تصنيف إنريكي-كودايرا

في الرياضيات ، يصنف تصنيف إنريكيس-كودايرا الأسطح المركبة المدمجة إلى عشر فئات، كل منها مُعَلمة بفضاء معياري . بالنسبة لمعظم الفئات، فإن الفضاءات المعيارية مفهومة جيدًا، ولكن بالنسبة لفئة الأسطح من النوع العام، تبدو الفضاءات المعيارية معقدة للغاية بحيث يصعب وصفها بشكل صريح، على الرغم من معرفة بعض مكوناتها.

بدأ ماكس نوثر الدراسة المنهجية للأسطح الجبرية، وأثبت غيدو كاستلنوفو أجزاءً مهمة من التصنيف. وصف فيديريكو إنريكيس ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} تصنيف الأسطح الإسقاطية المركبة. وفي وقت لاحق، وسّع كونيهيكو كودايرا ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} التصنيف ليشمل الأسطح المدمجة غير الجبرية.

بيان التصنيف

يُصنِّف إنريكيس-كودايرا الأسطح المركبة المدمجة على أنها تُشير إلى أن كل سطح مركب مدمج أدنى غير منفرد ينتمي إلى واحد فقط من الأنواع العشرة المذكورة في هذه الصفحة. ويُلخَّص هذا التصنيف وعلاقته ببعد كودايرا في الجدول التالي :

تصنيف كودايرا-إنريكيس للأسطح
أبعاد كودايرا	الأسطح (رابط إلى القسم أدناه)	الأسطح (رابط للمقال الرئيسي)
$-\infty$	الأسطح العقلانية الأسطح المسطرة ذات الجنس الإيجابي أسطح الفئة السابعة	الأسطح العقلانية الأسطح المسطرة ذات الجنس الإيجابي أسطح الفئة السابعة
0	أسطح K3 توري أسطح كودايرا أسطح إنريكي أسطح بيضاوية مفرطة	أسطح K3 توري أسطح كودايرا أسطح إنريكي أسطح بيضاوية مفرطة
1	الأسطح الإهليلجية ^{[ أ ]}	الأسطح الإهليلجية
2	أسطح من النوع العام	أسطح من النوع العام

بالنسبة للفئات التسع من الأسطح بخلاف النوع العام، يوجد وصف كامل إلى حد ما لما تبدو عليه جميع الأسطح (والذي يعتمد بالنسبة للفئة السابعة على فرضية الغلاف الكروي العالمي ، والتي لم يتم إثباتها حتى عام 2024).بالنسبة للأسطح من النوع العام، لا يُعرف الكثير عن تصنيفها الصريح، على الرغم من العثور على العديد من الأمثلة.

ثوابت الأسطح

أرقام هودج وأبعاد كودايرا

يمكن التعبير عن أهم الثوابت للأسطح المركبة المدمجة المستخدمة في التصنيف بدلالة أبعاد مجموعات التماثل المتماسكة المختلفة . وتشمل هذه الثوابت الأساسية مجموعات التعددية وأعداد هودج، المعرفة كما يلي:

K هي حزمة الخط المتعارف عليها التي تكون مقاطعها هي الأشكال الثنائية الهولومورفية.
$P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1$ تُسمى هذه الثوابت بالتعددية . وهي ثوابت ثنائية نسبية ، أي أنها ثابتة تحت تأثير التضخيم. باستخدام نظرية سيبرغ-ويتن ، أثبت روبرت فريدمان وجون مورغان أنها بالنسبة للمشعبات المعقدة تعتمد فقط على المشعب الرباعي الأملس الموجه الأساسي. بالنسبة للأسطح غير الكاهلرية، تُحدد التعددية بواسطة المجموعة الأساسية، ولكن بالنسبة للأسطح الكاهلرية، توجد أمثلة على أسطح متماثلة الشكل ولكنها تمتلك تعدديات وأبعاد كودايرا مختلفة. لا تُستخدم التعدديات الفردية كثيرًا؛ فأهم ما يميزها هو معدل نموها، الذي يُقاس ببعد كودايرا .
$\kappa$ هو بُعد كودايرا : إنه $-\infty$ (يُكتب أحيانًا -1) إذا كانت جميع الأجناس المتعددة تساوي صفرًا، وإلا فهو أصغر عدد (0 أو 1 أو 2 للأسطح) بحيث $P_{n}/n^{\kappa }$ محدود. لم يستخدم إنريكيس هذا التعريف: بل استخدم قيم $P_{12}$ و $K\cdot K=c_{1}^{2}$ تحدد هذه العوامل بُعد كودايرا وفقًا للعلاقة التالية:

{\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}

$h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),$ أين $\Omega ^{i}$ هي حزمة الأشكال الهولومورفية من النوع i ، وهي أعداد هودج ، وغالبًا ما يتم ترتيبها في معين هودج:

{\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}

ثنائية سير

h^{i,j}=h^{2-i,2-j}

و

h^{0,0}=h^{2,2}=1.

