سطح هوبف

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة المعقدة ، سطح هوبف هو سطح معقد مضغوط يتم الحصول عليه كحاصل قسمة على فضاء المتجهات المعقد (مع حذف الصفر).ج2∖{0}{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}بفعل حرّ لمجموعة منفصلة. إذا كانت هذه المجموعة هي مجموعة الأعداد الصحيحة، يُطلق على سطح هوبف اسم السطح الأولي ، وإلا يُطلق عليه اسم السطح الثانوي . (يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "سطح هوبف" بمعنى "سطح هوبف الأولي"). وقد وجد هاينز هوبف ( 1948 ) أول مثال على ذلك ، حيث تكون المجموعة المنفصلة متماثلة مع مجموعة الأعداد الصحيحة، مع مولد يعمل على ج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}عن طريق الضرب في 2؛ كان هذا أول مثال على سطح معقد مضغوط بدون مقياس كاهلر .

تُسمى النظائر ذات الأبعاد الأعلى لأسطح هوبف بمتشعبات هوبف .

الثوابت

أسطح هوبف هي أسطح من الفئة السابعة ، وعلى وجه الخصوص جميعها لها بُعد كودايرا.-∞{\displaystyle -\infty }وتختفي جميع أجناسها المتعددة. الجنس الهندسي هو 0. تحتوي المجموعة الأساسية على مجموعة فرعية دورية لا نهائية مركزية طبيعية ذات دليل محدود. ماسة هودج هي

1
01
000
10
1

على وجه الخصوص، يكون عدد بيتي الأول 1 وعدد بيتي الثاني 0. وعلى العكس من ذلك، أظهر كونيهيكو كودايرا ( 1968 ) أن السطح المركب المضغوط الذي يكون فيه عدد بيتي الثاني معدومًا والذي تحتوي مجموعته الأساسية على مجموعة فرعية دورية لانهائية ذات دليل محدود هو سطح هوبف. 

أسطح هوبف الأولية

في سياق تصنيف الأسطح المعقدة المدمجة ، قام كودايرا بتصنيف أسطح هوبف الأولية.

يتم الحصول على سطح هوبف الأولي على النحو التالي:

ح=(ج2∖{0})/Γ،{\displaystyle H={\Big (}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,}

أينΓ{\displaystyle \Gamma }هي مجموعة مولدة بواسطة انكماش متعدد الحدودγ{\displaystyle \gamma }وجد كودايرا شكلاً طبيعياً لـγ{\displaystyle \gamma }في الإحداثيات المناسبة، γ{\displaystyle \gamma } يمكن كتابتها على النحو التالي

(x،y)↦(αx+λyن،βy){\displaystyle (x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)}

أينα،β∈ج{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }الأعداد المركبة التي تحقق0<|α|≤|β|<1{\displaystyle 0<|\alpha |\leq |\beta |<1}و إما λ=0{\displaystyle \lambda =0}أوα=βن{\displaystyle \alpha =\beta ^{n}}.

تحتوي هذه الأسطح على منحنى إهليلجي (صورة المحور السيني ) وإذاλ=0{\displaystyle \lambda =0}صورة المحور الصادي هي منحنى إهليلجي ثانٍ. عندماλ=0{\displaystyle \lambda =0}يكون سطح هوبف فضاءً ليفياً إهليلجياً فوق الخط الإسقاطي إذا αم=βن{\displaystyle \alpha ^{m}=\beta ^{n}}لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة m و n ، مع الخريطة إلى الخط الإسقاطي المعطاة بواسطة(x،y)↦xمy-ن{\displaystyle (x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}}وإلا فإن المنحنيات الوحيدة هي صورتان للمحاور.

تكون زمرة بيكارد لأي سطح هوبف أولي متماثلة مع الأعداد المركبة غير الصفريةج*{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}.

أثبت كودايرا (1966ب) أن السطح المعقد متماثل الشكل معS3×S1{\displaystyle S^{3}\times S^{1}}إذا وفقط إذا كان سطح هوبف أساسيًا.

أسطح هوبف الثانوية

أي سطح هوبف ثانوي له غطاء غير متفرع محدود يمثل سطح هوبف أولي. وبالمثل، فإن مجموعته الأساسية لها مجموعة فرعية ذات دليل محدود في مركزها متماثلة مع الأعداد الصحيحة. وقد صنفها ماساهيدو كاتو ( 1975 ) من خلال إيجاد المجموعات المحدودة التي تعمل بدون نقاط ثابتة على أسطح هوبف الأولية. 

يمكن إنشاء العديد من الأمثلة على أسطح هوبف الثانوية باستخدام الفضاء الأساسي كنتيجة لتكوين فضاء كروي ودائرة.

مراجع