معادلات نافير-ستوكس

جزء من سلسلة عن
ميكانيكا المتصل
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ قوانين فيك للانتشار
القوانين الحفاظ على البيئة كتلة دَفعَة طاقة عدم المساواة كلاوزيوس-دوهيم (الإنتروبيا)
ميكانيكا المواد الصلبة تشوه مرونة خطي اللدونة قانون هوك ضغط أَضْنَى إجهاد محدود إجهاد لا متناهي في الصغر التوافق ثني ميكانيكا الاتصال احتكاكي نظرية فشل المواد ميكانيكا الكسر
ميكانيكا الموائع السوائل الاستاتيكا  · الديناميكيات مبدأ أرخميدس  · مبدأ برنولي معادلات نافير-ستوكس معادلة بوازويل  · قانون باسكال اللزوجة ( نيوتنيّة  · غير نيوتنيّة ) الطفو  · الاختلاط  · الضغط السوائل التصاق الخاصية الشعرية الكروماتوغرافيا التماسك (الكيمياء) التوتر السطحي الغازات أَجواء قانون بويل قانون شارل قانون الغازات المركبة قانون فيك قانون جاي لوساك قانون غراهام بلازما
علم الروماتيزم اللزوجة المرنة قياس الروماتيزم مقياس الروماتوميتر السوائل الذكية الريولوجيا الكهربائية المغناطيسية الريولوجية السوائل الممغنطة
العلماء برنولي بويل كوشي تشارلز أويلر فيك جاي لوساك جراهام هوك نيوتن نافير نول باسكال ستوكس تروسديل
ف ت هـ

معادلات نافير-ستوكس ( / nævˈjeɪstoʊks / nav - YAY STOHKS ) هي معادلات تفاضلية جزئية تصف حركة المواد السائلة اللزجة . وقد سميت على اسم المهندس والفيزيائي الفرنسي كلود لويس نافير والفيزيائي والرياضي الأيرلندي جورج جابرييل ستوكس . وقد تم تطويرها على مدى عدة عقود من البناء التدريجي للنظريات، من عام 1822 (نافير) إلى 1842-1850 (ستوكس).

تعبر معادلات نافير-ستوكس رياضيًا عن توازن الزخم للسوائل النيوتونية وتستفيد من قانون حفظ الكتلة . ويصاحبها أحيانًا معادلة حالة تتعلق بالضغط ودرجة الحرارة والكثافة . ^[1] تنشأ من تطبيق قانون إسحاق نيوتن الثاني على حركة السوائل ، جنبًا إلى جنب مع افتراض أن الإجهاد في السائل هو مجموع مصطلح اللزوجة المنتشرة (متناسب مع تدرج السرعة) ومصطلح الضغط - وبالتالي وصف التدفق اللزج . الفرق بينها وبين معادلات أويلر ذات الصلة الوثيقة هو أن معادلات نافير-ستوكس تأخذ اللزوجة في الاعتبار بينما نموذج معادلات أويلر للتدفق غير اللزج فقط . ونتيجة لذلك، فإن معادلات نافير-ستوكس هي معادلة مكافئة وبالتالي تتمتع بخصائص تحليلية أفضل، على حساب وجود بنية رياضية أقل (على سبيل المثال، لا يمكن تكاملها تمامًا أبدًا ).

معادلات نافير-ستوكس مفيدة لأنها تصف فيزياء العديد من الظواهر ذات الاهتمام العلمي والهندسي . يمكن استخدامها لنمذجة الطقس وتيارات المحيط وتدفق المياه في الأنابيب وتدفق الهواء حول الجناح . تساعد معادلات نافير-ستوكس، في أشكالها الكاملة والمبسطة، في تصميم الطائرات والسيارات ودراسة تدفق الدم وتصميم محطات الطاقة وتحليل التلوث والعديد من المشاكل الأخرى. إلى جانب معادلات ماكسويل ، يمكن استخدامها لنمذجة ودراسة المغناطيسية الهيدروديناميكية .

معادلات نافييه-ستوكس لها أيضًا أهمية كبيرة بالمعنى الرياضي البحت. وعلى الرغم من نطاقها الواسع من الاستخدامات العملية، لم يثبت بعد ما إذا كانت الحلول السلسة موجودة دائمًا في ثلاثة أبعاد - أي ما إذا كانت قابلة للاشتقاق بلا حدود (أو حتى محدودة فقط) في جميع النقاط في المجال . وهذا ما يسمى مشكلة الوجود والسلاسة لنافييه-ستوكس . وقد أطلق معهد كلاي للرياضيات على هذه المشكلة واحدة من أهم سبع مشكلات مفتوحة في الرياضيات وعرض جائزة قدرها مليون دولار أمريكي لحل أو مثال مضاد. ^{[2] [3]}

الحل للمعادلات هو سرعة التدفق . إنه مجال متجه - لكل نقطة في السائل، في أي لحظة في فترة زمنية، يعطي متجهًا يكون اتجاهه وحجمه هما اتجاه ومقدار سرعة السائل في تلك النقطة في الفضاء وفي تلك اللحظة في الزمن. عادة ما تتم دراسته في ثلاثة أبعاد مكانية وبعد زمني واحد، على الرغم من استخدام الحالات ثنائية الأبعاد (المكانية) والحالة المستقرة غالبًا كنماذج، ويتم دراسة نظائر ذات أبعاد أعلى في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية. بمجرد حساب مجال السرعة، يمكن العثور على كميات أخرى ذات أهمية مثل الضغط أو درجة الحرارة باستخدام المعادلات والعلاقات الديناميكية. هذا يختلف عما يراه المرء عادةً في الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث تكون الحلول عادةً مسارات لموضع جسيم أو انحراف متصل . إن دراسة السرعة بدلاً من الموضع أكثر منطقية بالنسبة للسائل، على الرغم من أنه لأغراض التصور يمكن للمرء حساب مسارات مختلفة . على وجه الخصوص، فإن خطوط انسيابية الحقل المتجه، والتي يتم تفسيرها على أنها سرعة التدفق، هي المسارات التي يسلكها جسيم سائل عديم الكتلة. هذه المسارات هي المنحنيات المتكاملة التي يكون مشتقها عند كل نقطة مساويًا للحقل المتجه، ويمكنها تمثيل سلوك الحقل المتجه بصريًا في نقطة زمنية.

يمكن اشتقاق معادلة زخم نافير-ستوكس كشكل خاص من معادلة زخم كوشي ، والتي يكون شكلها الحملي العام على النحو التالي: من خلال ضبط موتر إجهاد كوشي ليكون مجموع مصطلح اللزوجة ( الإجهاد الانحرافي ) ومصطلح الضغط (الإجهاد الحجمي)، نصل إلى: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma } }+\mathbf {f} .}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\textstyle -p\mathbf {I} }$

أين

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$هو المشتق المادي ، والذي يعرف بأنه ،${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$هي كثافة (الكتلة)
• ${\textstyle \mathbf {u} }$هي سرعة التدفق،
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$هو التباعد​
• ${\textstyle p}$هو الضغط​
• ${\textstyle t}$لقد حان الوقت
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$هو موتر الإجهاد الانحرافي ، والذي له الترتيب 2،
• ${\textstyle \mathbf {a} }$يمثل تسارعات الجسم المؤثرة على المتصل، على سبيل المثال الجاذبية ، والتسارع بالقصور الذاتي ، والتسارع الكهروستاتيكي ، وما إلى ذلك.