تعتمد أعداد هودج لسطح معقد فقط على حلقة التماثل الحقيقي الموجهة للسطح، وهي ثابتة تحت التحويلات الثنائية النسبية باستثناء

h^{1,1}

والذي يزداد بمقدار 1 عند تفجير نقطة واحدة.

إذا كان السطح من نوع كاهلر ، $h^{i,j}=h^{j,i}$ ولا يوجد سوى ثلاثة أعداد هودج مستقلة.
إذا كان السطح مضغوطًا، $h^{1,0}$ يساوي $h^{0,1}$ أو $h^{0,1}-1.$

الثوابت المتعلقة بأعداد هودج

هناك العديد من الثوابت التي (على الأقل بالنسبة للأسطح المعقدة) يمكن كتابتها كمجموعات خطية من أعداد هودج، كما يلي:

أرقام بيتي : تُعرَّف بواسطة $b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.$

{\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}

في الخاصية p > 0 يتم تعريف أعداد بيتي باستخدام علم التماثل l-adic ولا يلزم أن تحقق هذه العلاقات.

خاصية أويلر أو عدد أويلر :

e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.

يُعرَّف عدم الانتظام بأنه بُعد تنوع بيكارد وتنوع ألبانيز ، ويُرمز له بالرمز q . بالنسبة للأسطح المركبة (ولكن ليس دائمًا للأسطح ذات الخاصية الأولية).

q=h^{0,1}.

الجنس الهندسي :

p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.

الجنس الحسابي :

p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.

الخاصية الهولومورفية لأويلر للحزمة التافهة (عادةً ما تختلف عن عدد أويلر e المحدد أعلاه):

\chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.

وبحسب صيغة نوثر، فإنها تساوي أيضًا جنس تود

{\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).

يُرمز إلى توقيع مجموعة التماثل الثانية للأسطح المعقدة بـ $\tau$ :

\tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.

$b^{\pm }$ هي أبعاد الفضاءات الجزئية الموجبة والسالبة المحددة القصوى لـ $H^{2},$ لذا:

{\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}

ج ₂ = هـ و $c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e$ هي أعداد تشيرن ، المعرفة على أنها تكاملات لكثيرات الحدود المختلفة في فئات تشيرن على المشعب.

ثوابت أخرى

توجد ثوابت أخرى للأسطح المركبة المدمجة لا تُستخدم كثيرًا في التصنيف. وتشمل هذه الثوابت الجبرية مثل زمرة بيكارد Pic( X ) للقواسم modulo التكافؤ الخطي ، وزمرة نيرون-سيفيري NS( X ) خارج قسمتها ذات الرتبة عدد بيكارد ρ، والثوابت الطوبولوجية مثل الزمرة الأساسية π ₁ ومجموعات التماثل والتماثل التكاملي، وثوابت المتشعب الرباعي الأملس الأساسي مثل ثوابت سيبرغ-ويتن وثوابت دونالدسون .

النماذج البسيطة والتفجير

أي سطح يكون ثنائي النسب بالنسبة لسطح غير منفرد، لذلك يكفي في معظم الأغراض تصنيف الأسطح غير المنفردة.

بفرض أي نقطة على سطح ما، يمكننا تكوين سطح جديد بتفجير هذه النقطة، أي استبدالها بنسخة من الخط الإسقاطي. لأغراض هذه المقالة، يُسمى السطح غير المنفرد X سطحًا أدنى إذا تعذر الحصول عليه من سطح غير منفرد آخر بتفجير نقطة. وفقًا لنظرية انكماش كاستلنوفو ، يُكافئ هذا القول بأن X لا يحتوي على منحنيات (−1) (منحنيات نسبية ملساء ذات عدد تقاطع ذاتي −1). (في المصطلحات الحديثة لبرنامج النموذج الأدنى ، يُسمى السطح الإسقاطي الأملس X سطحًا أدنى إذا كانت حزمة خطه الأساسية KX سالبة . يمتلك السطح الإسقاطي _الأملس نموذجًا أدنى بهذا المعنى الأقوى إذا وفقط إذا كان بُعد كودايرا الخاص به غير سالب).

كل سطح X يكون ثنائي النسب بالنسبة لسطح أدنى غير منفرد، ويكون هذا السطح الأدنى غير المنفرد فريدًا إذا كان بُعد كودايرا لـ X يساوي صفرًا على الأقل أو لم يكن سطحًا جبريًا. الأسطح الجبرية ذات بُعد كودايرا $-\infty$ قد يكون السطح ثنائي النسب لأكثر من سطح أدنى غير منفرد، ولكن من السهل وصف العلاقة بين هذه الأسطح الدنيا. على سبيل المثال، السطح P1 × P1 الموسع عند نقطة ما متماثل مع السطح ^P2الموسع مرتين. لذا ^{، لتصنيف جميع الأسطح المركبة المدمجة حتى التماثل ثنائي النسب}^، يكفي (تقريبًا) تصنيف الأسطح الدنيا غير المنفردة.

