رقم بيتي

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 43 صور
الموسوعة الحرة

في الطوبولوجيا الجبرية ، تُستخدم أعداد بيتي لتمييز الفضاءات الطوبولوجية بناءً على اتصال المركبات التبسيطية ذات البعد n . بالنسبة لأكثر الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة منطقية (مثل المشعبات المدمجة ، والمركبات التبسيطية المحدودة ، ومركبات CW )، فإن متتالية أعداد بيتي تساوي صفرًا بدءًا من نقطة معينة (تتلاشى أعداد بيتي فوق بُعد الفضاء)، وجميعها محدودة.

يمثل عدد بيتي النوني رتبة مجموعة التماثل النونية ، ويرمز لها بـ H <sub>n</sub> ، والتي تخبرنا بالحد الأقصى لعدد القطع التي يمكن إجراؤها قبل فصل سطح إلى جزأين أو دورات من الرتبة 0، ودورات من الرتبة 1، وما إلى ذلك. [ 1 ] على سبيل المثال، إذاحن(X)≅0{\displaystyle H_{n}(X)\cong 0}ثمبن(X)=0{\displaystyle b_{n}(X)=0}، لوحن(X)≅Z{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} }ثمبن(X)=1{\displaystyle b_{n}(X)=1}، لوحن(X)≅Z⊕Z{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }ثمبن(X)=2{\displaystyle b_{n}(X)=2}، لوحن(X)≅Z⊕Z⊕Z{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }ثمبن(X)=3{\displaystyle b_{n}(X)=3}إلخ. لاحظ أنه يتم النظر فقط في رتب المجموعات اللانهائية، لذلك على سبيل المثال إذا حن(X)≅Zك⊕Z/(2){\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)}، أينZ/(2){\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}إذا كانت المجموعة الدورية المنتهية من الرتبة 2، فإنبن(X)=ك{\displaystyle b_{n}(X)=k}. هذه المكونات المحدودة لمجموعات التماثل هي مجموعات الالتواء الفرعية الخاصة بها ، ويتم الإشارة إليها بمعاملات الالتواء .

صاغ هنري بوانكاريه مصطلح "عدد بيتي" نسبةً إلى إنريكو بيتي . أما الصياغة الحديثة فتعود إلى إيمي نوثر . تُستخدم أعداد بيتي اليوم في مجالات مثل علم التماثل التبسيطي ، وعلوم الحاسوب ، والصور الرقمية .

التفسير الهندسي

بالنسبة للحلقة، فإن أول رقم بيتي هو b 1 = 2، والذي يمكن اعتباره بشكل بديهي على أنه عدد "الثقوب" الدائرية.

بصورة غير رسمية، يشير عدد بيتي رقم k إلى عدد الثقوب ذات البعد k على سطح طوبولوجي. و" الثقب ذو البعد k " هو دورة ذات بعد k لا تُمثل حدودًا لجسم ذي بعد ( k +1).

تتضمن الأرقام القليلة الأولى من أرقام بيتي التعريفات التالية للمجمعات التبسيطية ذات البعد الصفري، والبعد الواحد، والبعدين :

  • b 0 هو عدد المكونات المتصلة؛
  • b 1 هو عدد الثقوب أحادية البعد أو "الدائرية"؛
  • b 2 هو عدد "الفراغات" أو "التجاويف" ثنائية الأبعاد.

وهكذا، على سبيل المثال، يحتوي الطارة على مكون سطح متصل واحد لذا b 0 = 1، وفتحتين "دائريتين" (واحدة استوائية وواحدة طولية ) لذا b 1 = 2، وتجويف واحد مغلق داخل السطح لذا b 2 = 1.

تفسير آخر لـ b k هو الحد الأقصى لعدد المنحنيات ذات البعد k التي يمكن إزالتها مع بقاء الجسم متصلاً. على سبيل المثال، يبقى الطارة متصلاً بعد إزالة منحنيين أحاديي البعد (استوائي وطولي)، لذا فإن b 1 = 2. [ 2 ]

تُعد أرقام بيتي ثنائية الأبعاد أسهل في الفهم لأننا نستطيع رؤية العالم في 0 و 1 و 2 و 3 أبعاد.