في هذا الشكل، من الواضح أنه في افتراض وجود سائل غير لزج - لا يوجد إجهاد انحرافي - فإن معادلات كوشي تُختزل إلى معادلات أويلر .

بافتراض الحفاظ على الكتلة ، مع الخصائص المعروفة للتباعد والتدرج ، يمكننا استخدام معادلة استمرارية الكتلة، والتي تمثل الكتلة لكل وحدة حجم من سائل متجانس بالنسبة إلى المكان والزمان (أي المشتق المادي ) لأي حجم محدود ( V ) لتمثيل تغير السرعة في وسط السائل: حيث ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}\left({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )}\right)dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$هي المشتقة المادية للكتلة لكل وحدة حجم ( الكثافة ، )،${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle {\iiint \limits _{V}}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$هي العملية الرياضية للتكامل في جميع أنحاء الحجم ( V )،
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$هو المشتق الجزئي للمشغل الرياضي،
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$هو تباعد سرعة التدفق ( )، وهو مجال قياسي ، ^{ملاحظة 1}${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle {\nabla \rho }\,}$هو تدرج الكثافة ( ) ، وهو المشتق المتجهي لحقل قياسي ، ^{ملاحظة 1}${\displaystyle \rho }$

^{ملاحظة 1 - راجع العامل الرياضي del الذي يمثله الرمز nabla ( ) .${\displaystyle \nabla }$}

للوصول إلى صيغة الحفاظ على معادلات الحركة. غالبًا ما يُكتب هذا: ^[4]

أين هو حاصل الضرب الخارجي لسرعة التدفق ( ):${\textstyle \otimes }$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

يصف الجانب الأيسر من المعادلة التسارع، وقد يتكون من مكونات تعتمد على الوقت وحمل حراري (وكذلك تأثيرات الإحداثيات غير بالقصور الذاتي إذا كانت موجودة). والجانب الأيمن من المعادلة هو في الواقع مجموع التأثيرات الهيدروستاتيكية، وتباعد الإجهاد الانحرافي وقوى الجسم (مثل الجاذبية).

يمكن اشتقاق جميع معادلات التوازن غير النسبية، مثل معادلات نافير-ستوكس، من خلال البدء بمعادلات كوشي وتحديد موتر الإجهاد من خلال علاقة تأسيسية . من خلال التعبير عن موتر الإجهاد الانحرافي (القص) من حيث اللزوجة وتدرج سرعة السائل ، وبافتراض اللزوجة الثابتة، فإن معادلات كوشي أعلاه ستؤدي إلى معادلات نافير-ستوكس أدناه.

من السمات المهمة لمعادلة كوشي وبالتالي جميع معادلات الاستمرارية الأخرى (بما في ذلك أويلر ونافير-ستوكس) وجود تسارع الحمل الحراري: تأثير تسارع التدفق بالنسبة إلى المكان. وفي حين أن جزيئات السوائل الفردية تتعرض بالفعل لتسارع يعتمد على الوقت، فإن التسارع الحملي لحقل التدفق هو تأثير مكاني، ومن الأمثلة على ذلك تسارع السوائل في فوهة.

ملاحظة: هنا، يتم الإشارة إلى موتر الإجهاد الانحرافي كما كان في معادلات الاستمرارية العامة وفي قسم التدفق غير القابل للضغط. ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$

تنتج معادلة زخم الضغط نافير-ستوكس من الافتراضات التالية حول موتر إجهاد كوشي: ^[5]

• الإجهاد ثابت جاليليو : فهو لا يعتمد بشكل مباشر على سرعة التدفق، بل يعتمد فقط على المشتقات المكانية لسرعة التدفق. لذا فإن متغير الإجهاد هو تدرج الموتر ، أو ببساطة موتر معدل الانفعال :${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• يكون الإجهاد الانحرافي خطيًا في هذا المتغير: ، حيث يكون مستقلًا عن موتر معدل الانفعال، هو موتر من الدرجة الرابعة يمثل ثابت التناسب، ويسمى موتر اللزوجة أو المرونة ، و : هو حاصل الضرب ذو النقطتين .${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$${\textstyle p}$${\textstyle \mathbf {C} }$
• يُفترض أن السائل متساوي الخواص ، كما هو الحال مع الغازات والسوائل البسيطة، وبالتالي فهو موتر متساوي الخواص؛ وعلاوة على ذلك، نظرًا لأن موتر الإجهاد الانحرافي متماثل، فمن خلال تحلل هلمهولتز ، يمكن التعبير عنه من حيث معاملي لاميه القياسيين ، اللزوجة الثانية واللزوجة الديناميكية ، كما هو معتاد في المرونة الخطية : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  معادلة الإجهاد الخطي التكوينية (تعبير مشابه لتعبير المواد الصلبة المرنة)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  حيث هو موتر الهوية ، و هو أثر موتر معدل الانفعال. لذا يمكن تعريف هذا التحليل صراحةً على النحو التالي: ${\textstyle \mathbf {I} }$${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

نظرًا لأن أثر معدل الانفعال في ثلاثة أبعاد هو التباعد (أي معدل التوسع) للتدفق: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

ونظراً لهذه العلاقة، وبما أن أثر موتر الهوية في ثلاثة أبعاد هو ثلاثة: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

يصبح أثر موتر الإجهاد في ثلاثة أبعاد: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

لذا، من خلال تحليل موتر الإجهاد بشكل بديل إلى أجزاء متساوية الخواص ومنحرفة ، كما هو معتاد في ديناميكيات السوائل: ^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

مقدمة عن اللزوجة السائبة ، ${\textstyle \zeta }$$${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

نصل إلى المعادلة التكوينية الخطية في الشكل المستخدم عادة في الهيدروليكا الحرارية : ^[5]

والتي يمكن ترتيبها أيضًا بالشكل المعتاد الآخر: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

لاحظ أنه في الحالة القابلة للضغط، لا يتناسب الضغط مع مصطلح الإجهاد المتساوي الخواص ، نظرًا لوجود مصطلح اللزوجة الإجمالية الإضافي: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

ويظل موتر الإجهاد الانحرافي متطابقًا مع موتر إجهاد القص (أي أن الإجهاد الانحرافي في السائل النيوتوني ليس له مكونات إجهاد طبيعية)، وله حد قابلية للضغط بالإضافة إلى حالة عدم قابلية الضغط، وهو يتناسب مع لزوجة القص: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

لا يلزم أن تكون اللزوجة الكلية واللزوجة الديناميكية ثابتتين - بشكل عام، تعتمدان على متغيرين ترموديناميكيين إذا كان السائل يحتوي على نوع كيميائي واحد، على سبيل المثال، الضغط ودرجة الحرارة. أي معادلة توضح أحد معاملي النقل في متغيرات الحفظ تسمى معادلة الحالة . ^[8]${\textstyle \zeta }$${\textstyle \mu }$

تصبح معادلات نافيير-ستوكس الأكثر عمومية هي:

في تدوين الفهرس، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي ^[9]

يمكن الحصول على المعادلة المقابلة في شكل الحفاظ من خلال اعتبار أنه، بالنظر إلى معادلة استمرارية الكتلة ، فإن الجانب الأيسر يعادل:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

لإعطاء أخيرا:

