معضلة هالدين

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة

جيه بي إس هالدين في عام 1964

تُعرف معضلة هالدين بأنها حدٌّ لسرعة التطور المفيد ، وقد حسبها جيه بي إس هالدين عام ١٩٥٧. استندت ورقة موتو كيمورا الرائدة حول النظرية المحايدة عام ١٩٦٨ [ ١ ] إلى عمل هالدين، مقترحةً أن معظم التطور الجزيئي بين الأنواع محايد، ومُقدّمةً ذلك كحلٍّ للمعضلة. مع ذلك، قد يُفسّر التطور التكيفي جزءًا كبيرًا من الاستبدالات في تسلسل ترميز البروتين . [ ٢ ] [ ٣ ] وقد اقتُرحت حلول أخرى منذ ذلك الحين. [ ٤ ]

عرض تقديمي من هالدين

تكلفة الاستبدال

في مقدمة كتاب "تكلفة الانتقاء الطبيعي"، يكتب هالدين أنه من الصعب على المربين اختيار جميع الصفات المرغوبة في وقت واحد، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن الجينات المطلوبة قد لا توجد معًا في السلالة؛ لكنه يكتب، [ 5 ]

وخاصة في الحيوانات بطيئة التكاثر مثل الماشية، لا يمكن استبعاد حتى نصف الإناث، على الرغم من أن واحدة فقط من بين كل مائة منها تجمع بين الصفات المختلفة المرغوبة. [ 5 ]

أي أن مشكلة مربي الماشية تكمن في أن الاقتصار على تربية السلالات ذات الصفات المرغوبة سيؤدي إلى عدد قليل جدًا من الأفراد في الجيل التالي. ويشير هالدين إلى أن هذه المشكلة نفسها تظهر فيما يتعلق بالانتقاء الطبيعي. وتكون المشكلة أشدّ وطأةً بالنسبة للأنواع ذات استراتيجية التكاثر "K" التي تتميز بانخفاض الخصوبة ، بينما تقلّ حدّتها بالنسبة للأنواع ذات استراتيجية التكاثر "r" التي تتميز بارتفاع الخصوبة. ويحاول هالدين [ 5 ]

لتوضيح العبارة البديهية إلى حد ما، وهي أن الانتقاء الطبيعي لا يمكن أن يحدث بكثافة كبيرة لعدد من الصفات في وقت واحد إلا إذا كانت هذه الصفات تخضع لسيطرة نفس الجينات. [ 5 ]

في حالة الانتقاء على العث الفلفلي ، إذا خضعت "عشر صفات أخرى موروثة بشكل مستقل لانتقاء بنفس شدة الانتقاء الخاص باللون، فقط(1/2)10{\displaystyle (1/2)^{10}}أو واحد من كل 1024 من النمط الجيني الأصلي كان سينجو. على الأرجح كان النوع سينقرض؛ لكنه قد ينجو من عشر فترات انتقائية أخرى ذات انتقائية مماثلة، إذا حدثت في قرون مختلفة. [ 5 ]

شدة الاختيار

ثمّ يُعرّف هالدين شدة الانتقاء فيما يتعلق بـ "بقاء الأحداث" (أي البقاء حتى سن الإنجاب) على النحو التالي:أنا=ln⁡(s0/S){\displaystyle I=\ln(s_{0}/S)}، أينs0{\displaystyle s_{0}}هي نسبة الأفراد الذين يمتلكون النمط الجيني الأمثل (أو الأنماط الجينية المثلى) والذين يبقون على قيد الحياة حتى التكاثر، وS{\displaystyle S}هي نسبة السكان الذين ينجون بنفس الطريقة. وبالتالي، فإن نسبة السكان الذين يموتون دون أن يتكاثروا هي1-S{\displaystyle 1-S}وكان هذا سيكون1-s0{\displaystyle 1-s_{0}}لو أن جميع الأنماط الجينية نجت بنفس كفاءة النمط الأمثل. ومن ثمs0-S{\displaystyle s_{0}-S}هي نسبة الوفيات "الوراثية" الناتجة عن الانتقاء. وكما ذكر هالدين، إذاs0≈S{\displaystyle s_{0}\approx S}، ثمأنا≈s0-S{\displaystyle I\approx s_{0}-S}[ 6 ]​

