طرق H-infinity في نظرية التحكم

تُستخدم طرق H∞ (أي " H -infinity ") _في نظرية التحكم لتصميم وحدات تحكم تحقق الاستقرار مع ضمان الأداء. لاستخدام هذه الطرق _، يُعبّر مصمم التحكم عن مشكلة التحكم كمسألة تحسين رياضي ، ثم يجد وحدة التحكم التي تُحقق هذا التحسين. تتميز تقنيات H∞ عن تقنيات التحكم _{التقليدية بسهولة تطبيقها على المشكلات التي تتضمن أنظمة} متعددة المتغيرات ذات ترابط بين القنوات. من عيوبها _{مستوى الفهم الرياضي المطلوب لتطبيقها بنجاح، والحاجة إلى نموذج جيد للنظام} المراد التحكم به. من المهم التذكير بأن وحدة التحكم الناتجة تكون مثالية فقط بالنسبة لدالة التكلفة المحددة، ولا تُمثل بالضرورة أفضل وحدة تحكم وفقًا لمعايير الأداء المعتادة لتقييم وحدات التحكم، مثل زمن الاستقرار والطاقة المستهلكة، إلخ. كما أن القيود غير الخطية، مثل التشبع، لا تُعالج بشكل جيد عمومًا. أُدخلت هذه الأساليب في نظرية التحكم في أواخر السبعينيات وأوائل الثمانينيات من القرن العشرين على يد جورج زامس (تقليل الحساسية)، ^{[ 1 ]} وج. ويليام هيلتون (مطابقة النطاق العريض)، ^{[ 2 ]} وألين تانينباوم (تحسين هامش الربح). ^{[ 3 ]}

يُشتق مصطلح التحكم H∞ من اسم الفضاء الرياضي الذي تُجرى عليه عملية التحسين: H∞ هو فضاء هاردي للدوال المصفوفية التحليلية والمحدودة في النصف الأيمن المفتوح من _{المستوى} المركب، _{والمُعرَّف} بـ Re( s ) > 0؛ ومعيار H∞ هو القيمة المفردة العليا للمصفوفة على هذا الفضاء. في حالة الدالة العددية، تُعرف عناصر فضاء هاردي التي تمتد بشكل متصل إلى الحدود وتكون متصلة عند اللانهاية باسم جبر _القرص . بالنسبة للدالة المصفوفية، يُمكن تفسير المعيار على أنه أقصى كسب في أي اتجاه وعند أي تردد؛ بالنسبة لأنظمة SISO ، يُمثل هذا فعليًا أقصى قيمة لاستجابة التردد.   

يمكن استخدام تقنيات H∞ لتقليل تأثير الاضطراب على الحلقة المغلقة: اعتمادًا على صياغة المسألة، يُقاس التأثير إما من حيث الاستقرار أو الأداء. من الصعب تحقيق التوازن الأمثل بين الأداء القوي والاستقرار القوي. إحدى الطرق التي تقترب من تحقيق ذلك هي _تشكيل حلقة H∞ ، والتي تسمح لمصمم التحكم بتطبيق مفاهيم تشكيل الحلقة التقليدية على استجابة التردد متعددة المتغيرات للحصول على أداء قوي جيد، ثم تحسين الاستجابة بالقرب من نطاق تردد النظام لتحقيق استقرار قوي جيد _.

تتوفر برامج تجارية لدعم توليف وحدة التحكم H _{∞ .}

أولاً، يجب تمثيل العملية وفقًا للتكوين القياسي التالي:

يحتوي النظام P على مدخلين: المدخل الخارجي w ، الذي يشمل الإشارة المرجعية والتشويش، والمتغيرات المُتحكَّم بها u . وله مخرجان: إشارات الخطأ z التي نسعى إلى تقليلها، والمتغيرات المقاسة v ، التي نستخدمها للتحكم في النظام. تُستخدم v في K لحساب المتغيرات المُتحكَّم بها u . لاحظ أن جميع هذه المتغيرات عبارة عن متجهات ، بينما P و K عبارة عن مصفوفات .

في الصيغ، يكون النظام كالتالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

وبالتالي، يمكن التعبير عن اعتماد z على w على النحو التالي:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

يُطلق عليه اسم التحويل الكسري الخطي السفلي ، ${\displaystyle F_{\ell }}$يتم تعريفها (يأتي الرمز السفلي من الحرف السفلي ):

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

لذلك، فإن هدف${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$يتمثل تصميم التحكم في إيجاد وحدة تحكم${\displaystyle \mathbf {K} }$بحيث${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$يتم تقليلها إلى الحد الأدنى وفقًا لـ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$المعيار. وينطبق التعريف نفسه على${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$تصميم التحكم. معيار اللانهاية لمصفوفة دالة التحويل${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

أين${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$هي القيمة المفردة القصوى للمصفوفة${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$.

يُعطى معيار H∞ القابل للتحقيق لنظام الحلقة المغلقة بشكل أساسي من خلال المصفوفة _D11 ( عندما _{يكون النظام} P معطى بالصيغة ( _A , B1 , B2 _, C1 , C2 _, D11 _, D12 , D22 _, D21 ) ) . وهناك عدة _طرق للوصول إلى وحدة تحكم _{H∞ .}

• غالباً ما تؤدي معلمات Youla -Kucera للحلقة المغلقة إلى وحدة تحكم عالية الرتبة.
• تقوم الأساليب القائمة على معادلة ريكاتي بحل معادلتين من معادلات ريكاتي لإيجاد وحدة التحكم، ولكنها تتطلب العديد من الافتراضات التبسيطية.
• تستخدم إعادة صياغة معادلة ريكاتي القائمة على التحسين متباينات المصفوفة الخطية وتتطلب افتراضات أقل.

• منتج بلاشكي
• مساحة هاردي
• مربع H
• تشكيل الحلقة H-infinity
• التحكم الخطي التربيعي الغاوسي (LQG)
• مصفوفة نظام روزنبروك