أسطح كودايرا ذات البعد −∞

الأسطح الجبرية ذات بُعد كودايرا $-\infty$ يمكن تصنيفها على النحو التالي: إذا كانت q > 0، فإن الخريطة إلى منوع ألبانيز تحتوي على ألياف عبارة عن خطوط إسقاطية (إذا كان السطح أصغري)، وبالتالي يكون السطح سطحًا مسطرًا. أما إذا كانت q = 0، فلا تنطبق هذه الحجة لأن منوع ألبانيز عبارة عن نقطة، ولكن في هذه الحالة، تشير نظرية كاستلنوفو إلى أن السطح كسري.

بالنسبة للأسطح غير الجبرية، وجد كودايرا فئة إضافية من الأسطح تسمى النوع السابع، والتي لا تزال غير مفهومة جيدًا.

الأسطح العقلانية

السطح العقلاني _هو سطح ثنائي العقلانية بالنسبة للمستوى الإسقاطي المركب P₂ ^. جميع هذه الأسطح جبرية. الأسطح العقلانية الدنيا هي P₂ ^نفسه وأسطح هيرزبروش Σₙ حيث n = 0 أو n ≥ 2. (سطح هيرزبروش _Σₙ هو حزمة P₁ فوق ^P₁ المرتبطة بالحزمة O(0) + O( n). السطح Σ₀ متماثل مع P₁ × P₁ ^،و Σ₁ _متماثل مع P₂ بعد ^تضخيمه^عند نقطة _، لذا فهو ليس سطحًا أدنى ) ^.

الثوابت: جميع الأجناس المتعددة تساوي صفرًا والمجموعة الأساسية تافهة.

ماسة هودج:

		1
	0		0
0		1		0	(المستوى الإسقاطي)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(أسطح هيرزبروش)
	0		0
		1

أمثلة: P ² ، P ¹ × P ¹ = Σ ₀ ، أسطح هيرزبروش Σ _n ، الأسطح التربيعية ، الأسطح التكعيبية ، أسطح ديل بيزو ، سطح فيرونيز . العديد من هذه الأمثلة غير دنيا.

الأسطح المسطرة للجنس > 0

تتمتع الأسطح المسطرة من الرتبة g بتشاكل سلس مع منحنى من الرتبة g أليافه عبارة عن خطوط P1 ^. جميعها جبرية. (أما الأسطح من الرتبة 0 فهي أسطح هيرزبروش وهي نسبية). أي سطح مسطر مكافئ ثنائيًا نسبيًا لـ P1 × C لمنحنى وحيد C ، لذا ^فإن تصنيف الأسطح المسطرة حتى التكافؤ الثنائي النسبي هو نفسه تصنيف المنحنيات. السطح المسطر غير المتماثل مع P1 × P1 له تسطير وحيد ( بينما ^لـ^P1× ^P1تسطيران ⁾ .

الثوابت: جميع الأجناس المتعددة تساوي صفرًا.

ماسة هودج:

		1
	ز		ز
0		2		0
	ز		ز
		1

أمثلة: حاصل ضرب أي منحنى من النوع > 0 مع P ¹ .

أسطح الفئة السابعة

لا تُعدّ هذه الأسطح جبرية أو كاهلرية أبدًا. وقد صنّف بوغومولوف الأسطح الدنيا التي يكون فيها b² = 0 _{، وهي إما}أسطح هوبف أو أسطح إينوي . ومن الأمثلة على الأسطح ذات العدد الثاني الموجب لبيتي: أسطح إينوي-هيرزبروش ، وأسطح إينوكي ، وبشكل أعم، أسطح كاتو . وتفترض فرضية الغلاف الكروي الشامل أن جميع أسطح الفئة السابعة الدنيا ذات العدد الثاني الموجب لبيتي هي أسطح كاتو، مما يُكمّل تصنيف أسطح النوع السابع إلى حد كبير.

الثوابت: q = 1، h ^1,0 = 0. جميع الأجناس المتعددة تساوي 0.

ماسة هودج:

		1
	0		1
0		ب ₂		0
	1		0
		1

أسطح كودايرا ذات البعد 0

يتم تصنيف هذه الأسطح بالبدء بصيغة نوثر $12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.$ بالنسبة لبعد كودايرا 0، يكون عدد تقاطع K مع نفسه صفرًا ، لذلك $c_{1}^{2}=0.$ استخدام

{\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}

نصل إلى:

10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}

وعلاوة على ذلك، بما أن κ = 0، فإن لدينا:

h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

بدمج هذا مع المعادلة السابقة نحصل على:

8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}

بشكل عام 2 h ^0,1 ≥ b ₁ ، لذا فإن الحدود الثلاثة على اليسار هي أعداد صحيحة غير سالبة ولا يوجد سوى عدد قليل من الحلول لهذه المعادلة.