تكلفة هالدين

يكتب هالدين

سأدرس الحالة التالية رياضيًا. تكون جماعة سكانية في حالة توازن تحت تأثير الانتخاب الطبيعي والطفرة. يكون جين واحد أو أكثر نادرًا لأن ظهوره عن طريق الطفرة يتوازن مع الانتخاب الطبيعي. يحدث تغيير مفاجئ في البيئة، على سبيل المثال، التلوث بالدخان، أو تغير المناخ، أو ظهور مصدر غذائي جديد، أو مفترس، أو مسبب مرض، والأهم من ذلك كله، الهجرة إلى موطن جديد. سيتبين لاحقًا أن الاستنتاجات العامة لا تتأثر إذا كان التغيير بطيئًا. تصبح الأنواع أقل تكيفًا مع البيئة الجديدة، وتنخفض قدرتها الإنجابية. تتحسن هذه القدرة تدريجيًا نتيجة للانتخاب الطبيعي. لكن في الوقت نفسه، يحدث عدد من الوفيات، أو ما يعادلها من انخفاض في الخصوبة. إذا كان الانتخاب عندأناتح{\displaystyle i^{th}}الموقع المحدد مسؤول عندأنا{\displaystyle d_{i}}من بين هذه الوفيات في أي جيل، ستكون القدرة الإنجابية للنوع∏(1-دأنا){\displaystyle \prod \left(1-d_{i}\right)}من النمط الجيني الأمثل، أوخبرة⁡(-∑دأنا){\displaystyle \exp \left(-\sum d_{i}\right)}تقريبًا، إن لم يكن كلدأنا{\displaystyle d_{i}}صغيرة. وبالتالي فإن شدة الانتقاء تقارب∑دأنا{\displaystyle \sum d_{i}}[ 5 ]​

بالمقارنة مع ما سبق، لدينا أندأنا=s0أنا-S{\displaystyle d_{i}=s_{0i}-S}إذا قلنا ذلكs0أنا{\displaystyle s_{0i}}هو حاصل قسمة الوفيات علىأناتح{\displaystyle i^{th}}الموقع المحدد وS{\displaystyle S}وهو مرة أخرى حاصل قسمة الوفيات على إجمالي عدد السكان.

لاحظ أن نموذج هالدين كما هو مذكور هنا يسمح لأكثر من جين واحد بالتحرك نحو التثبيت في وقت واحد؛ لكن كل واحد منهم يزيد من تكلفة الاستبدال.

يصرح هالدين بأنه سيُظهر ذلكدأنا{\displaystyle D_{i}}يعتمد بشكل رئيسي علىص0{\displaystyle p_{0}}، التردد المنخفض الذي يوجد به الأليل وقت حدوث التغير البيئي. [ 5 ]

نموذج رياضي لتكلفة ثنائيات الصبغيات

لنفترض أن A و a أليلان بتردداتصن{\displaystyle p_{n}}وqن{\displaystyle q_{n}}فينذ{\displaystyle n^{\mbox{th}}}الجيل. يتم تحديد لياقتهم النسبية بواسطة [ 5 ]

النمط الجينيAAآهaa
تكرارصن2{\displaystyle p_{n}^{2}}2صنqن{\displaystyle 2p_{n}q_{n}}qن2{\displaystyle q_{n}^{2}}
لياقة بدنية11-λك{\displaystyle 1-\lambda K}1-ك{\displaystyle 1-K}

حيث 0 ≤ك{\displaystyle K}≤ 1، و 0 ≤ λ ≤ 1.

إذا كانت قيمة λ تساوي صفرًا، فإن النمط الوراثي Aa له نفس كفاءة النمط الوراثي AA ، على سبيل المثال إذا كان النمط الوراثي Aa مكافئًا للنمط الوراثي AA ( النمط الوراثي A سائد). وإذا كانت قيمة λ تساوي واحدًا، فإن النمط الوراثي Aa له نفس كفاءة النمط الوراثي aa ، على سبيل المثال إذا كان النمط الوراثي Aa مكافئًا للنمط الوراثي aa ( النمط الوراثي A متنحي). بشكل عام، تشير قيمة λ إلى مدى تقارب كفاءة النمط الوراثي Aa من كفاءة النمط الوراثي aa .