بصرف النظر عن اعتمادها على الضغط ودرجة الحرارة، فإن معامل اللزوجة الثاني يعتمد أيضًا على العملية، أي أن معامل اللزوجة الثاني ليس مجرد خاصية مادية. مثال: في حالة موجة صوتية بتردد محدد تضغط وتمدد عنصر سائل بالتناوب، يعتمد معامل اللزوجة الثاني على تردد الموجة. يُطلق على هذا الاعتماد التشتت . في بعض الحالات، يمكن افتراض أن اللزوجة الثانية ثابتة وفي هذه الحالة، يكون تأثير اللزوجة الحجمية هو أن الضغط الميكانيكي لا يعادل الضغط الديناميكي الحراري : [ ^10] كما هو موضح أدناه. ومع ذلك، عادةً ما يتم إهمال هذا الاختلاف في معظم الأحيان (أي عندما لا نتعامل مع عمليات مثل امتصاص الصوت وتوهين موجات الصدمة، ^[11] حيث يصبح معامل اللزوجة الثاني مهمًا) من خلال افتراض صريح . يُطلق على افتراض الإعداد فرضية ستوكس . ^[12] يمكن إثبات صحة فرضية ستوكس للغاز أحادي الذرة تجريبياً ومن خلال النظرية الحركية؛ ^[13] بالنسبة للغازات والسوائل الأخرى، تكون فرضية ستوكس غير صحيحة بشكل عام. مع فرضية ستوكس، تصبح معادلات نافيير-ستوكس ${\textstyle \zeta }$${\textstyle \zeta }$$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$${\textstyle \zeta =0}$${\textstyle \zeta =0}$

إذا افترضنا أن اللزوجة الديناميكية μ واللزوجة الكلية متجانسة في الفضاء، فيمكن تبسيط المعادلات في شكل الحمل الحراري بشكل أكبر. من خلال حساب تباعد موتر الإجهاد، نظرًا لأن تباعد الموتر هو وتباعد الموتر هو ، نصل أخيرًا إلى معادلة زخم نافير-ستوكس القابلة للضغط: ^[14]${\displaystyle \zeta }$${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

حيث هو المشتق المادي . هو اللزوجة الحركية القصية و هو اللزوجة الحركية السائبة. يتغير الجانب الأيسر في شكل الحفاظ لمعادلة زخم نافير-ستوكس. من خلال إحضار المشغل على سرعة التدفق على الجانب الأيسر، يكون لدى on أيضًا: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$${\displaystyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$

يمكن أيضًا كتابة مصطلح تسارع الحمل الحراري على النحو التالي حيث يُعرف المتجه باسم متجه لامب . $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

بالنسبة للحالة الخاصة للتدفق غير القابل للضغط ، يقيد الضغط التدفق بحيث يكون حجم عناصر السائل ثابتًا: التدفق المتساوي السرعة ينتج عنه مجال سرعة لولبي مع . ^[15]${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

تنتج معادلة نافير-ستوكس للزخم غير القابل للضغط من الافتراضات التالية حول موتر إجهاد كوشي: ^[5]

• الإجهاد ثابت جاليليو : فهو لا يعتمد بشكل مباشر على سرعة التدفق، بل يعتمد فقط على المشتقات المكانية لسرعة التدفق. لذا فإن متغير الإجهاد هو تدرج الموتر .${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• يُفترض أن السائل متساوي الخواص ، كما هو الحال مع الغازات والسوائل البسيطة، وبالتالي فهو موتر متساوي الخواص؛ علاوة على ذلك، نظرًا لأنه يمكن التعبير عن موتر الإجهاد الانحرافي من حيث اللزوجة الديناميكية : ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu }$
  معادلة ستوكس التكوينية للإجهاد (التعبير المستخدم للمواد الصلبة المرنة غير القابلة للضغط)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  أين هو موتر معدل الانفعال . لذا يمكن توضيح هذا التحليل على النحو التالي: ^[5]$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

  معادلة ستوكس التكوينية للإجهاد (التعبير المستخدم للسوائل اللزجة غير القابلة للضغط)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

هذه المعادلة التأسيسية تسمى أيضًا قانون اللزوجة النيوتوني . لا يلزم أن تكون اللزوجة الديناميكية μ ثابتة - في التدفقات غير القابلة للضغط يمكن أن تعتمد على الكثافة والضغط. أي معادلة توضح أحد معاملات النقل هذه في المتغيرات المحافظة تسمى معادلة الحالة . ^[8]

يتم إعطاء تباعد الإجهاد الانحرافي في حالة اللزوجة المنتظمة بواسطة: لأن لسائل غير قابل للانضغاط. $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

تستبعد عدم قابلية الانضغاط موجات الكثافة والضغط مثل موجات الصوت أو الصدمة ، لذا فإن هذا التبسيط غير مفيد إذا كانت هذه الظواهر موضع اهتمام. عادةً ما ينطبق افتراض التدفق غير القابل للانضغاط جيدًا على جميع السوائل عند أرقام ماخ منخفضة (لنفترض حتى حوالي 0.3 ماخ)، مثل نمذجة الرياح الهوائية في درجات الحرارة العادية. ^[16] يمكن تصور معادلات نافير-ستوكس غير القابلة للانضغاط بشكل أفضل عن طريق القسمة على الكثافة: ^[17]

حيث تسمى اللزوجة الحركية . ومن خلال عزل سرعة السائل، يمكننا أيضًا أن نقول: ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

إذا كانت الكثافة ثابتة في جميع أنحاء المجال السائل، أو بعبارة أخرى، إذا كانت جميع عناصر السائل لها نفس الكثافة، فعندئذٍ يكون لدينا ${\textstyle \rho }$

حيث يسمى بوحدة ضغط الرأس . ${\textstyle p/\rho }$

في التدفقات غير القابلة للضغط، يلبي مجال الضغط معادلة بواسون ، ^[9]

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

والتي يتم الحصول عليها عن طريق أخذ تباعد معادلات الزخم.

من المفيد ملاحظة معنى كل مصطلح (مقارنة بمعادلة زخم كوشي ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

تم تقليص المصطلح من الدرجة الأعلى، أي تباعد إجهاد القص ، ببساطة إلى مصطلح لابلاس المتجه . ^[18] يمكن تفسير هذا المصطلح لابلاس على أنه الفرق بين السرعة عند نقطة والسرعة المتوسطة في حجم محيط صغير. وهذا يعني أن اللزوجة - بالنسبة للسائل النيوتوني - تعمل كانتشار للزخم ، بنفس الطريقة التي تعمل بها التوصيل الحراري . في الواقع، بإهمال مصطلح الحمل الحراري، تؤدي معادلات نافير-ستوكس غير القابلة للانضغاط إلى معادلة انتشار متجه (أي معادلات ستوكس )، ولكن بشكل عام يكون مصطلح الحمل الحراري موجودًا، لذا فإن معادلات نافير-ستوكس غير القابلة للانضغاط تنتمي إلى فئة معادلات الحمل الحراري والانتشار . ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

في الحالة المعتادة التي يكون فيها المجال الخارجي مجالًا محافظًا : عن طريق تحديد الرأس الهيدروليكي : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$$${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

يمكننا في النهاية تكثيف المصدر بأكمله في مصطلح واحد، للوصول إلى معادلة نافير-ستوكس غير القابلة للضغط مع المجال الخارجي المحافظ: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

