سطح من الفئة السابعة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعرف أسطح الفئة السابعة بأنها أسطح عقدية غير جبرية درسها كودايرا ( 1964 ، 1968 ) ، ولها بُعد كودايرا −∞ وعدد بيتي الأول 1. تُسمى الأسطح الدنيا من الفئة السابعة (أي تلك التي لا تحتوي على منحنيات نسبية ذات تقاطع ذاتي −1 ) بأسطح الفئة السابعة 0. كل سطح من الفئة السابعة ثنائي نسبي بالنسبة لسطح أدنى وحيد من الفئة السابعة، ويمكن الحصول عليه من هذا السطح الأدنى بتفجير النقاط عددًا محدودًا من المرات. 

يُستمد اسم "الفئة السابعة" من ( كودايرا، 1964 ، النظرية 21) ، التي قسمت الأسطح الدنيا إلى سبع فئات مرقمة من I₀ إلى VII₀ . مع ذلك، لم تشترط فئة كودايرا VII₀ أن يكون بُعد كودايرا سالب ما لا نهاية، بل اشترطت أن يكون الجنس الهندسي صفرًا. ونتيجةً لذلك، شملت فئته VII₀ أيضًا بعض الأسطح الأخرى، مثل أسطح كودايرا الثانوية ، التي لم تعد تُصنف ضمن الفئة السابعة لعدم امتلاكها بُعد كودايرا سالب ما لا نهاية. أما الأسطح الدنيا من الفئة السابعة فهي الفئة المرقمة "7" في قائمة الأسطح في ( كودايرا، 1968 ، النظرية 55) .

الثوابت

عدم الانتظام q يساوي 1، و h 1,0 = 0. جميع الأجناس المتعددة تساوي 0.

ماسة هودج:

1
01
0ب 20
10
1

أمثلة

أسطح هوبف هي أسطح خارج قسمة C²⁻ ( 0,0 ) على زمرة منفصلة G تعمل بحرية، ولها أعداد بيتي ثانية معدومة. أبسط مثال هو اعتبار G هي الأعداد الصحيحة، التي تعمل كعملية ضرب بقوى العدد 2؛ سطح هوبف المقابل متماثل مع S¹ × S³ .

أسطح إينوي هي أسطح معينة من الفئة السابعة، غطاؤها الشامل هو C × H حيث H هو النصف العلوي من المستوى (أي أنها خارج قسمة هذا المستوى على مجموعة من التشاكلات الذاتية). ولها أعداد بيتي ثانية معدومة.

تُعطي أسطح Inoue–Hirzebruch وأسطح Enoki وأسطح Kato أمثلة على أسطح النوع السابع مع b 2 > 0.

التصنيف والأغلفة الكروية العالمية

صنّف بوغومولوف ( 1976 ، 1982 ) أسطح الفئة السابعة الدنيا ذات عدد بيتي الثاني b² = 0 ، وهي إما أسطح هوبف أو أسطح إينوي . أما الأسطح ذات b² = 1 ، فقد صنّفها ناكامورا (1984ب) بافتراض إضافي مفاده أن السطح له منحنى، وهو ما أثبته تيليمان (2005) لاحقًا . 

الغلاف الكروي العالمي ( كاتو، 1978 ) هو كرة ثلاثية الأبعاد ملساء على السطح، ذات مكمل متصل، وجوار ثنائي الشكل مع جوار كرة في C² . تنص فرضية الغلاف الكروي العالمي على أن جميع أسطح الفئة VII 0 ذات عدد بيتي الثاني الموجب تمتلك غلافًا كرويًا عالميًا. جميع المشعبات التي تمتلك غلافًا كرويًا عالميًا هي أسطح كاتو التي تُفهم جيدًا، لذا فإن إثبات هذه الفرضية سيؤدي إلى تصنيف أسطح النوع VII.

سطح من الفئة السابعة ذو عدد بيتي ثانٍ موجب b² يحتوي على b² من المنحنيات العقلانية على الأكثر ، ويحتوي على هذا العدد تحديدًا إذا كان له غلاف كروي شامل. في المقابل، أظهر جورج دلوسكي وكارل أويليكلاوس وماتي توما ( 2003 ) أنه إذا كان سطح من الفئة السابعة الأدنى ذو عدد بيتي ثانٍ موجب b² يحتوي على b² من المنحنيات العقلانية تحديدًا ، فإنه يحتوي على غلاف كروي شامل. 

بالنسبة للأسطح من النوع السابع ذات عدد بيتي الثاني المتلاشي، تمتلك أسطح هوبف الأساسية غلافًا كرويًا شاملًا، بينما لا تمتلك أسطح هوبف الثانوية وأسطح إينوي هذا الغلاف لأن مجموعاتها الأساسية ليست دورية لانهائية. يؤدي تفجير النقاط على هذه الأسطح الأخيرة إلى الحصول على أسطح من النوع السابع غير الدنيا ذات عدد بيتي الثاني الموجب والتي لا تمتلك أغلفة كروية.

مراجع