحة مجسدة في أرقام برنولي.

إن العلاقة بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوية بما يكفي لتوفير صياغة بديلة لفرضية ريمان (RH) التي تستخدم أعداد برنولي فقط. في الواقع، أثبت مارسيل ريسز أن فرضية ريمان (RH) تعادل التأكيد التالي: ^[44]

لكل ε > ⁠1/4يوجد ثابت C _ε > 0 (يعتمد على ε ) بحيث | R ( x ) | < C _ε x ^ε حيث x → ∞ .

هنا R ( x ) هي دالة Riesz

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

يشير n ^k إلى القوة الصاعدة للعامل في صيغة DE Knuth . الأرقام β _n = ⁠ب _ن/نتحدث بشكل متكرر في دراسة دالة زيتا وهي مهمة لأن β _n هو عدد صحيح p للأعداد الأولية p حيثلا يقسم p − 1 n .تسمى β _n أعداد برنولي المقسمة .

الأعداد البرنولية المعممة هي أعداد جبرية معينة ، يتم تعريفها بشكل مشابه لأعداد البرنولي، وهي مرتبطة بقيم خاصة لدالة دي ريتشليه L بنفس الطريقة التي ترتبط بها أعداد البرنولي بالقيم الخاصة لدالة ريمان زيتا.

ليكن χ حرف ديريتشليت modulo f . يتم تعريف أرقام برنولي المعممة المرتبطة بـ χ بواسطة

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

بصرف النظر عن الاستثنائي B _1,1 = ⁠1/2⁠ ، لدينا، لأي حرف دي ريتشليت χ ، أن B _{k ، χ} = 0 إذا χ (−1) ≠ (−1) ^k .

عند تعميم العلاقة بين أعداد برنولي وقيم دالة زيتا لريمان عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة، يكون لدينا لجميع الأعداد الصحيحة k ≥ 1 :

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

حيث L ( s ، χ ) هي دالة ديريتشليت L لـ χ . ^[45]

أرقام آيزنشتاين-كرونيكر هي نظير لأرقام برنولي المعممة للحقول التربيعية التخيلية . ^{[46] [47]} وهي مرتبطة بقيم L الحرجة لشخصيات هيكي . ^[47]