معادلات نافير-ستوكس غير القابلة للضغط ذات الكثافة واللزوجة الموحدتين والحقل الخارجي المحافظ هي المعادلة الأساسية للهيدروليكا . مجال هذه المعادلات هو عادةً فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد أو أقل ، حيث يتم عادةً تعيين إطار مرجعي للإحداثيات المتعامدة لتوضيح نظام المعادلات التفاضلية الجزئية القياسية المراد حلها. في أنظمة الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد هي 3: ديكارتية وأسطوانية وكروية . إن التعبير عن معادلة متجه نافير-ستوكس بالإحداثيات الديكارتية أمر مباشر تمامًا ولا يتأثر كثيرًا بعدد أبعاد الفضاء الإقليدي المستخدم، وهذا هو الحال أيضًا بالنسبة للمصطلحات من الدرجة الأولى (مثل التباين والحمل الحراري) أيضًا في أنظمة الإحداثيات المتعامدة غير الديكارتية . ولكن بالنسبة للحدود ذات الترتيب الأعلى (الحدود الناتجة عن تباعد الإجهاد الانحرافي الذي يميز معادلات نافير-ستوكس عن معادلات أويلر) فإن بعض حسابات الموتر مطلوبة لاستنتاج تعبير في أنظمة إحداثيات متعامدة غير ديكارتية. وهناك حالة خاصة من المعادلة الأساسية للهيدروليكا وهي معادلة برنولي .

معادلة نافير-ستوكس غير القابلة للضغط هي معادلة مركبة، وهي مجموع معادلتين متعامدتين، حيث و هما مشغلا إسقاط لولبي وغير دوراني يلبيان و و و هما الجزءان المحافظ وغير المحافظ لقوة الجسم. تتبع هذه النتيجة نظرية هلمهولتز (المعروفة أيضًا باسم النظرية الأساسية لحساب المتجهات). المعادلة الأولى هي معادلة تحكم بدون ضغط للسرعة، بينما المعادلة الثانية للضغط هي دالة للسرعة وترتبط بمعادلة بواسون للضغط. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$${\textstyle \Pi ^{S}}$${\textstyle \Pi ^{I}}$${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

الشكل الوظيفي الصريح لمشغل الإسقاط في الأبعاد الثلاثية يمكن إيجاده من نظرية هلمهولتز: مع بنية مماثلة في الأبعاد الثنائية. وبالتالي فإن المعادلة الحاكمة هي معادلة تكاملية تفاضلية مشابهة لقانون كولومب وبيو -سافارت ، وهي غير ملائمة للحساب العددي. $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

الشكل الضعيف أو المتغير المكافئ للمعادلة، والذي ثبت أنه ينتج نفس حل السرعة مثل معادلة نافير-ستوكس، ^[19] يتم إعطاؤه بواسطة، $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

بالنسبة لوظائف الاختبار الخالية من التباعد التي تلبي الشروط الحدودية المناسبة. هنا، يتم إنجاز الإسقاطات من خلال عمودية مساحات الوظائف اللولبية وغير الدورانية. الشكل المنفصل لهذا مناسب تمامًا لحساب العناصر المحدودة للتدفق الخالي من التباعد، كما سنرى في القسم التالي. هناك سيكون المرء قادرًا على معالجة السؤال "كيف يمكن للمرء تحديد المشكلات المدفوعة بالضغط (بوازويل) باستخدام معادلة تحكم خالية من الضغط؟". ${\textstyle \mathbf {w} }$

إن غياب قوى الضغط من معادلة السرعة الحاكمة يوضح أن المعادلة ليست معادلة ديناميكية، بل هي معادلة حركية حيث يلعب شرط الخلو من التباعد دور معادلة الحفاظ. ويبدو أن كل هذا يدحض التصريحات المتكررة بأن الضغط غير القابل للانضغاط يفرض شرط الخلو من التباعد.

ضع في اعتبارك معادلات نافير-ستوكس غير القابلة للانضغاط لسائل نيوتن ذي كثافة ثابتة في مجال تكون فيه الحدود وأجزاء من الحدود حيث يتم تطبيق شرط حدود دي ريتشليه ونيومان على التوالي ( ): ^[20] هي سرعة السائل وضغط السائل ومصطلح إجباري معين ومتجه الوحدة العمودي الموجه للخارج إلى وموتر الإجهاد اللزج المحدد على النحو التالي: ^[20] لتكن اللزوجة الديناميكية للسائل وموتر الهوية من الدرجة الثانية وموتر معدل الانفعال المحدد على النحو التالي: ^[20] يتم إعطاء الدوال وبيانات حدود دي ريتشليه ونيومان، بينما هو الشرط الأولي . المعادلة الأولى هي معادلة توازن الزخم، بينما تمثل الثانية الحفاظ على الكتلة ، أي معادلة الاستمرارية . بافتراض اللزوجة الديناميكية الثابتة، وباستخدام الهوية المتجهة واستغلال قانون حفظ الكتلة، يمكن أيضًا التعبير عن تباعد موتر الإجهاد الكلي في معادلة الزخم على النحو التالي: ^[20] وعلاوة على ذلك، لاحظ أنه يمكن إعادة ترتيب شروط حدود نيومان على النحو التالي: ^[20]${\textstyle \rho }$$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$$${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$${\textstyle \Gamma _{D}}$${\textstyle \Gamma _{N}}$${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$ $${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$ ${\textstyle \mathbf {u} }$${\textstyle p}$${\textstyle \mathbf {f} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\textstyle \Gamma _{N}}$${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$${\textstyle \mu }$${\textstyle \mathbf {I} }$${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).}$$${\textstyle \mathbf {g} }$${\textstyle \mathbf {h} }$${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

من أجل إيجاد الشكل الضعيف لمعادلات نافير-ستوكس، أولاً، ضع في اعتبارك معادلة الزخم ^[20] واضربها في دالة اختبار ، محددة في فضاء مناسب ، وتكامل كلا العنصرين بالنسبة للمجال : ^[20] قم بالتكامل المعاكس بالأجزاء لمصطلحي الانتشار والضغط وباستخدام نظرية جاوس: ^[20]$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$${\textstyle \mathbf {v} }$${\textstyle V}$${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

باستخدام هذه العلاقات، نحصل على: ^[20] وبنفس الطريقة، يتم ضرب معادلة الاستمرارية لدالة الاختبار q التي تنتمي إلى فضاء ومتكاملة في المجال : ^[20] يتم اختيار دوال الفضاء على النحو التالي: مع الأخذ في الاعتبار أن دالة الاختبار v تختفي على حدود دي ريتشليه والنظر في شرط نيومان، يمكن إعادة ترتيب التكامل على الحدود على النحو التالي: ^[20] مع وضع هذا في الاعتبار، يتم التعبير عن الصيغة الضعيفة لمعادلات نافير-ستوكس على النحو التالي: ^[20]$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$${\textstyle Q}$${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

مع تقسيم مجال المشكلة وتحديد وظائف الأساس على المجال المقسم، فإن الشكل المنفصل للمعادلة الحاكمة هو $${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

من المستحسن اختيار وظائف الأساس التي تعكس السمة الأساسية للتدفق غير القابل للضغط - يجب أن تكون العناصر خالية من التباعد. في حين أن السرعة هي المتغير محل الاهتمام، فإن وجود دالة التدفق أو الإمكانات المتجهة ضروري بموجب نظرية هلمهولتز. علاوة على ذلك، لتحديد تدفق السوائل في غياب تدرج الضغط، يمكن للمرء تحديد الفرق بين قيم دالة التدفق عبر قناة ثنائية الأبعاد، أو التكامل الخطي للمكون المماسي للإمكانات المتجهة حول القناة في ثلاثية الأبعاد، حيث يتم إعطاء التدفق بواسطة نظرية ستوكس . سيتم تقييد المناقشة على ثنائية الأبعاد فيما يلي.

