جسيم حر

في الفيزياء ، الجسيم الحر هو جسيم لا يرتبط بقوة خارجية ، أو بمعنى آخر لا يكون في منطقة تتغير فيها طاقته الكامنة . في الفيزياء الكلاسيكية ، يعني هذا أن الجسيم موجود في فضاء "خالٍ من المجال". في ميكانيكا الكم ، يعني هذا أن الجسيم موجود في منطقة ذات إمكانات موحدة، وعادة ما يتم ضبطها على الصفر في المنطقة المطلوبة حيث يمكن ضبط الإمكانات بشكل تعسفي على الصفر في أي نقطة في الفضاء.

يتميز الجسيم الحر الكلاسيكي بسرعة ثابتة v . يتم تحديد الزخم بواسطة والطاقة الحركية (تساوي الطاقة الكلية) بواسطة حيث m هي كتلة الجسيم و v هي سرعة الجسيم المتجهة. $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

يتم وصف الجسيم الحر ذو الكتلة في ميكانيكا الكم غير النسبية من خلال معادلة شرودنجر الحرة : ${\displaystyle م}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\ جزئي t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

حيث ψ هي دالة الموجة للجسيم في الموضع r والزمن t . الحل لجسيم له زخم p أو متجه موجة k ، عند التردد الزاوي ω أو الطاقة E ، يُعطى بواسطة موجة مستوية معقدة :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \ cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

بسعة A ولها قاعدتان مختلفتان حسب كتلتها:

1. إذا كان للجسيم كتلة : (أو ما يعادلها ).${\displaystyle م}$${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. إذا كان الجسيم جسيمًا عديم الكتلة: .${\displaystyle \omega =kc}$

طيف القيمة الذاتية متدهور بشكل لا نهائي لأنه بالنسبة لكل قيمة ذاتية E >0، يتوافق مع عدد لا نهائي من الدوال الذاتية المقابلة لاتجاهات مختلفة لـ . ${\displaystyle \mathbf {p} }$

تنطبق علاقات دي برولي :، نظرًا لأن الطاقة الكامنة تساوي (كما هو مذكور) صفرًا، فإن الطاقة الكلية E تساوي الطاقة الحركية، والتي لها نفس الشكل كما في الفيزياء الكلاسيكية: ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

بالنسبة لجميع الجسيمات الكمومية الحرة أو المقيدة، تنطبق مبادئ عدم اليقين لهايزنبيرج . من الواضح أنه نظرًا لأن الموجة المستوية لها زخم محدد (طاقة محددة)، فإن احتمال العثور على موقع الجسيم موحد ويمكن إهماله في جميع أنحاء الفضاء. بعبارة أخرى، لا يمكن تطبيع دالة الموجة في الفضاء الإقليدي، ولا يمكن لهذه الحالات الثابتة أن تتوافق مع الحالات القابلة للتحقيق الفيزيائي . ^{[1] [2]}${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

تنص حالة التطبيع لدالة الموجة على أنه إذا كانت دالة الموجة تنتمي إلى فضاء الحالة الكمومية ^[3] فإن تكامل دالة كثافة الاحتمالية$${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2},}$$

حيث يشير * إلى مركب مركب ، وعلى كل الفضاء هو احتمال العثور على الجسيم في كل الفضاء، والذي يجب أن يكون واحدًا إذا كان الجسيم موجودًا: حالة الجسيم الحر المعطاة بواسطة حلول الموجة المستوية ليست قابلة للتطبيع كما هو الحال بالنسبة لأي وقت ثابت . ومع ذلك، باستخدام حزم الموجات ، يمكن التعبير عن الحالات كوظائف قابلة للتطبيع. $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1.}$$$${\displaystyle Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\notin L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$${\displaystyle t}$

باستخدام نظرية عكس فورييه ، يمكن تمثيل دالة موجة الجسيم الحر من خلال تراكب الدوال الذاتية للزخم ، أو حزمة الموجة : ^[4] حيث و هو تحويل فورييه لدالة موجية أولية " لطيفة بما فيه الكفاية " . $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega (\mathbf {k} )t)}d^{3}\mathbf {k} ,}$$$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}},}$$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)}$

القيمة المتوقعة للزخم p للموجة المستوية المعقدة هي

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

وبالنسبة لحزمة الموجة العامة فهي

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

القيمة المتوقعة للطاقة E هي

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

يتم تعريف سرعة الطور على أنها السرعة التي ينتشر بها حل الموجة المستوية، وهي

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

لاحظ أن هذه ليست سرعة الجسيم الكلاسيكي ذو الزخم ؛ بل هي نصف السرعة الكلاسيكية. ${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$${\displaystyle p}$

في غضون ذلك، افترض أن دالة الموجة الأولية عبارة عن حزمة موجية يتركز تحويل فورييه الخاص بها بالقرب من متجه موجة معين . عندئذٍ يتم تعريف سرعة المجموعة للموجة المستوية على أنها ${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$$${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

وهو ما يتفق مع صيغة السرعة الكلاسيكية للجسيم. سرعة المجموعة هي السرعة (التقريبية) التي تنتشر بها الحزمة الموجية بأكملها، في حين أن سرعة الطور هي السرعة التي تتحرك بها القمم الفردية في الحزمة الموجية. ^[5] يوضح الشكل هذه الظاهرة، حيث تنتشر القمم الفردية داخل الحزمة الموجية بنصف سرعة الحزمة الإجمالية.

