دالة غرين (نظرية الأجسام المتعددة)

نحن نعتبر نظرية الأجسام المتعددة مع عامل المجال (عامل الإفناء مكتوب في أساس الموضع)${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$.

يمكن كتابة معاملات هايزنبرغ بدلالة معاملات شرودنغر على النحو التالي: $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{iKt}\psi (\mathbf {x} )e^{-iKt}}$$وعامل الإنشاء هو${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$، أين${\displaystyle K=H-\mu N}$هو الهاميلتوني الأعظم .

وبالمثل، بالنسبة لمؤثرات الزمن التخيلي ، $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )e^{-K\tau }}$$$${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )e^{-K\tau }.}$$ [لاحظ أن عامل إنشاء الزمن التخيلي${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ليس هو المرافق الهرميتي لمؤثر الإفناء${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$.]

في الوقت الفعلي،${\displaystyle 2n}$تُعرَّف دالة غرين ذات النقطة بـ $${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ حيث استخدمنا تدوينًا مختصرًا${\displaystyle j}$يدل${\displaystyle (\mathbf {x} _{j},t_{j})}$و${\displaystyle j'}$يدل${\displaystyle (\mathbf {x} _{j}',t_{j}')}$المشغل${\displaystyle T}$يشير إلى ترتيب الوقت ، ويشير إلى أنه يجب ترتيب عوامل الحقل التي تليها بحيث تزداد وسائط الوقت الخاصة بها من اليمين إلى اليسار.

في الزمن التخيلي، يكون التعريف المقابل هو $${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ أين${\displaystyle j}$يدل${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$(متغيرات الزمن التخيلي)${\displaystyle \tau _{j}}$يقتصر على النطاق من${\displaystyle 0}$إلى درجة الحرارة المعكوسة${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$.)

ملاحظة بخصوص الإشارات والتطبيع المستخدمة في هذه التعريفات: تم اختيار إشارات دوال غرين بحيث يكون تحويل فورييه لنقطتين (${\displaystyle n=1}$دالة غرين الحرارية للجسيم الحر هي $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ ووظيفة غرين المتأخرة هي $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ أين$${\displaystyle \omega _{n}={\frac {[2n+\theta (-\zeta )]\pi }{\beta }}}$$هو تردد ماتسوبارا .

طَوَال،${\displaystyle \zeta }$يكون${\displaystyle +1}$للبوزونات و​${\displaystyle -1}$بالنسبة للفيرميونات و${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$يشير إما إلى مبدل أو مضاد مبدل حسب الاقتضاء.

(انظر أدناه لمزيد من التفاصيل.)

دالة غرين ذات زوج واحد من الوسائط (${\displaystyle n=1}$يُشار إلى هذه الدالة باسم دالة النقطتين، أو دالة الانتشار . في وجود تناظر انتقالي مكاني وزمني ، فإنها تعتمد فقط على الفرق بين وسيطيها. بأخذ تحويل فورييه بالنسبة للمكان والزمان، نحصل على $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},}$$ حيث يكون المجموع على ترددات ماتسوبارا المناسبة (ويتضمن التكامل عاملاً ضمنياً من${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$(كما هو معتاد).

في الوقت الفعلي، سنشير صراحةً إلى الدالة المرتبة زمنيًا باستخدام الرمز العلوي T: $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {d\omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega (t-t')}.}$$

يمكن كتابة دالة غرين ثنائية النقاط في الوقت الحقيقي بدلالة دوال غرين "المتأخرة" و"المتقدمة"، والتي ستتبين أنها تتمتع بخصائص تحليلية أبسط. تُعرَّف دوال غرين المتأخرة والمتقدمة بواسطة $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$$ و $${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$$ على التوالى.

وهي مرتبطة بدالة غرين المرتبة زمنيًا بواسطة $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ أين $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{e^{\beta \omega }-\zeta }}}$$ هي دالة توزيع بوز-أينشتاين أو فيرمي-ديراك .

يمكن ربط كل من دوال الانتشار في الزمن الحقيقي والزمن التخيلي بالكثافة الطيفية (أو الوزن الطيفي)، المعطاة بواسطة $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$$ حيث يشير | α ⟩ إلى حالة ذاتية (متعددة الأجسام) للهاميلتوني الكبير H − μN ، مع قيمة ذاتية E _α .