بالنسبة للأسطح الجبرية 2 h ^0,1 − b ₁ هو عدد صحيح زوجي بين 0 و 2 p _g .
بالنسبة للأسطح المعقدة المدمجة 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 أو 1.
بالنسبة لأسطح كاهلر 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 و h ^1,0 = h ^0,1 .

معظم حلول هذه الشروط تتوافق مع فئات من الأسطح، كما هو موضح في الجدول التالي:

ب ₂	ب ₁	h ^0,1	p _g = h ^0,2	h ^1,0	ح ^1,1	الأسطح	الحقول
22	0	0	1	0	20	K3	أي نوع. دائمًا ما يكون كاهلريًا على الأعداد المركبة، ولكن ليس بالضرورة أن يكون جبريًا.
10	0	0	0	0	10	إنريكيس الكلاسيكي	أي. دائماً جبري.
10	0	1	1			إنريكي غير الكلاسيكي	السمة الثانية فقط
6	4	2	1	2	4	الأسطح الأبيلية، والحلقات الطورية	أي نوع. دائمًا ما يكون كاهلريًا على الأعداد المركبة، ولكن ليس بالضرورة أن يكون جبريًا.
2	2	1	0	1	2	فرط بيضاوي	أي. دائمًا جبري
2	2	1 أو 2	0 أو 1			شبه إهليلجي زائد	الخصائص 2 و3 فقط
4	3	2	1	1	2	كودايرا الابتدائية	معقد فقط، وليس كاهلر أبداً
0	1	1	0	0	0	مدرسة كودايرا الثانوية	معقد فقط، وليس كاهلر أبداً

أسطح K3

هذه هي الأسطح المركبة المدمجة الدنيا ذات بُعد كودايرا صفر، حيث q = 0 وحزمة خطية قانونية تافهة. جميعها مشعبات كاهلر . جميع أسطح K3 متماثلة، وفئة التماثل الخاصة بها مثال مهم على مشعب رباعي الأبعاد أملس ذي دوران بسيط ومتصل.

الثوابت: مجموعة التماثل الثانية H ² ( X , Z ) متماثلة مع الشبكة الزوجية الوحيدة أحادية المعامل II _3,19 ذات البعد 22 والتوقيع −16.

ماسة هودج:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

أمثلة :

الأسطح الفائقة من الدرجة الرابعة في P ³ ( ج )
أسطح كومر . يتم الحصول عليها عن طريق قسمة سطح أبيلي على التشاكل الذاتي a → − a ، ثم تفجير النقاط الشاذة الـ 16.

السطح K3 المميز هو سطح K3 مصحوب بتشاكل من II _3,19 إلى H ² ( X , Z ). فضاء المعاملات للأسطح K3 المميزة هو فضاء تحليلي متصل أملس غير هاوسدورف ذو بُعد 20. تشكل الأسطح K3 الجبرية مجموعة قابلة للعد من أصناف فرعية ذات 19 بُعدًا منه.

الأسطح الأبيلية والحلقات المعقدة ثنائية الأبعاد

تشمل الأسطح المركبة ثنائية الأبعاد الأسطح الأبيلية . أما الأسطح المركبة أحادية البعد فهي مجرد منحنيات إهليلجية، وجميعها جبرية، لكن ريمان اكتشف أن معظم الأسطح المركبة ثنائية الأبعاد ليست جبرية. أما الأسطح الجبرية فهي تحديدًا الأصناف الأبيلية ثنائية الأبعاد . وتُعدّ معظم نظريتها حالة خاصة من نظرية الأسطح المركبة أو الأصناف الأبيلية ذات الأبعاد الأعلى. وقد حظيت معايير كون السطح ناتج ضرب منحنيين إهليلجيين (حتى التماثل ) باهتمام بحثي واسع في القرن التاسع عشر.

الثوابت: جميع الأجناس المتعددة هي 1. السطح متماثل مع S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹ لذا فإن المجموعة الأساسية هي Z ⁴ .

ماسة هودج:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

أمثلة: حاصل ضرب منحنيين إهليلجيين. جاكوبيان منحنى من النوع 2. أي خارج قسمة ^C²على شبكة.

أسطح كودايرا

لا تُعدّ هذه الأسطح جبريةً أبدًا، على الرغم من احتوائها على دوال ميرومورفية غير ثابتة. وعادةً ما تُقسّم إلى نوعين فرعيين: أسطح كودايرا الأولية ذات الحزمة القانونية التافهة، وأسطح كودايرا الثانوية التي هي ناتج قسمة هذه الأسطح على زمر منتهية من الرتب 2 أو 3 أو 4 أو 6، والتي تحتوي على حزم قانونية غير تافهة. وترتبط أسطح كودايرا الثانوية بالأسطح الأولية بنفس العلاقة التي تربط أسطح إنريكيس بأسطح K3، أو أسطح القطع الناقص الثنائية بالأسطح الأبيلية.