نحن نقتصر المناقشة أيضًا على العناصر المحدودة المستمرة في هيرميت والتي لها على الأقل درجات حرية المشتق الأول. وبهذا، يمكن للمرء أن يرسم عددًا كبيرًا من العناصر المثلثية والمستطيلة المرشحة من أدبيات ثني الصفائح . تحتوي هذه العناصر على مشتقات كمكونات للتدرج. في 2D، يكون التدرج والانحناء للسلم متعامدين بوضوح، كما هو موضح بواسطة التعبيرات، $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

إن اعتماد عناصر ثني الصفائح المستمرة، وتبادل درجات الحرية المشتقة وتغيير إشارة الدرجة المناسبة، يعطي العديد من عائلات عناصر دالة التدفق.

يؤدي أخذ تجعيد عناصر دالة التدفق القياسية إلى الحصول على عناصر سرعة خالية من التباعد. ^{[21] [22]} يضمن المتطلب الذي ينص على أن تكون عناصر دالة التدفق متصلة أن يكون المكون العمودي للسرعة متصلاً عبر واجهات العناصر، وهو كل ما هو ضروري لاختفاء التباعد على هذه الواجهات.

إن شروط الحدود سهلة التطبيق. فدالة التدفق ثابتة على الأسطح التي لا يوجد بها تدفق، مع وجود شروط سرعة عدم الانزلاق على الأسطح. وتحدد فروق دالة التدفق عبر القنوات المفتوحة التدفق. ولا توجد شروط حدودية ضرورية على الحدود المفتوحة، على الرغم من أنه يمكن استخدام قيم متسقة مع بعض المشكلات. وهذه كلها شروط ديريتشليت.

المعادلات الجبرية المراد حلها من السهل إعدادها، ولكنها بالطبع غير خطية، وتتطلب تكرار المعادلات الخطية.

وتنطبق اعتبارات مماثلة على الأبعاد الثلاثة، ولكن الامتداد من البعدين الثاني والثالث ليس فوريًا بسبب طبيعة المتجه للإمكانات، ولا توجد علاقة بسيطة بين التدرج والتجعيد كما كانت الحال في البعدين الثاني والرابع.

من السهل استعادة الضغط من مجال السرعة. المعادلة الضعيفة المنفصلة لتدرج الضغط هي، $${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

حيث تكون وظائف الاختبار/الوزن غير دورانية. يمكن استخدام أي عنصر محدود قياسي مطابق. ومع ذلك، قد يكون مجال تدرج الضغط أيضًا موضع اهتمام. في هذه الحالة، يمكن للمرء استخدام عناصر هيرميت القياسية للضغط. بالنسبة لوظائف الاختبار/الوزن، يجب على المرء اختيار عناصر المتجهات غير الدورانية التي تم الحصول عليها من تدرج عنصر الضغط. ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

يقدم الإطار المرجعي الدوار بعض القوى الزائفة المثيرة للاهتمام في المعادلات من خلال مصطلح المشتق المادي . ضع في اعتبارك إطار مرجعي بالقصور الذاتي ثابتًا  وإطار مرجعي غير بالقصور الذاتي ، والذي ينتقل بسرعة ويدور بسرعة زاوية بالنسبة للإطار الثابت. تصبح معادلة نافير-ستوكس التي تمت ملاحظتها من الإطار غير بالقصور الذاتي بعد ذلك ${\textstyle K}$${\textstyle K'}$${\textstyle \mathbf {U} (t)}$${\textstyle \Omega (t)}$

هنا و يتم قياسها في الإطار غير بالقصور الذاتي. يمثل الحد الأول بين قوسين تسارع كوريوليس ، والحد الثاني يرجع إلى التسارع الطردي المركزي ، والحد الثالث يرجع إلى التسارع الخطي بالنسبة إلى والحد الرابع يرجع إلى التسارع الزاوي بالنسبة إلى . ${\textstyle \mathbf {x} }$${\textstyle \mathbf {u} }$${\textstyle K'}$${\textstyle K}$${\textstyle K'}$${\textstyle K}$

معادلات نافير-ستوكس هي عبارة عن بيان صارم لتوازن الزخم. لوصف تدفق السوائل بالكامل، هناك حاجة إلى مزيد من المعلومات، ويعتمد مقدارها على الافتراضات التي تم إجراؤها. قد تتضمن هذه المعلومات الإضافية بيانات حدودية ( عدم الانزلاق ، سطح الشعيرات الدموية ، وما إلى ذلك)، وحفظ الكتلة، وتوازن الطاقة ، و/أو معادلة الحالة .

بغض النظر عن افتراضات التدفق، فإن بيان قانون حفظ الكتلة ضروري بشكل عام. ويتحقق ذلك من خلال معادلة استمرارية الكتلة ، كما تمت مناقشته أعلاه في "معادلات الاستمرارية العامة" ضمن هذه المقالة، على النحو التالي: يُطلق على وسط السائل الذي تكون كثافته ( ) ثابتة اسم غير قابل للانضغاط . وبالتالي، فإن معدل تغير الكثافة ( ) بالنسبة للوقت وتدرج الكثافة يساويان صفرًا . في هذه الحالة، تُقلص معادلة الاستمرارية العامة، ، إلى: . علاوة على ذلك، فإن افتراض أن الكثافة ( ) هي ثابت غير صفري يعني أن الجانب الأيمن من المعادلة قابل للقسمة على الكثافة ( ). وبالتالي، فإن معادلة الاستمرارية لسائل غير قابل للانضغاط تُقلص إلى: تحدد هذه العلاقة، ، أن تباعد متجه سرعة التدفق ( ) يساوي صفرًا ، مما يعني أنه بالنسبة لسائل غير قابل للانضغاط، يكون مجال سرعة التدفق مجال متجه لولبي أو مجال متجه خالٍ من التباعد . لاحظ أنه يمكن توسيع هذه العلاقة بسبب تفردها باستخدام عامل لابلاس المتجه ، والدوامة التي يتم التعبير عنها الآن على هذا النحو، بالنسبة للسائل غير القابل للانضغاط :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$${\displaystyle (\nabla \rho )}$${\displaystyle (0)}$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0}$${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle (\rho \neq 0)}$${\displaystyle (0)}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$ ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

يؤدي أخذ تجعيد معادلة نافيير-ستوكس غير القابلة للضغط إلى إزالة الضغط. من السهل بشكل خاص رؤية ذلك إذا تم افتراض تدفق ديكارتي ثنائي الأبعاد (كما في حالة ثلاثية الأبعاد المتدهورة مع عدم اعتماد أي شيء على )، حيث يتم تقليص المعادلات إلى: ${\textstyle u_{z}=0}$${\textstyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

إن التمييز بين الأول فيما يتعلق بـ والثاني فيما يتعلق بـ وطرح المعادلات الناتجة سيؤدي إلى إزالة الضغط وأي قوة محافظة . بالنسبة للتدفق غير القابل للانضغاط، فإن تحديد دالة التدفق من خلال يؤدي إلى إشباع استمرارية الكتلة دون قيد أو شرط (نظرًا لأن دالة التدفق مستمرة)، ثم تتكثف زخم نيوتن ثنائي الأبعاد غير القابل للانضغاط وحفظ الكتلة في معادلة واحدة: ${\textstyle y}$${\textstyle x}$ ${\textstyle \psi }$$${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

حيث هو المؤثر ثنائي الأبعاد و هو اللزوجة الحركية ، . يمكننا أيضًا التعبير عن ذلك بشكل مضغوط باستخدام المحدد اليعقوبي : ${\textstyle \nabla ^{4}}$${\textstyle \nu }$${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

تصف هذه المعادلة الفردية مع الظروف الحدودية المناسبة تدفق السوائل ثنائية الأبعاد، مع الأخذ في الاعتبار اللزوجة الحركية فقط كمعامل. لاحظ أن معادلة التدفق الزاحف تنتج عندما يُفترض أن الجانب الأيسر يساوي صفرًا.