يعتمد مفهوم سرعة المجموعة على تقريب خطي لعلاقة التشتت بالقرب من قيمة معينة لـ . ^[6] في هذا التقريب، تتحرك سعة حزمة الموجة بسرعة تساوي سرعة المجموعة دون تغيير الشكل . هذه النتيجة هي تقريب يفشل في التقاط جوانب معينة مثيرة للاهتمام لتطور جسيم كمي حر. والجدير بالذكر أن عرض حزمة الموجة، كما تم قياسه من خلال عدم اليقين في الموضع، ينمو خطيًا في الوقت المناسب لفترات طويلة. تسمى هذه الظاهرة انتشار حزمة الموجة لجسيم حر. ${\displaystyle \omega (k)}$${\displaystyle k}$

على وجه التحديد، ليس من الصعب حساب صيغة دقيقة لعدم اليقين كدالة للزمن، حيث هو عامل الموضع. بالعمل في بُعد مكاني واحد من أجل البساطة، لدينا: ^[7] حيث هي دالة الموجة الزمنية الصفرية. التعبير الموجود بين قوسين في الحد الثاني على الجانب الأيمن هو التباين الكمي لـ و . ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

وبالتالي، بالنسبة للأوقات الإيجابية الكبيرة، فإن عدم اليقين في ينمو خطيًا، مع معامل يساوي . إذا كان زخم الدالة الموجية الأولية موضعيًا للغاية، فإن حزمة الموجة ستنتشر ببطء وسيظل تقريب سرعة المجموعة جيدًا لفترة طويلة. بديهيًا، تقول هذه النتيجة أنه إذا كانت الدالة الموجية الأولية لها زخم محدد بشكل حاد للغاية، فإن الجسيم له سرعة محددة بشكل حاد وسينتشر (بتقريب جيد) بهذه السرعة لفترة طويلة. ${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$${\displaystyle \psi _{0}}$

هناك عدد من المعادلات التي تصف الجسيمات النسبية: انظر معادلات الموجة النسبية .

• حزمة الموجة
• سرعة المجموعة
• جسيم في صندوق
• بئر مربع محدود
• إمكانات الدلتا

• بلانشارد، فيليب؛ برونينج، إروين (2015). "الأساليب الرياضية في الفيزياء". التقدم في الفيزياء الرياضية . شام: دار سبرينغر للنشر الدولية. doi :10.1007/978-3-319-14045-2. ISBN 978-3-319-14044-5.ISSN 1544-9998  .
• كوهين تنودجي، كلود؛ ديو، برنارد. لالوي ، فرانك (2019). ميكانيكا الكم، المجلد الأول . وينهايم: جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 978-3-527-34553-3.
• ميكانيكا الكم ، إي. أبيرس، بيرسون إد، أديسون ويسلي، برنتيس هول إنك، 2004، رقم ISBN 978-0-13-146100-0 
• الفيزياء الكمومية للذرات والجزيئات والمواد الصلبة والنوى والجسيمات (الطبعة الثانية) ، ر. إيسبيرج، ر. ريسنيك، جون وايلي وأولاده، 1985، ISBN 978-0-471-87373-0 
• الحالات الثابتة ، أ. هولدن، دراسات فيزياء الكلية (الولايات المتحدة الأمريكية)، مطبعة جامعة أكسفورد، 1971، ISBN 0-19-851121-3 
• هال، بريان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 267، سبرينغر، رمز الكتاب : 2013qtm..book.....H، ISBN 978-1461471158
• ميكانيكا الكم منزوعة الغموض ، د. ماكماهون، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2006، ISBN 0-07-145546 9 
• ميكانيكا الكم الأولية ، NF Mott، Wykeham Science، Wykeham Press (Taylor & Francis Group)، 1972، ISBN 0-85109-270-5 
• ميكانيكا الكم ، إي. زارور، ي. بيليج، ر. بنيني، مخططات شوم، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 1998، ISBN 007-0540187 

• الكون الكمومي الجديد ، ت. هي، ب. والترز، مطبعة جامعة كامبريدج، 2009، ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• نظرية المجال الكمي ، د. ماكماهون، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2008، ISBN 978-0-07-154382-8 
• ميكانيكا الكم ، إي. زارور، واي. بيليج، آر. بنيني، دورة تدريبية مكثفة حول الخطوط العريضة السهلة لشاوم، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2006، رقم ISBN 978-007-145533-6