نسبة الوفيات الانتقائية فينذ{\displaystyle n^{\mbox{th}}}إذن، الجيل هو

دن=2λكصنqن+كqن2=كqن[2λ+(1-2λ)qن]{\displaystyle d_{n}=2\lambda Kp_{n}q_{n}+Kq_{n}^{2}=Kq_{n}[2\lambda +(1-2\lambda )q_{n}]}

ويبلغ إجمالي عدد الوفيات حجم السكان مضروبًا في

د=ك∑0∞qن[2λ+(1-2λ)qن].{\displaystyle D=K\sum _{0}^{\infty }q_{n}\;[2\lambda +(1-2\lambda )q_{n}].}

أصل الرقم 300

يُقارب هالدين المعادلة أعلاه بأخذ النهاية المتصلة لها. [ 5 ] ويتم ذلك بضربها وقسمتها على dq لتصبح في صورة تكاملية.

دqن=-كصنqن[λ+(1-2λ)qن]{\displaystyle dq_{n}=-Kp_{n}q_{n}[\lambda +(1-2\lambda )q_{n}]}

باستبدال q=1-p، تُعطى التكلفة (المُعطاة بعدد الوفيات الإجمالي، 'D'، المطلوب لإجراء الاستبدال) بواسطة

د=∫0q0[2λ+(1-2λ)q](1-q)[λ+(1-2λ)q]دq=11-λ∫0q0[11-q+λ(1-2λ)λ+(1-2λ)q]دq.{\displaystyle D=\int _{0}^{q_{_{0}}}{\frac {[2\lambda +(1-2\lambda )q]}{(1-q)[\lambda +(1-2\lambda )q]}}dq={\frac {1}{1-\lambda }}\int _{0}^{q_{_{0}}}\left[{\frac {1}{1-q}}+{\frac {\lambda (1-2\lambda )}{\lambda +(1-2\lambda )q}}\right]dq.}

بافتراض أن λ < 1، فإن هذا يعطي

د=11-λ[-ln ص0+λ ln (1-λ-(1-2λ)ص0λ)]≈11-λ[-ln ص0+λ ln (1-λλ)]{\displaystyle D={\frac {1}{1-\lambda }}\left[-{\mbox{ln }}p_{0}+\lambda {\mbox{ ln }}\left({\frac {1-\lambda -(1-2\lambda )p_{0}}{\lambda }}\right)\right]\approx {\frac {1}{1-\lambda }}\left[-{\mbox{ln }}p_{0}+\lambda {\mbox{ ln }}\left({\frac {1-\lambda }{\lambda }}\right)\right]}

حيث يفترض التقريب الأخيرص0{\displaystyle p_{0}}أن يكون صغيراً.

إذا كانت λ = 1، فسنحصل على

د=∫0q02-q(1-q)2دq=∫0q0[11-q+1(1-q)2]دq=ص0-1- ln ص0+يا(λك).{\displaystyle D=\int _{0}^{q_{_{0}}}{\frac {2-q}{(1-q)^{2}}}dq=\int _{0}^{q_{_{0}}}\left[{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{(1-q)^{2}}}\right]dq=p_{0}^{-1}-{\mbox{ ln }}p_{0}+O(\lambda K).}

يذكر هالدين في مناقشته أن تكلفة الاستبدال، إذا ما دُفعت بوفيات الأحداث، "تتضمن عادةً عددًا من الوفيات يعادل حوالي 10 أو 20 ضعف عدد الوفيات في جيل واحد" - الحد الأدنى هو حجم السكان (أي "عدد الوفيات في جيل واحد")، ونادرًا ما يكون 100 ضعف ذلك العدد. ويفترض هالدين أن 30 هو المتوسط. [ 5 ]

بافتراض أن استبدال الجينات يحدث ببطء، جينًا واحدًا في كل مرة على مدى n جيلًا، فإن لياقة النوع ستنخفض عن المستوى الأمثل (الذي يتحقق عند اكتمال الاستبدال) بمعامل يبلغ حوالي 30/ n ، طالما كان هذا المعامل صغيرًا - صغيرًا بما يكفي لمنع الانقراض. يشك هالدين في أن الكثافات العالية - كما هو الحال في عثة الفلفل - قد حدثت بشكل متكرر، ويقدر أن قيمة n = 300 هي عدد محتمل للأجيال. وهذا يعطي شدة اختيار تبلغأنا=30/300=0.1{\displaystyle I=30/300=0.1}.