• أبراموفيتز، م.؛ ستيجون، آي أيه (1972)، "§23.1: متعددات حدود برنولي وأويلر وصيغة أويلر-ماكلورين"، دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية (الطبعة التاسعة)، نيويورك: مطبوعات دوفر، ص 804-806.
• أرفكين، جورج (1970)، الأساليب الرياضية للفيزيائيين (الطبعة الثانية)، أكاديميك بريس، رقم ISBN 978-0120598519
• Arlettaz، D. (1998)، “Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie”، الرياضيات. سيميستيربير ، 45 : 61-75، دوى :10.1007 / s005910050037، S2CID  121753654.
• أيوب، أ. (1981)، "أويلر ودالة زيتا"، مجلة الرياضيات الشهرية الأمريكية ، 74 (2): 1067-1086، doi :10.2307/2319041، JSTOR  2319041.
• كونواي، جون ؛ جاي، ريتشارد (1996)، كتاب الأعداد ، دار نشر سبرينغر.
• Dilcher, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991), "Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990)", Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics (87), Kingston, Ontario.
• دومون، د.؛ فينوت، ج. (1980)، "تفسير تركيبي لجيل سيدل لأرقام جينوتشي"، آن. الرياضيات المنفصلة ، ​​حوليات الرياضيات المنفصلة، ​​6 : 77-87، doi :10.1016/S0167-5060(08)70696-4، ISBN 978-0-444-86048-4.
• Entringer، RC (1966)، “تفسير اندماجي لأرقام أويلر وبرنولي”، نيو. قوس. في ويسكوندي ، 14 : 241-246.
• Fee, G.; Plouffe, S. (2007), "خوارزمية فعالة لحساب أرقام برنولي"، arXiv : math/0702300.
• جراهام، ر .؛ كنوث، دي .؛ باتاشنيك، أو. (1989)، الرياضيات الملموسة (الطبعة الثانية)، أديسون-ويسلي، رقم ISBN 0-201-55802-5
• أيرلندا، كينيث؛ روزن، مايكل (1990)، مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة (الطبعة الثانية)، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 0-387-97329-X
• جوردان، تشارلز (1950)، حساب الفروق المحدودة ، نيويورك: تشيلسي للنشر..
• كانيكو، م. (2000)، "خوارزمية أكاياما-تانيجاوا لأرقام برنولي"، مجلة المتواليات الصحيحة ، 12 : 29، رمز Bibcode :2000JIntS...3...29K.
• Knuth, DE (1993)، "Johann Faulhaber and the Sums of Powers"، Mathematics of Computation ، 61 (203)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 277–294، arXiv : math/9207222 ، doi :10.2307/2152953، JSTOR  2152953
• لوشني، بيتر (2007)، إدراج أرقام برنولي.
• Luschny, Peter (8 أكتوبر 2011)، "TheLostBernoulliNumbers"، OeisWiki ، تم الاسترجاع في 11 مايو 2019.
• مشروع علم الأنساب الرياضي، فارغو: قسم الرياضيات، جامعة ولاية داكوتا الشمالية، nd، تم أرشفته من الأصل في 10 مايو 2019 ، تم استرجاعه في 11 مايو 2019.
• ميلر، جيف (23 يونيو 2017)، "أقدم استخدامات رموز حساب التفاضل والتكامل"، أقدم استخدامات الرموز الرياضية المختلفة ، تم الاسترجاع في 11 مايو 2019.
• ميلنور، جون دبليو ؛ ستاشيف، جيمس دي. (1974)، "الملحق ب: أرقام برنولي"، الفئات المميزة ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد 76، مطبعة جامعة برينستون ومطبعة جامعة طوكيو، ص 281-287.
• Pietrocola، Giorgio (31 أكتوبر 2008)، “Esplorando un antico Sentiero: teoremi sulla somma di Potenze di interi Successivi (Corollario 2b)”، Maecla (باللغة الإيطالية) ، استرجاعها 8 أبريل، 2017.
• سلافوتسكي، ايليا ش. (1995)، “Staudt والخصائص الحسابية لأعداد برنولي”، Historia Scientiarum ، 2 : 69–74.
• فون ستودت، كغ الفصل. (1845)، "De numeris Bernoullianis، commentationem alteram"، إرلانجن.
• صن، تشي وي (2005-2006)، بعض النتائج الغريبة حول متعددات حدود برنولي وأويلر، تم أرشفتها من الأصل في 2001-10-31.
• وون، إس سي (1998)، "تعميم العلاقة بين دالة زيتا لريمان وأعداد برنولي"، arXiv : math.NT/9812143.
• Worpitzky، J. (1883)، “Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen”، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 94 : 203–232.

• "أعداد برنولي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• أول 498 رقم برنولي من مشروع جوتنبرج
• خوارزمية متعددة الوحدات لحساب أرقام برنولي
• صفحة رقم برنولي
• برامج أرقام برنولي في LiteratePrograms
• ب. لوشني، حساب الأعداد الأولية غير المنتظمة
• ب. لوشني، حساب وتقريب أرقام برنولي
• جوتفريد هيلمز، أرقام برنول في سياق مصفوفة باسكال (ثنائية الحدين) (PDF) ، مؤرشف (PDF) من الأصل في 2022-10-09
• جوتفريد هيلمز، جمع القوى المتشابهة في سياق مصفوفة باسكال/برنولي (PDF) ، محفوظ (PDF) من الأصل في 2022-10-09
• جوتفريد هيلمز، بعض الخصائص الخاصة، مجموع أرقام برنولي والأعداد ذات الصلة (PDF) ، مؤرشف (PDF) من الأصل في 2022-10-09