في التدفق المحوري المتماثل ، يمكن استخدام صيغة أخرى لدالة التدفق، تسمى دالة تدفق ستوكس ، لوصف مكونات السرعة للتدفق غير القابل للضغط باستخدام دالة قياسية واحدة .

معادلة نافير-ستوكس غير القابلة للضغط هي معادلة جبرية تفاضلية ، لها ميزة غير مريحة وهي عدم وجود آلية صريحة لتقدم الضغط بمرور الوقت. وبالتالي، تم بذل الكثير من الجهد لإزالة الضغط من كل أو جزء من العملية الحسابية. تعمل صياغة دالة التدفق على إزالة الضغط ولكن فقط في بعدين وعلى حساب إدخال مشتقات أعلى وإزالة السرعة، وهي المتغير الأساسي محل الاهتمام.

معادلات نافير-ستوكس هي معادلات تفاضلية جزئية غير خطية في الحالة العامة وبالتالي تظل موجودة في كل موقف حقيقي تقريبًا. ^{[23] [24]} في بعض الحالات، مثل التدفق أحادي البعد وتدفق ستوكس (أو التدفق الزاحف)، يمكن تبسيط المعادلات إلى معادلات خطية. تجعل اللاخطية معظم المشكلات صعبة أو مستحيلة الحل وهي المساهم الرئيسي في الاضطراب الذي تنمذجه المعادلات.

إن اللاخطية ترجع إلى التسارع الحملي ، وهو تسارع مرتبط بالتغير في السرعة على الموضع. وبالتالي، فإن أي تدفق حملي، سواء كان مضطربًا أم لا، سوف ينطوي على اللاخطية. ومن الأمثلة على التدفق الحملي ولكن الرقائقي (غير المضطرب) مرور سائل لزج (على سبيل المثال، الزيت) عبر فوهة متقاربة صغيرة . غالبًا ما يمكن دراسة مثل هذه التدفقات وفهمها بدقة، سواء كانت قابلة للحل بدقة أم لا. ^[25]

الاضطراب هو السلوك الفوضوي المعتمد على الزمن والذي يظهر في العديد من تدفقات السوائل. ومن المعتقد عمومًا أنه يرجع إلى جمود السائل ككل: ذروة التسارع المعتمد على الزمن والحمل الحراري؛ وبالتالي فإن التدفقات حيث تكون التأثيرات بالقصور الذاتي صغيرة تميل إلى أن تكون صفائحية ( يحدد رقم رينولدز مقدار تأثر التدفق بالقصور الذاتي). ومن المعتقد، وإن لم يكن معروفًا على وجه اليقين، أن معادلات نافير-ستوكس تصف الاضطراب بشكل صحيح. ^[26]

الحل العددي لمعادلات نافير-ستوكس للتدفق المضطرب صعب للغاية، وبسبب مقاييس الطول المختلطة المختلفة بشكل كبير والتي تشارك في التدفق المضطرب، فإن الحل المستقر لهذا يتطلب دقة شبكة دقيقة لدرجة أن الوقت الحسابي يصبح غير قابل للتطبيق بشكل كبير للحساب أو المحاكاة العددية المباشرة . عادةً ما تؤدي محاولات حل التدفق المضطرب باستخدام مُحلل رقائقي إلى حل غير مستقر زمنيًا، والذي يفشل في التقارب بشكل مناسب. لمواجهة هذا، تُستخدم المعادلات ذات المتوسط ​​الزمني مثل معادلات نافير-ستوكس ذات المتوسط ​​رينولدز (RANS)، المكملة بنماذج الاضطراب، في تطبيقات ديناميكيات الموائع الحسابية العملية (CFD) عند نمذجة التدفقات المضطربة. تتضمن بعض النماذج نماذج Spalart-Allmaras و k – ω و k – ε و SST ، والتي تضيف مجموعة متنوعة من المعادلات الإضافية لإغلاق معادلات RANS. يمكن أيضًا استخدام محاكاة الدوامات الكبيرة (LES) لحل هذه المعادلات رقميًا. هذا النهج أكثر تكلفة من الناحية الحسابية - من حيث الوقت والذاكرة الحاسوبية - من RANS، ولكنه ينتج نتائج أفضل لأنه يحل صراحةً المقاييس المضطربة الأكبر.

يبدو أن معادلات نافير-ستوكس، إلى جانب المعادلات التكميلية (على سبيل المثال، قانون حفظ الكتلة) وظروف الحدود المصاغة بشكل جيد، تنمذج حركة السوائل بدقة؛ حتى التدفقات المضطربة تبدو (في المتوسط) متفقة مع الملاحظات في العالم الحقيقي.

تفترض معادلات نافير-ستوكس أن السائل الذي تتم دراسته هو متصل (قابل للقسمة إلى ما لا نهاية ولا يتكون من جسيمات مثل الذرات أو الجزيئات)، ولا يتحرك بسرعات نسبية . على نطاقات صغيرة جدًا أو في ظل ظروف قاسية، ستنتج السوائل الحقيقية المصنوعة من جزيئات منفصلة نتائج مختلفة عن السوائل المستمرة التي تم نمذجتها بواسطة معادلات نافير-ستوكس. على سبيل المثال، تظهر الشعيرات الدموية للطبقات الداخلية في السوائل للتدفق مع تدرجات عالية. ^{[27] بالنسبة} لعدد كنودسن الكبير للمشكلة، قد تكون معادلة بولتزمان بديلاً مناسبًا. ^[28] إذا فشل ذلك، فقد يضطر المرء إلى اللجوء إلى ديناميكيات جزيئية أو طرق هجينة مختلفة. ^[29]

هناك قيد آخر يتمثل ببساطة في الطبيعة المعقدة للمعادلات. توجد صيغ مجربة على مر الزمن لعائلات السوائل الشائعة، ولكن تطبيق معادلات نافير-ستوكس على عائلات أقل شيوعًا يميل إلى التسبب في صيغ معقدة للغاية وغالبًا ما تفتح مشاكل بحثية. لهذا السبب، تُكتب هذه المعادلات عادةً للسوائل النيوتونية حيث يكون نموذج اللزوجة خطيًا ؛ لا توجد نماذج عامة حقًا لتدفق أنواع أخرى من السوائل (مثل الدم). ^[30]

معادلات نافير-ستوكس، حتى عندما تكون مكتوبة صراحةً لسوائل محددة، هي عامة إلى حد ما في طبيعتها وتطبيقها الصحيح على مشاكل محددة يمكن أن يكون متنوعًا للغاية. ويرجع هذا جزئيًا إلى وجود مجموعة هائلة من المشاكل التي يمكن نمذجتها، بدءًا من المشاكل البسيطة مثل توزيع الضغط الساكن إلى المشاكل المعقدة مثل التدفق متعدد المراحل المدفوع بالتوتر السطحي .