ثم يتابع هالدين: [ 5 ]

يُقدّر عدد المواقع الجينية في أنواع الفقاريات بحوالي 40,000 موقع. قد تختلف الأنواع "الجيدة"، حتى وإن كانت وثيقة الصلة، في آلاف المواقع الجينية، حتى وإن كانت الاختلافات في معظمها طفيفة للغاية. ولكن يتطلب استبدال جين بآخر يُنتج نمطًا ظاهريًا بالكاد يُمكن تمييزه عددًا من الوفيات يُعادل عدد الوفيات اللازمة لاستبدال جين بآخر يُنتج نمطًا ظاهريًا مختلفًا تمامًا. إذا اختلف نوعان في 1000 موقع جيني، وكان متوسط ​​معدل استبدال الجينات، كما هو مُقترح، واحدًا لكل 300 جيل، فسيتطلب الأمر 300,000 جيل لإحداث اختلاف بين النوعين. وقد يتطلب الأمر عددًا أكبر بكثير، فإذا استُبدل الأليل a1 بالأليل a10، فقد يمرّ التجمع السكاني بمراحل يكون فيها النمط الجيني الأكثر شيوعًا هو a1a1، ثم a2a2، ثم a3a3، وهكذا بالتتابع، حيث تُعطي الأليلات المختلفة بدورها أقصى لياقة في البيئة الحالية والبيئة المتبقية. [ 5 ]

تأثيرها على النظرية المحايدة باعتبارها "معضلة هالدين"

استشهد كيمورا [ 1 ] بحجة هالدين كسبب لكون معظم التباين في التسلسل بين الأنواع محايدًا وليس تكيفيًا. وقد صاغ عالم الحفريات لي فان فالين مصطلح "معضلة هالدين" في بحثه المنشور عام 1963 بعنوان "معضلة هالدين، معدلات التطور، والتهجين " .

يكتب فان فالين: [ 7 ]

لفت هالدين (1957، بعنوان " تكلفة الانتقاء الطبيعي ") الانتباه إلى حقيقة أنه في عملية الاستبدال التطوري لأليل بآخر، مهما بلغت شدة الانتقاء ومهما كانت أهمية الموضع الجيني ضئيلة، فإن عددًا كبيرًا من الأفراد يُفقد عادةً لعدم امتلاكهم الأليل الجديد مسبقًا. وقد أشار كيمورا (1960، 1961) إلى هذا الفقدان بعبء الاستبدال (أو التطور)، ولكن نظرًا لأنه ينطوي بالضرورة إما على طفرة جديدة تمامًا أو (في أغلب الأحيان) على تغيير سابق في البيئة أو الجينوم، فأنا أفضّل اعتباره معضلةً تواجه الجماعة: فبالنسبة لمعظم الكائنات الحية، يمنع التغير السريع في عدد قليل من الجينات التغير السريع في الجينات الأخرى. ومن نتائج ذلك أنه إذا حدث تغيير بيئي يستلزم استبدالًا سريعًا نسبيًا لعدة جينات لكي تبقى الجماعة على قيد الحياة، فإنها تنقرض. [ 7 ]

أي أن هناك حدًا أقصى لعدد الجينات التي يمكن تثبيتها خلال فترة زمنية محددة. تجدر الإشارة إلى أن نموذج هالدين يفترض استقلالية الجينات في المواقع الجينية المختلفة؛ فإذا كانت شدة الانتقاء 0.1 لكل جين يتحرك نحو التثبيت، وكان هناك N من هذه الجينات، فإن القدرة الإنجابية للنوع ستنخفض إلى 0.9 N ضعف قدرة فرد يمتلك النمط الجيني الأمثل في كل موقع جيني.