التعريف الرسمي

بالنسبة لعدد صحيح غير سالب k ، يُعرَّف عدد بيتي k، b<sub> k</sub> ( X )، للفضاء X بأنه رتبة (عدد المولدات المستقلة خطيًا) المجموعة الأبيلية H <sub>k</sub> ( X )، وهي مجموعة التماثل k للفضاء X. مجموعة التماثل k هي  حك=كير⁡دلتاك/أنا⁡دلتاك+1{\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}}، الدلتاك{\displaystyle \delta _{k}}تمثل s خرائط الحدود للمركب التبسيطي ، ورتبة H k هي عدد بيتي رقم k . ويمكن تعريفها بشكل مكافئ على أنها بُعد الفضاء المتجهي لـ H k ( X ; Q )، لأن مجموعة التماثل في هذه الحالة هي فضاء متجهي على Q. وتُبين نظرية المعامل العام ، في حالة بسيطة جدًا خالية من الالتواء، أن هذه التعريفات متطابقة.  

بشكل عام، بالنظر إلى حقل F ، يمكن تعريف b k ( X , F )، وهو رقم بيتي k ذو المعاملات في F ، على أنه بُعد الفضاء المتجهي لـ H k ( X , F ).  

متعددة حدود بوانكاريه

تُعرَّف متعددة حدود بوانكاريه لسطح ما بأنها الدالة المولدة لأعداد بيتي الخاصة به. على سبيل المثال، أعداد بيتي للسطح الحلقي هي 1 و2 و1؛ وبالتالي فإن متعددة حدود بوانكاريه الخاصة به هي1+2x+x2{\displaystyle 1+2x+x^{2}}ينطبق التعريف نفسه على أي فضاء طوبولوجي له تماثل مولد بشكل نهائي.

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي ذي تماثل مولد نهائيًا، تُعرَّف متعددة حدود بوانكاريه بأنها الدالة المولدة لأعداد بيتي الخاصة به، وذلك عبر متعددة الحدود حيث معاملxن{\displaystyle x^{n}}يكونبن{\displaystyle b_{n}}.

أمثلة

أرقام بيتي للرسم البياني

لنفترض وجود رسم بياني طوبولوجي G حيث تكون مجموعة الرؤوس V ، ومجموعة الحواف E ، ومجموعة المكونات المتصلة C. وكما هو موضح في صفحة تماثل الرسوم البيانية ، فإن مجموعات التماثل الخاصة به معطاة بما يلي:

حك(جي)={Z|ج|ك=0Z|هـ|+|ج|-|V|ك=1{0}خلاف ذلك{\displaystyle H_{k}(G)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{|C|}&k=0\\\mathbb {Z} ^{|E|+|C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

يمكن إثبات ذلك بسهولة عن طريق الاستقراء الرياضي على عدد الحواف. الحافة الجديدة إما تزيد عدد الدورات المكونة من 1 أو تنقص عدد المكونات المتصلة.

لذلك، فإن عدد بيتي "الصفري" b 0 ( G ) يساوي | C |، وهو ببساطة عدد المكونات المتصلة. [ 3 ]

يُساوي عدد بيتي الأول b1 ( G ) | E | + | C | - | V |. ويُسمى أيضًا بالعدد الحلقي - وهو مصطلح قدمه غوستاف كيرشوف قبل ورقة بيتي البحثية. [ 4 ] انظر التعقيد الحلقي للاطلاع على تطبيق في هندسة البرمجيات .

جميع أرقام بيتي الأخرى تساوي صفرًا.

أعداد بيتي للمركب التبسيطي

مثال

لنفترض وجود مُركّب تبسيطي يتكون من مُركّبات تبسيطية من الرتبة صفر: أ، ب، ج، د، ومُركّبات تبسيطية من الرتبة واحد: هـ، و، ز، ح، ط، والمُركّب التبسيطي الوحيد من الرتبة اثنين هو ي، وهو المنطقة المظللة في الشكل. يوجد في هذا الشكل مُكوّن مُتصل واحد ( ب ٠ )؛ وثقب واحد، وهو المنطقة غير المظللة ( ب ١ )؛ ولا توجد فراغات أو تجاويف ( ب ٢ ).

هذا يعني أن رتبةح0{\displaystyle H_{0}}هو 1، رتبةح1{\displaystyle H_{1}}هو 1 ورتبةح2{\displaystyle H_{2}}يساوي صفرًا.

متتالية أعداد بيتي لهذا الشكل هي 1، 1، 0، 0، ...؛ ومتعددة حدود بوانكاريه هي1+x{\displaystyle 1+x\,}.