بشكل عام، يبدأ التطبيق على مشاكل محددة ببعض افتراضات التدفق وصيغة الحالة الأولية/الحدودية، وقد يتبع ذلك تحليل المقياس لتبسيط المشكلة بشكل أكبر.

افترض وجود تدفق ثابت ومتوازي وأحادي البعد وغير مدفوع بالضغط بين لوحين متوازيين، فإن مشكلة القيمة الحدودية المقاسة (عديمة الأبعاد) الناتجة هي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

الشرط الحدودي هو شرط عدم الانزلاق . يمكن حل هذه المشكلة بسهولة في مجال التدفق: $${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

ومن هذه النقطة فصاعدًا، يمكن بسهولة الحصول على كميات أكبر من الاهتمام، مثل قوة السحب اللزج أو معدل التدفق الصافي.

قد تنشأ الصعوبات عندما تصبح المشكلة أكثر تعقيدًا بعض الشيء. قد يكون التغيير البسيط في التدفق الموازي أعلاه هو التدفق الشعاعي بين الصفائح المتوازية؛ وهذا ينطوي على الحمل الحراري وبالتالي عدم الخطية. يمكن تمثيل مجال السرعة بواسطة دالة f ( z ) التي يجب أن تلبي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

هذه المعادلة التفاضلية العادية هي ما يتم الحصول عليه عند كتابة معادلات نافير-ستوكس وتطبيق افتراضات التدفق (بالإضافة إلى ذلك، يتم حل تدرج الضغط). يجعل المصطلح غير الخطي هذه مشكلة صعبة للغاية لحلها تحليليًا ( يمكن العثور على حل ضمني طويل يتضمن تكاملات إهليلجية وجذور متعددات الحدود المكعبة ). تنشأ مشكلات مع الوجود الفعلي للحلول لـ (تقريبًا؛ هذا ليس √ 2 )، حيث يكون المعامل هو رقم رينولدز مع المقاييس المختارة بشكل مناسب. ^[31] هذا مثال على افتراضات التدفق التي تفقد قابليتها للتطبيق، ومثال على الصعوبة في تدفقات رقم رينولدز "العالية". ^[31]${\textstyle R>1.41}$${\textstyle R}$

أحد أنواع الحمل الحراري الطبيعي الذي يمكن وصفه بمعادلة نافير-ستوكس هو الحمل الحراري رايلي-بينارد . وهو أحد أكثر ظواهر الحمل الحراري التي تتم دراستها شيوعًا نظرًا لإمكانية الوصول إليه تحليليًا وتجريبيًا.

توجد بعض الحلول الدقيقة لمعادلات نافير-ستوكس. ومن أمثلة الحالات المتدهورة - حيث تكون الحدود غير الخطية في معادلات نافير-ستوكس مساوية للصفر - تدفق بوازويل وتدفق كويت وطبقة حدود ستوكس المتذبذبة . ولكن توجد أيضًا أمثلة أكثر إثارة للاهتمام وحلول للمعادلات غير الخطية الكاملة، مثل تدفق جيفري-هاميل وتدفق دوامة فون كارمان وتدفق نقطة الركود ونفاثات لاندو -سكوير ودوامة تايلور -جرين . ^{[32] [33] [34]} لاحظ أن وجود هذه الحلول الدقيقة لا يعني أنها مستقرة: فقد تتطور الاضطرابات عند أرقام رينولدز أعلى.

بناءً على افتراضات إضافية، يمكن فصل الأجزاء المكونة. ^[35]

يأتي مثال الحالة المستقرة بدون تفردات من النظر في التدفق على طول خطوط ألياف هوبف . ليكن نصف قطر ثابت للملف الداخلي. يتم إعطاء مجموعة واحدة من الحلول بواسطة: ^[37]${\textstyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

بالنسبة للثوابت التعسفية و . هذا حل في غاز غير لزج (سائل قابل للضغط) حيث تصل كثافته وسرعاته وضغطه إلى الصفر بعيدًا عن الأصل. (لاحظ أن هذا ليس حلاً لمشكلة Clay Millennium لأن ذلك يشير إلى السوائل غير القابلة للضغط حيث هو ثابت، ولا يتعامل أيضًا مع تفرد معادلات Navier-Stokes فيما يتعلق بأي خصائص اضطراب .) ومن الجدير بالذكر أيضًا أن مكونات متجه السرعة هي بالضبط تلك الموجودة في معلمة الرباعية فيثاغورس . هناك خيارات أخرى للكثافة والضغط ممكنة بنفس مجال السرعة: ${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle \rho }$

تم وصف مثالين للحلول اللزجة الدورية ثلاثية الأبعاد بالكامل في. ^[38] يتم تعريف هذه الحلول على شكل حلزوني ثلاثي الأبعاد وتتميز باللولب الموجب والسالب على التوالي. يتم إعطاء الحل باللولب الموجب بواسطة: حيث هو رقم الموجة ويتم تطبيع مكونات السرعة بحيث يكون متوسط ​​الطاقة الحركية لكل وحدة كتلة عند . يتم الحصول على مجال الضغط من مجال السرعة على النحو التالي (حيث و هما قيم مرجعية لحقول الضغط والكثافة على التوالي). نظرًا لأن كلا المحلولين ينتميان إلى فئة تدفق بلترامي ، فإن مجال الدوامة موازٍ للسرعة، وفي حالة اللولب الموجب، يتم إعطاؤه بواسطة . يمكن اعتبار هذه الحلول بمثابة تعميم في ثلاثة أبعاد لدوامة تايلور-جرين تايلور-جرين الكلاسيكية ثنائية الأبعاد . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}$$${\displaystyle k=2\pi /L}$${\displaystyle U_{0}^{2}/2}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}}$

مخططات وايلد هي رسوم بيانية محاسبية تتوافق مع معادلات نافير-ستوكس من خلال التوسع المضطرب لميكانيكا المتصل الأساسية . وعلى غرار مخططات فاينمان في نظرية المجال الكمومي ، فإن هذه المخططات هي امتداد لتقنية كيلديش للعمليات غير المتوازنة في ديناميكا الموائع. بعبارة أخرى، تحدد هذه المخططات الرسوم البيانية للظواهر المضطربة (غالبًا) في الموائع المضطربة من خلال السماح لجسيمات الموائع المترابطة والمتفاعلة بطاعة العمليات العشوائية المرتبطة بالوظائف شبه العشوائية في توزيعات الاحتمالات . ^[39]

لاحظ أن الصيغ في هذا القسم تستخدم تدوين السطر الواحد للمشتقات الجزئية، حيث تعني eg المشتقة الجزئية لـ بالنسبة إلى ، وتعني المشتقة الجزئية من الدرجة الثانية لـ بالنسبة إلى . ${\textstyle \partial _{x}u}$${\textstyle u}$${\textstyle x}$${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$${\textstyle f_{\theta }}$${\textstyle y}$