يُعطى مُوَصِّل الزمن التخيلي بالصيغة التالية:$${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,}$$والمُوَصِّل المُتَعَثِّر بواسطة $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},}$$ حيث الحد هو${\displaystyle \eta \to 0^{+}}$هذا مفهوم ضمناً.

يُعطى المُوَصِّل المُتقدم بنفس التعبير، ولكن مع${\displaystyle -i\eta }$في المقام.

يمكن إيجاد الدالة المرتبة زمنيًا بدلالة${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$و${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$كما ذُكر أعلاه،${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$و${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$تتمتع بخصائص تحليلية بسيطة: الأولى (الثانية) لها جميع أقطابها وانقطاعاتها في النصف السفلي (العلوي) من المستوى.

ناقل الحرارة${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$جميع أقطابها وانقطاعاتها تقع على المستوى التخيلي${\displaystyle \omega _{n}}$محور.

يمكن إيجاد الكثافة الطيفية بسهولة بالغة من${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$باستخدام نظرية سوخاتسكي-ويرستراس$${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$ حيث يرمز P إلى الجزء الرئيسي لكوشي . وهذا يعطي $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$$

وهذا يعني أيضاً أن${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$تخضع للعلاقة التالية بين أجزائها الحقيقية والخيالية: $${\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$$ أين${\displaystyle P}$يشير إلى القيمة الرئيسية للتكامل.

تخضع الكثافة الطيفية لقاعدة الجمع، $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$$ مما يعطي $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$$ مثل${\displaystyle |\omega |\to \infty }$.

يمكننا استخدام "مؤثرات المجال" كما سبق، أو مؤثرات الإنشاء والإفناء المرتبطة بحالات الجسيمات المفردة الأخرى، ربما الحالات الذاتية للطاقة الحركية (غير المتفاعلة). ثم نستخدم $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$$ أين${\displaystyle \psi _{\alpha }}$يمثل عامل الإفناء لحالة الجسيم الواحد${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$هي دالة الموجة لتلك الحالة في أساس الموضع. وهذا يعطي $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$$ بتعبير مماثل لـ${\displaystyle G^{(n)}}$.

يعتمد هذا فقط على الفرق بين وسيطي الوقت، بحيث $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}}$$ و $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (t-t')}.}$$

يمكننا مرة أخرى تعريف الدوال المتأخرة والمتقدمة بالطريقة الواضحة؛ فهذه مرتبطة بالدالة المرتبة زمنيًا بنفس الطريقة المذكورة أعلاه.

تنطبق نفس خصائص الدورية الموضحة أعلاه على${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$. خاصة، $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$$ و $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$$ ل${\displaystyle \tau <0}$.

في هذه الحالة، $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),}$$ أين${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$هي حالات متعددة الأجسام.

تم تعديل تعابير دوال غرين بالطرق الواضحة: $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}}$$ و $${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}}.}$$

خصائصها التحليلية مطابقة لخصائص...${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})}$و${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$مُعرَّفة في الحالة الثابتة تحت الإزاحة. يتبع البرهان نفس الخطوات تمامًا، باستثناء أن عنصري المصفوفة لم يعودا مترافقين معقدين.

• بونش-برويفيتش VL، تيابليكوف SV (1962): طريقة دالة غرين في الميكانيكا الإحصائية. شركة نورث هولاند للنشر.
• أبريكوسوف، أ.أ، غوركوف، ل.ب، ودزيالوشينسكي، إ.إ (1963): طرق نظرية الحقل الكمومي في الفيزياء الإحصائية ، إنجلوود كليفس: برنتيس هول .
• Negele, JW and Orland, H. (1988): Quantum Many-article Systems AddisonWesley.
• زوباريف، د.ن. ، موروزوف، ف.، روبكه، ج. (1996): الميكانيكا الإحصائية للعمليات غير المتوازنة: المفاهيم الأساسية، النظرية الحركية (المجلد 1). جون وايلي وأولاده . ISBN 3-05-501708-0.
• ماتوك، ريتشارد د. (1992)، دليل لمخططات فاينمان في مسألة الأجسام المتعددة ، منشورات دوفر ، رقم ISBN 0-486-67047-3.

• Bogolyubov NN , Tyablikov SV وظائف غرين المتأخرة والمتقدمة في الفيزياء الإحصائية، الفيزياء السوفيتية Doklady، المجلد 4 ، ص  589 (1959).
• زوباريف دي إن ، دوال غرين ذات الزمن المزدوج في الفيزياء الإحصائية ، الفيزياء السوفيتية أوسبيخي 3 (3)، 320-345 (1960).