أرقام بيتي للمستوى الإسقاطي

مجموعات التماثل للمستوى الإسقاطي P هي:

حك(P)={Zك=0Z2ك=1{0}خلاف ذلك{\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

هنا، Z₂ هي المجموعة الدورية من الرتبة 2. العدد بيتي الصفري يساوي 1. أما العدد بيتي الأول فيساوي 0. والسبب في ذلك هو أن H₁ ( P ) مجموعة منتهية، أي أنها لا تحتوي على أي مكون لانهائي. يُسمى المكون المنتهي للمجموعة معامل الالتواء لـ P. لا تأخذ أعداد بيتي (النسبية) bₖ ( X ) في الحسبان أي التواء في مجموعات التماثل، لكنها تُعدّ ثوابت طوبولوجية أساسية بالغة الأهمية. وبأبسط العبارات، تُتيح هذه الأعداد حساب عدد الثقوب ذات الأبعاد المختلفة.

ملكيات

خاصية أويلر

بالنسبة لمجموعة CW محدودة K، لدينا

χ(ك)=∑أنا=0∞(-1)أنابأنا(ك،F)،{\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}

أينχ(ك){\displaystyle \chi (K)}يشير إلى خاصية أويلر لـ K وأي حقل F. 

المنتج الديكارتي

لأي مساحتين X و Y لدينا

PX×Y=PXPY،{\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},}

أينPX{\displaystyle P_{X}}يرمز إلى متعددة حدود بوانكاريه لـ X ، (بشكل أعم، متسلسلة هيلبرت-بوانكاريه ، للفضاءات اللانهائية الأبعاد)، أي الدالة المولدة لأعداد بيتي لـ X :

PX(z)=ب0(X)+ب1(X)z+ب2(X)z2+⋯،{\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}

انظر نظرية كونيث .

التناظر

إذا كان X متعدد الشعب ذو n بُعد، فهناك تبادل للتناظرك{\displaystyle k}ون-ك{\displaystyle n-k}، لأيك{\displaystyle k}:

بك(X)=بن-ك(X)،{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),}

في ظل الشروط ( متعدد الشعب المغلق والموجه )؛ انظر ازدواجية بوانكاريه .

معاملات مختلفة

إن الاعتماد على الحقل F يقتصر فقط على خاصيته . إذا كانت مجموعات التماثل خالية من الالتواء ، فإن أعداد بيتي مستقلة عن F. ويُشرح بالتفصيل ارتباط الالتواء من الرتبة p بعدد بيتي للخاصية p  ، حيث p عدد أولي، من خلال نظرية المعامل العام (المبنية على دوال الالتواء ، ولكن في حالة بسيطة).

أمثلة أخرى

  1. تسلسل أرقام بيتي للدائرة هو 1، 1، 0، 0، 0، ...؛
    متعددة حدود بوانكاريه هي
    1+x{\displaystyle 1+x\,}.
  2. تسلسل أرقام بيتي لثلاثة أضلاع حلقية هو 1، 3، 3، 1، 0، 0، 0، ... .
    متعددة حدود بوانكاريه هي
    (1+x)3=1+3x+3x2+x3{\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}.
  3. وبالمثل، بالنسبة لسطح حلقي من الرتبة n ،
    متعددة حدود بوانكاريه هي
    (1+x)ن{\displaystyle (1+x)^{n}\,}(بحسب نظرية كونيث )، فإن أعداد بيتي هي معاملات ذات الحدين .

من الممكن أن تمتلك الفضاءات اللانهائية الأبعاد، من حيث الجوهر، متتالية لانهائية من أعداد بيتي غير الصفرية. مثال على ذلك الفضاء الإسقاطي المركب اللانهائي الأبعاد ، بمتتاليته الدورية 1، 0، 1، 0، 1، ...، والتي يبلغ طول دورتها 2. في هذه الحالة، لا تكون دالة بوانكاريه متعددة حدود، بل متسلسلة لانهائية.

