طريقة التجزئة بالتدرج

التسلسل${\displaystyle (C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$(المحدد بواسطة ( 6 )) يبقى محدودًا.

للجميع${\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$،${\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}$(محدد بواسطة ( 7 )).

للجميع${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$،${\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}$(المحددة بواسطة ( 8 )). هذه الخاصية تستلزم خاصية الإكراه.

لكل التسلسل${\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$بحيث${\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}$للجميع ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$و ${\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$إذا كانت محدودة، فإن المتتالية${\displaystyle (\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$يتميز بصغر حجمه نسبياً${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$(هذه الخاصية تستلزم خاصية الإكراه).

يترك ${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$يكون تجزئة تدرجية كما هو مُعرَّف أعلاه. المؤثر${\displaystyle \Pi _{D}}$تكون إعادة البناء ثابتة جزئياً إذا وُجد أساس${\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}$ل${\displaystyle X_{D,0}}$وعائلة من المجموعات الفرعية المنفصلة ${\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}$ل${\displaystyle \Omega }$بحيث ${\textstyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$للجميع${\textstyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$، أين${\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}$هي الوظيفة المميزة لـ${\displaystyle \Omega _{i}}$.

${\displaystyle -\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

في هذه الحالة، يتقارب نموذج GDM في ظل خصائص الإكراه، والاتساق GD، والتوافق الحدي، والتراص.

${\displaystyle -\operatorname {div} \left(|\nabla {\overline {u}}|^{p-2}\nabla {\overline {u}}\right)=f}$

في هذه الحالة، يجب كتابة الخصائص الأساسية، واستبدالها${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ بواسطة${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$،${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$بواسطة${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ و${\displaystyle H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$بواسطة${\displaystyle W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )}$مع${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$، ولا يتقارب نموذج GDM إلا في ظل خصائص الإكراه، والاتساق مع GD، والتوافق الحدي.

${\displaystyle \partial _{t}{\overline {u}}-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

في هذه الحالة، يتقارب نموذج GDM في ظل خصائص الإكراه، والاتساق GD (المكيف مع مشاكل المكان والزمان)، والتوافق الحدي، والتراص (للحالة غير الخطية).

افترض أن${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \zeta }$هي دوال متصلة غير متناقصة وفقًا لشرط ليبشيتز:

${\displaystyle \partial _{t}\beta ({\overline {u}})-\Delta \zeta ({\overline {u}})=f}$

لاحظ أنه بالنسبة لهذه المشكلة، فإن خاصية إعادة البناء الثابتة جزئيًا مطلوبة، بالإضافة إلى خصائص الإكراه، والاتساق GD (المكيف مع مشاكل المكان والزمان)، والتوافق الحدي، والتراص.

يترك${\displaystyle V_{h}\subset H_{0}^{1}(\Omega )}$يتم توليدها بواسطة الأساس المحدود${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$طريقة غاليركين في${\displaystyle V_{h}}$وهو مطابق لنموذج إدارة البيانات العامة (GDM) حيث يتم تعريف

• ${\displaystyle X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathbb {R} ^{I},}$
• ${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}}$
• ${\displaystyle \nabla _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.}$

في هذه الحالة،${\displaystyle C_{D}}$هو الثابت المُتضمن في متباينة بوانكاريه المستمرة، و، بالنسبة لجميع${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$،${\displaystyle W_{D}(\varphi )=0}$(المحددة بواسطة ( 8 )). ثم يتم استنتاج ( 4 ) و( 5 ) من خلال ليمّة سيا .

"المُجمّع"${\displaystyle P^{1}}$تدخل حالة العناصر المحدودة في إطار عمل GDM، لتحل محل${\displaystyle \Pi _{D}u}$بواسطة ${\textstyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$، أين${\displaystyle \Omega _{i}}$هي خلية مزدوجة متمركزة على الرأس المفهرس بواسطة ${\displaystyle i\in I}$. استخدام التجميع الكتلي يسمح بالحصول على خاصية إعادة البناء الثابتة جزئيًا.

على شبكة${\displaystyle T}$وهي مجموعة متوافقة من الأشكال البسيطة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$غير المتوافق${\displaystyle P^{1}}$تُعرَّف العناصر المحدودة بواسطة الأساس ${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$من الدوال التي تكون خطية في أي ${\displaystyle K\in T}$، وقيمتها عند مركز ثقل وجه معين من الشبكة تساوي 1 و0 عند جميع الوجوه الأخرى (تُستخدم هذه العناصر المحدودة في [Crouzeix et al ] ^{[ 6 ]} لتقريب معادلات ستوكس ونافير-ستوكس ). عندئذٍ، تدخل الطريقة في إطار GDM بنفس التعريف كما في حالة طريقة غاليركين، باستثناء حقيقة أن ${\displaystyle \nabla \psi _{i}}$يجب فهمها على أنها "التدرج المكسور" لـ${\displaystyle \psi _{i}}$، بمعنى أنها دالة ثابتة جزئياً تساوي في كل سيمبلكس تدرج الدالة الأفينية في السيمبلكس.

تعتمد طريقة العناصر المحدودة المختلطة على تعريف فضاءين منفصلين، أحدهما لتقريب${\displaystyle \nabla {\overline {u}}}$وواحد آخر لـ${\displaystyle {\overline {u}}}$[ ^{7 ]} يكفي استخدام العلاقات المنفصلة بين هذه التقريبات لتعريف نموذج GDM. يسمح استخدام دوال أساس رافيارت-توماس منخفضة الدرجة ^{بالحصول} على خاصية إعادة البناء الثابتة جزئيًا.

تعتمد طريقة غاليركين غير المتصلة على تقريب المسائل بدالة متعددة الحدود مجزأة، دون اشتراطات على الانتقالات من عنصر إلى آخر. ^{[ 8 ]} يتم دمجها في إطار عمل GDM عن طريق تضمين حد قفز في التدرج المنفصل، والذي يعمل كتنظيم للتدرج بمعنى التوزيع.

تم تقديم هذه المجموعة من الطرق بواسطة [Brezzi et al ] ^{[ 9 ]} واكتملت في [Lipnikov et al ] ^{[ 10 ]} . وهي تتيح تقريب المسائل الإهليلجية باستخدام فئة واسعة من الشبكات متعددة السطوح. وقد تم إثبات اندماجها في إطار GDM في [Droniou et al ] ^{[ 2 ]} .