الثوابت: إذا كان السطح هو خارج قسمة سطح كودايرا الأساسي على مجموعة من الرتبة k = 1، 2، 3، 4، 6، فإن plurigenera P _n تساوي 1 إذا كان n قابلاً للقسمة على k و 0 خلاف ذلك.

ماسة هودج:

		1
	1		2
1		2		1	(أساسي)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(ثانوي)
	1		0
		1

أمثلة: خذ حزمة خطية غير تافهة فوق منحنى إهليلجي، وأزل الجزء الصفري، ثم اقسم الألياف على Z الذي يعمل كضرب في قوى عدد مركب z . هذا يعطي سطح كودايرا أساسي.

أسطح إنريكي

هذه هي الأسطح المركبة التي تحقق الشرط q = 0، ويكون حزمة الخط الأساسية غير تافهة، ولكن مربعها تافه. جميع أسطح إنريكيس جبرية (وبالتالي كاهلرية ). وهي ناتج قسمة أسطح K3 على زمرة من الرتبة 2، ونظريتها مشابهة لنظرية أسطح K3 الجبرية.

الثوابت: تكون الأجناس المتعددة P _n مساويةً لـ 1 إذا كان n زوجيًا، و0 إذا كان n فرديًا. المجموعة الأساسية من الرتبة 2. مجموعة التماثل الثانية H ² ( X , Z ) متماثلة مع مجموع الشبكة الزوجية الوحيدة أحادية المعامل II _1,9 ذات البعد 10 والإشارة -8 ومجموعة من الرتبة 2.

ماسة هودج:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

تشكل أسطح إنريكيس المميزة عائلة متصلة ذات 10 أبعاد، والتي تم وصفها بشكل صريح.

في الخاصية 2 توجد بعض العائلات الإضافية من أسطح إنريكيس تسمى أسطح إنريكيس المفردة والمفردة الفائقة؛ انظر المقالة حول أسطح إنريكيس لمزيد من التفاصيل.

أسطح بيضاوية زائدة (أو بيضاوية مزدوجة)

في مجموعة الأعداد المركبة، تُمثل هذه السطوح نواتج قسمة حاصل ضرب منحنيين إهليلجيين على زمرة منتهية من التشاكلات الذاتية. يمكن أن تكون هذه الزمرة المنتهية Z /2Z ، أو Z /2Z + Z / 2Z ، أو Z /3Z ، أو Z /3Z + Z / 3Z ، أو Z /4Z ، أو Z /4Z + Z / 2Z ، أو Z /6Z ، مما يُعطي سبع عائلات من هذه السطوح.

ماسة هودج:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

توجد بعض العائلات الإضافية في حقول الخصائص 2 أو 3 التي يتم الحصول عليها عن طريق أخذ عمليات القسمة بواسطة مخطط مجموعة غير إيتالي؛ انظر المقالة حول الأسطح الإهليلجية الفائقة لمزيد من التفاصيل.

أسطح كودايرا ذات البعد 1

السطح الإهليلجي هو سطح مزود بتليف إهليلجي (وهو تطبيق هولومورفي شامل على منحنى B بحيث تكون جميع الألياف، باستثناء عدد محدود منها، منحنيات ملساء غير قابلة للاختزال من الرتبة 1). الليف العام في هذا التليف هو منحنى من الرتبة 1 على حقل الدوال الخاص بـ B. وبالعكس، إذا كان لدينا منحنى من الرتبة 1 على حقل الدوال الخاص بمنحنى ما، فإن نموذجه الأدنى النسبي هو سطح إهليلجي. وقد قدم كودايرا وآخرون وصفًا شاملاً لجميع الأسطح الإهليلجية. وعلى وجه الخصوص، قدم كودايرا قائمة كاملة بالألياف الشاذة الممكنة . وتتشابه نظرية الأسطح الإهليلجية مع نظرية النماذج المنتظمة المناسبة للمنحنيات الإهليلجية على حلقات التقييم المنفصلة (مثل حلقة الأعداد الصحيحة p -adic ) ومجالات ديديكيند (مثل حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي).

في الخصائص المحدودة 2 و 3 يمكن أيضًا الحصول على أسطح شبه إهليلجية ، والتي قد تكون أليافها كلها تقريبًا منحنيات عقلانية ذات عقدة واحدة، وهي "منحنيات إهليلجية متدهورة".