1+x2+x4+⋯{\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }،

والتي، كونها متسلسلة هندسية، يمكن التعبير عنها كدالة كسرية

11-x2.{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}.}

وبشكل أعم، يمكن التعبير عن أي متتالية دورية كمجموع متسلسلات هندسية، وهو تعميم لما سبق. على سبيل المثالأ،ب،ج،أ،ب،ج،...،{\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}يحتوي على الدالة المولدة

(أ+بx+جx2)/(1-x3){\displaystyle \left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,}

وبشكل عام، فإن المتتاليات الخطية المتكررة هي بالضبط المتتاليات التي تولدها الدوال الكسرية ؛ وبالتالي فإن متسلسلة بوانكاريه قابلة للتعبير عنها كدالة كسرية إذا وفقط إذا كانت متتالية أعداد بيتي متتالية خطية متكررة.

كثيرات حدود بوانكاريه لمجموعات لي البسيطة المدمجة هي:

PSيو(ن+1)(x)=(1+x3)(1+x5)⋯(1+x2ن+1)PSيا(2ن+1)(x)=(1+x3)(1+x7)⋯(1+x4ن-1)PSص(ن)(x)=(1+x3)(1+x7)⋯(1+x4ن-1)PSيا(2ن)(x)=(1+x2ن-1)(1+x3)(1+x7)⋯(1+x4ن-5)Pجي2(x)=(1+x3)(1+x11)PF4(x)=(1+x3)(1+x11)(1+x15)(1+x23)Pهـ6(x)=(1+x3)(1+x9)(1+x11)(1+x15)(1+x17)(1+x23)Pهـ7(x)=(1+x3)(1+x11)(1+x15)(1+x19)(1+x23)(1+x27)(1+x35)Pهـ8(x)=(1+x3)(1+x15)(1+x23)(1+x27)(1+x35)(1+x39)(1+x47)(1+x59){\displaystyle {\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}

العلاقة بأبعاد فضاءات الأشكال التفاضلية

في الحالات الهندسية عندماX{\displaystyle X}إذا كانت فضاءً مغلقًا ، فقد تنبع أهمية أعداد بيتي من اتجاه مختلف، ألا وهو أنها تتنبأ بأبعاد الفضاءات المتجهة للأشكال التفاضلية المغلقة بتردد الأشكال التفاضلية التامة . ويرتبط هذا بالتعريف المذكور أعلاه من خلال ثلاث نتائج أساسية: نظرية دي رام وازدواجية بوانكاريه (عند انطباقها)، ونظرية المعامل الشامل لنظرية التماثل .

هناك تفسير بديل، وهو أن أعداد بيتي تعطي أبعاد فضاءات الأشكال التوافقية . وهذا يتطلب استخدام بعض نتائج نظرية هودج المتعلقة بمؤثر لابلاس هودج .

في هذا السياق، تقدم نظرية مورس مجموعة من المتباينات للمجاميع المتناوبة لأعداد بيتي بدلالة مجموع متناوب مماثل لعدد النقاط الحرجةشمالأنا{\displaystyle N_{i}}دالة مورس ذات فهرس معين :

بأنا(X)-بأنا-1(X)+⋯≤شمالأنا-شمالأنا-1+⋯.{\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}

قدم إدوارد ويتن تفسيراً لهذه المتباينات باستخدام دالة مورس لتعديل المشتقة الخارجية في مركب دي رام . [ 5 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ باريل، ووايسشتاين، مارغريتا وإريك. "عدد بيتي" . من MathWorld - مورد ويب من Wolfram.
  2. ↑ مؤرشف في Ghostarchiveوآلة Waybackألبين ، بيير (2019). "تاريخ الطوبولوجيا الجبرية" . يوتيوب .
  3. ↑ بير هاج (1996). شبكات الجزر: التواصل، والقرابة، وهياكل التصنيف في أوقيانوسيا . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 49. ISBN  978-0-521-55232-5.
  4. ↑ بيتر روبرت كوتيوجا (2010). احتفاء بالإرث الرياضي لراؤول بوت . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 20. ISBN  978-0-8218-8381-5.
  5. ↑ ويتن، إدوارد (1982)، "التناظر الفائق ونظرية مورس"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 17 (4): 661-692 ، doi : 10.4310/jdg/1214437492أيقونة الوصول المفتوح
  • وارنر، فرانك ويلسون (1983)، أسس المشعبات التفاضلية ومجموعات لي ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 0-387-90894-3.
  • رو، جون (1998)، المؤثرات الإهليلجية، والطوبولوجيا، والأساليب التقاربية ، سلسلة مذكرات بحثية في الرياضيات، المجلد  395 (  الطبعة الثانية)، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان وهول، ISBN 0-582-32502-1.