الزاوية الذهبية

في الهندسة ، الزاوية الذهبية هي أصغر الزاويتين الناتجتين عن تقسيم محيط الدائرة وفقًا للنسبة الذهبية ؛ أي إلى قوسين بحيث تكون نسبة طول القوس الأصغر إلى طول القوس الأكبر هي نفسها نسبة طول القوس الأكبر إلى محيط الدائرة بالكامل.

جبريًا، ليكن a+b محيط دائرة مقسمة إلى قوس أطول طوله a وقوس أصغر طوله b بحيث

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

الزاوية الذهبية هي الزاوية المحصورة بين القوس الأصغر الذي طوله ب . ويبلغ قياسها تقريبًا137.507 764 050 037 854 646 3487 ...° OEIS : A096627  أو بالراديان2.399 963 229 728 653 32 ... OEIS : A131988  .

يُستمد الاسم من ارتباط الزاوية الذهبية بالنسبة الذهبية φ ؛ والقيمة الدقيقة للزاوية الذهبية هي

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ درجة }}}$

أو

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ راديان}},}$

حيث تنبع المكافئات من الخصائص الجبرية المعروفة للنسبة الذهبية.

بما أن جيب الزاوية الذهبية وجيب تمامها أعداد متسامية ، فلا يمكن إنشاء الزاوية الذهبية باستخدام المسطرة والفرجار . ^{[ 1 ]}

النسبة الذهبية تساوي φ  = a / b بالنظر إلى الشروط المذكورة أعلاه. 

ليكن ƒ هو جزء من محيط الدائرة الذي تشكله الزاوية الذهبية، أو بشكل مكافئ، الزاوية الذهبية مقسومة على القياس الزاوي للدائرة.

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

لكن منذ

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

هذا يعادل القول بأن φ  ² الزوايا الذهبية يمكن أن تتناسب مع دائرة.

وبالتالي فإن نسبة الدائرة التي تشغلها الزاوية الذهبية هي

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

وبالتالي، يمكن تقريب الزاوية الذهبية g عدديًا بالدرجات على النحو التالي:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

أو بالراديان كالتالي  :

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

تلعب الزاوية الذهبية دورًا هامًا في نظرية الترتيب الورقي ؛ فعلى سبيل المثال، الزاوية الذهبية هي الزاوية التي تفصل بين الزهيرات في زهرة عباد الشمس . ^{[ 2 ]} يُظهر تحليل النمط أنه شديد الحساسية للزاوية التي تفصل بين البراعم الأولية ، حيث تُعطي زاوية فيبوناتشي الترتيب الورقي الأمثل بكثافة تعبئة مثالية. ^{[ 3 ]}

أظهرت النمذجة الرياضية لآلية فيزيائية معقولة لتطور الزهرة النمط الذي ينشأ تلقائيًا من حل معادلة تفاضلية جزئية غير خطية على مستوى . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 137 (رقم)
• 138 (رقم)
• النسبة الذهبية
• متتالية فيبوناتشي

• الزاوية الذهبية في عالم الرياضيات