كل سطح ذي بُعد كودايرا 1 هو سطح إهليلجي (أو سطح شبه إهليلجي في الخاصيتين 2 أو 3)، ولكن العكس ليس صحيحًا: يمكن أن يكون للسطح الإهليلجي بُعد كودايرا $-\infty$ ، أو 0، أو 1. جميع أسطح إنريكيس ، وجميع الأسطح الإهليلجية الفائقة ، وجميع أسطح كودايرا ، وبعض أسطح K3 ، وبعض الأسطح الأبيلية ، وبعض الأسطح العقلانية هي أسطح إهليلجية، وهذه الأمثلة لها بُعد كودايرا أقل من 1. السطح الإهليلجي الذي يكون منحنى قاعدته B من جنس 2 على الأقل يكون له دائمًا بُعد كودايرا 1، ولكن يمكن أن يكون بُعد كودايرا 1 أيضًا لبعض الأسطح الإهليلجية التي يكون منحنى قاعدتها B من جنس 0 أو 1.

الثوابت: $c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.$

مثال: إذا كان E منحنى إهليلجي و B منحنى من جنس 2 على الأقل، فإن E × B هو سطح إهليلجي ذو بُعد كودايرا 1.

أسطح ذات بُعد كودايرا 2 (أسطح من النوع العام)

_{جميع هذه الأشكال} جبرية، وبمعنى ما، تندرج معظم الأسطح ضمن هذه الفئة. بيّن جيسيكر وجود ^مخطط معياري تقريبي للأسطح من النوع العام؛ وهذا يعني أنه لأي قيم ثابتة لأعداد تشيرن c₁ و c₂ ، يوجد مخطط شبه إسقاطي يصنف الأسطح من النوع العام باستخدام أعداد تشيرن تلك. مع ذلك _، يُعدّ وصف هذه المخططات بشكل صريح مسألة بالغة الصعوبة، وهناك عدد قليل جدًا من أزواج أعداد تشيرن التي تمّ وصفها (إلا عندما يكون المخطط فارغًا!).

الثوابت: هناك عدة شروط يجب أن تستوفيها أعداد تشيرن لسطح معقد أدنى من النوع العام:

$c_{1}^{2},c_{2}>0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ ( عدم المساواة بوغومولوف-ميياوكا-ياو )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0$ (متباينة نوثر)
$c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.$

معظم أزواج الأعداد الصحيحة التي تحقق هذه الشروط هي أعداد تشيرن لسطح معقد من النوع العام.

أمثلة: أبسط الأمثلة هي حاصل ضرب منحنيين من جنس لا يقل عن 2، وسطح فائق من درجة لا تقل عن 5 في P³ ^. وهناك عدد كبير من الإنشاءات الأخرى المعروفة. مع ذلك، لا يوجد إنشاء معروف قادر على إنتاج أسطح "نموذجية" من النوع العام لأعداد تشيرن الكبيرة؛ في الواقع، ليس من المعروف حتى ما إذا كان هناك أي مفهوم معقول لسطح "نموذجي" من النوع العام. وقد تم العثور على العديد من الأمثلة الأخرى، بما في ذلك معظم أسطح هيلبرت المعيارية ، والمستويات الإسقاطية الزائفة ، وأسطح بارلو ، وما إلى ذلك.

التصنيف في الخصائص الإيجابية

بدأ ديفيد مامفورد ( 1969 ) تصنيف الأسطح في الخصائص الموجبة ^[⁷^] ، وأكمله إنريكو بومبيري وديفيد مامفورد ( 1976 ، 1977 ) ^[⁷^]^[⁸^]^[⁹^] . وهو مشابه لتصنيف الأسطح الجبرية في الخاصية صفر، ولكن لا توجد أسطح كودايرا أو أسطح من النوع السابع. وتوجد بعض العائلات الإضافية في الخصائص الصغيرة.

تُصبح الإجابة النهائية في جوهرها مطابقةً للإجابة في الحالة المعقدة (مع أن الطرق المستخدمة قد تختلف اختلافًا كبيرًا أحيانًا)، وذلك بعد إجراء تعديلين هامين. أولهما إمكانية الحصول على أسطح "غير كلاسيكية"، والتي تنشأ عندما يتحول الالتواء من الرتبة p في مخطط بيكارد إلى مخطط مجموعة غير مختزل. وثانيهما إمكانية الحصول على أسطح شبه إهليلجية في الخاصيتين الثانية والثالثة. هذه الأسطح مُدعّمة بألياف فوق منحنى، حيث يكون الليف العام منحنى من الرتبة الحسابية الأولى ذو قمة مدببة.