تقدم ورقة بحثية صدرت عام 2022 حلاً أقل تكلفة وديناميكيًا ومتكررًا لمعادلة نافيير-ستوكس لتدفقات السوائل المضطربة ثلاثية الأبعاد. على مقاييس زمنية قصيرة مناسبة، تكون ديناميكيات الاضطراب حتمية. ^[40]

من الشكل العام لمعادلة نافير-ستوكس، مع توسيع متجه السرعة على النحو التالي ، والذي يُسمى أحيانًا على التوالي ، ...${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$${\textstyle w}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أن الجاذبية تم اعتبارها قوة جسمية، وأن قيم ، ، ستعتمد على اتجاه الجاذبية بالنسبة لمجموعة الإحداثيات المختارة. ${\textstyle g_{x}}$${\textstyle g_{y}}$${\textstyle g_{z}}$

معادلة الاستمرارية تنص على: $${\displaystyle \partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.}$$

عندما يكون التدفق غير قابل للانضغاط، ولا يتغير بالنسبة لأي جسيم سائل، وتختفي مشتقاته المادية : . يتم تقليص معادلة الاستمرارية إلى: ${\textstyle \rho }$${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$$${\displaystyle \partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.}$$

وهكذا، بالنسبة للنسخة غير القابلة للضغط من معادلة نافير-ستوكس فإن الجزء الثاني من المصطلحات اللزجة يختفي (انظر التدفق غير القابل للضغط ).

يشتمل هذا النظام المكون من أربع معادلات على الشكل الأكثر استخدامًا ودراسة. ورغم أنه أكثر إحكامًا نسبيًا من التمثيلات الأخرى، إلا أنه لا يزال نظامًا غير خطي من المعادلات التفاضلية الجزئية التي يصعب الحصول على حلول لها.

سيؤدي تغيير المتغيرات في معادلات ديكارت إلى ^[16] معادلات الزخم التالية لـ ، ، و ^[41]${\textstyle r}$${\textstyle \phi }$${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

لن تكون مكونات الجاذبية ثابتة بشكل عام، ولكن بالنسبة لمعظم التطبيقات، إما أن يتم اختيار الإحداثيات بحيث تكون مكونات الجاذبية ثابتة أو يُفترض أن الجاذبية تقابلها حقل ضغط (على سبيل المثال، يتم التعامل مع التدفق في الأنبوب الأفقي بشكل طبيعي بدون جاذبية وبدون تدرج ضغط رأسي). معادلة الاستمرارية هي: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.}$$

هذا التمثيل الأسطواني لمعادلات نافير-ستوكس غير القابلة للضغط هو ثاني أكثر المعادلات شيوعًا (الأولى هي الديكارتية أعلاه). يتم اختيار الإحداثيات الأسطوانية للاستفادة من التناظر، بحيث يمكن لمكون السرعة أن يختفي. هناك حالة شائعة جدًا وهي التدفق المحوري المتماثل مع افتراض عدم وجود سرعة مماسية ( )، والكميات المتبقية مستقلة عن : ${\textstyle u_{\phi }=0}$${\textstyle \phi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}}$$

في الإحداثيات الكروية ، تكون معادلات ، ، والزخم هي ^[16] (لاحظ الاتفاقية المستخدمة: هي الزاوية القطبية، أو خط العرض المشترك ، ^[42] ): ${\textstyle r}$${\textstyle \phi }$${\textstyle \theta }$${\textstyle \theta }$ ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}$$

ستقرأ استمرارية الكتلة: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}$$

يمكن ضغط هذه المعادلات (قليلاً) عن طريق، على سبيل المثال، تحليل العوامل من الحدود اللزجة. ومع ذلك، فإن القيام بذلك من شأنه أن يغير بشكل غير مرغوب فيه بنية لابلاس والكميات الأخرى. ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$

تُستخدم معادلات نافير-ستوكس على نطاق واسع في ألعاب الفيديو من أجل نمذجة مجموعة واسعة من الظواهر الطبيعية. غالبًا ما تستند عمليات محاكاة السوائل الغازية صغيرة الحجم، مثل النار والدخان، إلى الورقة البحثية الرائدة "ديناميكيات السوائل في الوقت الفعلي للألعاب" ^[43] التي كتبها جوس ستام ، والتي توضح إحدى الطرق المقترحة في ورقة ستام السابقة الأكثر شهرة "السوائل المستقرة" ^{[44] من عام 1999. يقترح ستام محاكاة السوائل المستقرة باستخدام طريقة حل نافير-ستوكس من عام 1968، مقترنة بمخطط} الحمل الحراري شبه اللاجرانجي المستقر غير المشروط ، كما اقترح لأول مرة في عام 1992.

تعتمد التطبيقات الأحدث المستندة إلى هذا العمل على وحدة معالجة الرسومات (GPU) لأنظمة الألعاب بدلاً من وحدة المعالجة المركزية (CPU) وتحقق درجة أعلى بكثير من الأداء. ^{[45] [46]} تم اقتراح العديد من التحسينات على عمل ستام الأصلي، والذي يعاني بطبيعته من التبديد العددي العالي في كل من السرعة والكتلة.

يمكن العثور على مقدمة لمحاكاة السوائل التفاعلية في دورة ACM SIGGRAPH لعام 2007 ، محاكاة السوائل للرسوم المتحركة بالكمبيوتر. ^[47]

• أتشيسون، دي جيه (1990)، ديناميكا الموائع الأولية، سلسلة أكسفورد للرياضيات التطبيقية وعلوم الحوسبة، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-859679-0
• باتشيلور، جي كيه (1967)، مقدمة في ديناميكيات الموائع ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-66396-0
• كوري، آي جي (1974)، الميكانيكا الأساسية للسوائل ، ماكجرو هيل ، رقم ISBN 978-0-07-015000-3
• V. Girault وPA Raviart. طرق العناصر المحدودة لمعادلات نافير-ستوكس: النظرية والخوارزميات . سلسلة سبرينغر في الرياضيات الحاسوبية. Springer-Verlag، 1986.
• لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1987)، ميكانيكا الموائع ،  المجلد 6 ، دورة الفيزياء النظرية (الطبعة الثانية المنقحة)، دار بيرغامون للنشر، رقم ISBN 978-0-08-033932-0، OCLC  15017127
• بوليانين، أ.د. كوتيبوف، أ.م. فيازمين، أ.ف. كازينين، د.أ. (2002)، الديناميكا المائية، انتقال الكتلة والحرارة في الهندسة الكيميائية ، تايلور وفرانسيس، لندن، رقم ISBN 978-0-415-27237-7
• Rhyming، Inge L. (1991)، ديناميكية السوائل ، مطابع الفنون التطبيقية والجامعات الرومانية
• سميتس، ألكسندر ج. (2014)، مقدمة فيزيائية لميكانيكا الموائع ، وايلي، ISBN 0-47-1253499 
• تيمام، روجر (1984): معادلات نافير-ستوكس: النظرية والتحليل العددي ، دار نشر تشيلسي، رقم ISBN 978-0-8218-2737-6 
• وايت، فرانك م. (2006)، تدفق السوائل اللزجة ، ماكجرو هيل ، ISBN 978-0-07-124493-0

• اشتقاق مبسط لمعادلات نافير-ستوكس
• الشكل غير المستقر ثلاثي الأبعاد لمعادلات نافير-ستوكس مركز جلين للأبحاث، وكالة ناسا