بعد إجراء هذه التعديلات، تُقسّم الأسطح إلى أربع فئات حسب بُعد كودايرا ، كما هو الحال في الحالة المركبة. توجد أسطح إنريكيس في الخاصية 2، وأسطح زائدية إهليلجية في الخاصيتين 2 و3، وفي بُعد كودايرا 1 في الخاصيتين 2 و3، يُسمح أيضًا بوجود تليفات شبه إهليلجية. يمكن فهم هذه الفئات الإضافية على النحو التالي: في الخاصية 0، تكون هذه الأسطح ناتج قسمة أسطح على زمر منتهية، ولكن في الخصائص المنتهية، من الممكن أيضًا الحصول على ناتج قسمة على مخططات زمر منتهية غير إيتالية . نحصل على أسطح إنريكيس مفردة وفائقة التفرد في الخاصية 2، وأسطح شبه زائدية إهليلجية في الخاصيتين 2 و3.

قام أوسكار زاريسكي بإنشاء بعض الأسطح ذات الخاصية الموجبة التي هي أحادية العقل ولكنها ليست عقلانية، مشتقة من امتدادات غير قابلة للفصل (ما يسمى بأسطح زاريسكي ). وفي الخاصية الموجبة، أظهر سير أن $h^{0}(\Omega )$ قد يختلف عن $h^{1}({\mathcal {O}})$ ، وأظهر إيغوسا أنه حتى عندما تكون متساوية، فقد تكون أكبر من عدم الانتظام (بعد تنوع بيكارد ).

انظر أيضاً

قائمة الأسطح الجبرية

ملاحظات

↑ لا ينطبق هذا في الخاصيتين 2 و 3، حيث توجد أسطح شبه إهليلجية ذات بُعد كودايرا 1.

مراجع

^ Enriques، Federigo (1914)، “Sulla classificazione delle superficie algebriche e Particolarmente sulle superficie di genere p ¹ = 1”، Atti. لجنة التنسيق الإدارية. لينكسي الخامس سير. ، 23
^ إنريكي، فيديريجو (1949)، Le Superficie Algebriche ، نيكولا زانيتشيلي، بولونيا، MR 0031770
↑ كودايرا، كونيهيكو (1964)، "حول بنية الأسطح التحليلية المركبة المدمجة. الجزء الأول"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 86 (4): 751-798 ، doi : 10.2307/2373157 ، JSTOR 2373157 ، MR 0187255
↑ كودايرا، كونيهيكو (1966)، "حول بنية الأسطح التحليلية المركبة المدمجة. الجزء الثاني"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 88 (3): 682-721 ، doi : 10.2307/2373150 ، JSTOR 2373150 ، MR 0205280 ، PMC 300219 ، PMID 16578569
↑ كودايرا، كونيهيكو (1968أ)، "حول بنية الأسطح التحليلية المركبة المدمجة. الجزء الثالث"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 90 (1): 55-83 ، doi : 10.2307/2373426 ، JSTOR 2373426 ، MR 0228019
↑ كودايرا، كونيهيكو (1968ب)، "حول بنية الأسطح التحليلية المعقدة. الجزء الرابع"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 90 (4): 1048-1066 ، doi : 10.2307/2373289 ، JSTOR 2373289 ، MR 0239114
1 2 مامفورد، ديفيد (1969)، "تصنيف إنريكيس للأسطح في char p I"، التحليل العالمي (أوراق بحثية تكريمًا لك. كودايرا) ، طوكيو: مطبعة جامعة طوكيو، ص 325-339 ، doi : 10.1515/9781400871230-019 ، ISBN 978-1-4008-7123-0JSTOR j.ctt13x10qw.21 ، MR 0254053
↑ بومبيري، إنريكو ؛ مامفورد، ديفيد (1977)، "تصنيف إنريكيس للأسطح في الخصائص، ص. 2"، التحليل المركب والهندسة الجبرية ، طوكيو: إيوانامي شوتين، ص. 23-42 ، MR 0491719
^ بومبيري، إنريكو ؛ مومفورد، ديفيد (1976)، “تصنيف إنريكي للأسطح في شار. ص. III.” (PDF) , اختراعات الرياضيات , 35 : 197– 232, بيب كود : 1976InMat..35..197B , دوى : 10.1007 / BF01390138 , السيد 0491720 , S2CID 122816845

للمزيد من القراءة

بارث، وولف ب . Hulek, كلاوس ; بيترز، كريس آم. فان دي فين، أنطونيوس (2004)، الأسطح المعقدة المدمجة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج، المجلد. 4، سبرينغر-فيرلاغ، برلين، دوى : 10.1007/978-3-642-57739-0 ، ISBN 978-3-540-00832-3MR 2030225 – كتاب مرجعي قياسي للأسطح المعقدة المدمجة
بوفيل، أرنو (1996)، الأسطح الجبرية المعقدة ، نصوص طلاب الجمعية الرياضية بلندن، المجلد 34 (الطبعة الثانية )، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511623936 ، ISBN 978-0-521-49510-3MR 1406314 ( ISBN) 978-0-521-49842-5(غلاف ورقي) - يتضمن مقدمة مبسطة للتصنيف
بومبيري، إي.؛ مامفورد، د. (1977). "تصنيف إنريكيس للأسطح في الشكل P، الجزء الثاني". التحليل المركب والهندسة الجبرية . ص 23-42 . doi : 10.1017/CBO9780511569197.004 . ISBN 9780521217774.
ريد، مايلز (1997)، "فصول حول الأسطح الجبرية"، الهندسة الجبرية المعقدة (بارك سيتي، يوتا، 1993) ، سلسلة الرياضيات IAS/بارك سيتي، المجلد 3، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 3-159 ، arXiv : alg-geom/9602006 ، Bibcode : 1996alg.geom..2006R ، doi : 10.1090/pcms/003/02 ، ISBN 9780821811450، MR 1442522 ، S2CID 116933286
شافاريفيتش، إيغور ر . أفيربوه، بوريس ج؛ فانبرج، جو. ر. زيزتشينكو، أب. مانين، يوري الأول . مويشزون، بوريس ج . تجورينا، جالينا ن.؛ Tjurin، Andrei N. (1967) [1965]، “السطوح الجبرية”، وقائع معهد ستيكلوف للرياضيات ، المجلد. 75، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات من 1 إلى 215، ISBN 978-0-8218-1875-6MR 0190143
فان دي فين ، أنطونيوس (1978) ، “حول تصنيف إنريكي للأسطح الجبرية” ، Séminaire Bourbaki، 29e année (1976/77) ، Lecture Notes in Math.، vol. 677، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، الصفحات من 237 إلى 251، السيد 0521772
Lang, William E. “الأسطح شبه الإهليلجية في الخصائص الثلاثة” ، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة، السلسلة 4، المجلد 12 (1979) لا. 4، ص 473-500. دوى : 10.24033/asens.1373 . تصنف النظرية 4.3 من هذه المقالة أرقام هودج لسطح شبه إهليلجي في الخاصية الثلاثة.

روابط خارجية

le superficie algebriche هو عرض مرئي تفاعلي لتصنيف إنريكيس-كودايرا، من إعداد بيتر بيلمانز ويوهان كوملين

[7] لا ينطبق هذا في الخاصيتين 2 و 3، حيث توجد أسطح شبه إهليلجية ذات بُعد كودايرا 1.

[1] Enriques، Federigo (1914)، “Sulla classificazione delle superficie algebriche e Particolarmente sulle superficie di genere p ¹ = 1”، Atti. لجنة التنسيق الإدارية. لينكسي الخامس سير. ، 23

[2] إنريكي، فيديريجو (1949)، Le Superficie Algebriche ، نيكولا زانيتشيلي، بولونيا، MR 0031770

[3] كودايرا، كونيهيكو (1964)، "حول بنية الأسطح التحليلية المركبة المدمجة. الجزء الأول"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 86 (4): 751-798 ، doi : 10.2307/2373157 ، JSTOR 2373157 ، MR 0187255

[4] كودايرا، كونيهيكو (1966)، "حول بنية الأسطح التحليلية المركبة المدمجة. الجزء الثاني"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 88 (3): 682-721 ، doi : 10.2307/2373150 ، JSTOR 2373150 ، MR 0205280 ، PMC 300219 ، PMID 16578569

[5] كودايرا، كونيهيكو (1968أ)، "حول بنية الأسطح التحليلية المركبة المدمجة. الجزء الثالث"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 90 (1): 55-83 ، doi : 10.2307/2373426 ، JSTOR 2373426 ، MR 0228019

[6] كودايرا، كونيهيكو (1968ب)، "حول بنية الأسطح التحليلية المعقدة. الجزء الرابع"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 90 (4): 1048-1066 ، doi : 10.2307/2373289 ، JSTOR 2373289 ، MR 0239114

[:0-8] 1 2 مامفورد، ديفيد (1969)، "تصنيف إنريكيس للأسطح في char p I"، التحليل العالمي (أوراق بحثية تكريمًا لك. كودايرا) ، طوكيو: مطبعة جامعة طوكيو، ص 325-339 ، doi : 10.1515/9781400871230-019 ، ISBN 978-1-4008-7123-0JSTOR j.ctt13x10qw.21 ، MR 0254053

[:1-9] بومبيري، إنريكو ؛ مامفورد، ديفيد (1977)، "تصنيف إنريكيس للأسطح في الخصائص، ص. 2"، التحليل المركب والهندسة الجبرية ، طوكيو: إيوانامي شوتين، ص. 23-42 ، MR 0491719

[:2-10] بومبيري، إنريكو ؛ مومفورد، ديفيد (1976)، “تصنيف إنريكي للأسطح في شار. ص. III.” (PDF) , اختراعات الرياضيات , 35 : 197– 232, بيب كود : 1976InMat..35..197B , دوى : 10.1007 / BF01390138 , السيد 0491720 , S2CID 122816845

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ أ ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