يُعرف الآن جزء التباين في التسلسل الناتج عن التكيف باسم "ألفا"، ويُقدّر باستخدام نسخ من اختبار ماكدونالد-كريتمان ، الذي يعتمد على مقارنة أنماط تعدد الأشكال داخل الأنواع بأنماط التباين بين الأنواع. ويبدو أن قيمة معامل ألفا كبيرة في بعض الأنواع، على الرغم من أن جميع المناهج تقريبًا تشير إلى أن التباين بين الإنسان والشمبانزي كان محايدًا في الأساس. ومع ذلك، إذا كان التباين بين أنواع ذبابة الفاكهة تكيفيًا كما يشير معامل ألفا، فإنه سيتجاوز حد هالدين.

تركيبة ذات فائض تكاثري

كانت حجة هالدين الأصلية معيبةً في إشارتها إلى فرد مثالي ذي نمط جيني مثالي في كل موقع جيني - وهو فرد غير موجود عادةً. [ 8 ] مع ذلك، طوّر ماساتوشي ني [ 9 ] وجوزيف فيلسنشتاين [ 10 ] لاحقًا، وبشكل مستقل، نسخًا من حجة هالدين توصلت إلى استنتاجات مماثلة دون الوقوع في هذا العيب. فبدلًا من نموذج يُنتج فيه البالغون بالغين، قاموا بنمذجة بالغين يُنتجون صغارًا قادرين على البقاء حتى سن البلوغ. يُشير مصطلح "الفائض التناسلي" إلى مدى تجاوز عدد الصغار العدد اللازم لتجديد التعداد السكاني، وهو ما يُحدّ من نسبة الوفيات التي يُمكن أن تُعزى إلى الانتقاء الطبيعي بدلًا من أسباب أخرى. إذا كان عدد الصغار المتاحين غير كافٍ، فسيميل التعداد السكاني إلى الانقراض - وهذا هو الأساس النظري وراء استراتيجيات الأدوية المُسببة للطفرات القاتلة ضد الفيروسات. [ 11 ] تم تفسير ادعاء هالدين بأن شدة الاختيار من غير المرجح أن تتجاوز 10٪ على أنه ادعاء بأن ما لا يزيد عن 10٪ من وفيات الأحداث ستكون ناجمة عن الاختيار.

تم تعميم هذه الصيغة المتعلقة بالفائض التكاثري والحد الأقصى لنسبة الوفيات الانتقائية لتشمل دورات حياة أكثر تعقيدًا. [ 4 ] وقد أظهر تطبيقها على مجموعات نباتية اصطناعية أن نسبة الوفيات التي تم اختيارها تجاوزت بكثير الحد الأقصى البالغ 10% الذي تصوره هالدين دون دليل تجريبي. [ 4 ]

التفاعل الجيني

يمكن أن يؤدي التفاعل الجيني السلبي ، لا سيما في صورته المتطرفة كنموذج العتبة للاختيار بالقطع، إلى زيادة كفاءة عملية الاختيار. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] . في هذه الحالة، يموت الأفراد ذوو النمط الظاهري الأقل من العتبة، بينما يكون الأفراد ذوو النمط الظاهري الأعلى من العتبة متساوين في اللياقة. مع ذلك، قد يُعزى تخفيف هذا الحد في هذه النماذج جزئيًا إلى الانتقال من نماذج اللياقة المطلقة إلى نماذج اللياقة النسبية. [ 4 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 كيمورا م (فبراير 1968). " معدل التطور على المستوى الجزيئي". نيتشر . 217 (5129): 624-626 . Bibcode : 1968Natur.217..624K . doi : 10.1038/217624a0 . PMID 5637732. S2CID 4161261 .  
  2. ↑ كيرن، أ. د.، وهان ، م. و. (يونيو 2018). "النظرية المحايدة في ضوء الانتقاء الطبيعي" . علم الأحياء الجزيئي والتطور . 35 (6): 1366-1371 . doi : 10.1093/molbev/msy092 . PMC 5967545. PMID 29722831 .  
  3. ↑ إينارد، ديفيد؛ كاي، لي؛ غويناب، كارينا؛ بيتروف، ديمتري أ (17 مايو 2016). " الفيروسات محرك رئيسي لتكيف البروتين في الثدييات" . eLife . 5 e12469. Bibcode : 2016eLife...512469E . doi : 10.7554/eLife.12469 . PMC 4869911. PMID 27187613 .  
  4. 1 2 3 4 ماثيسون، جوزيف؛ إكسبوسيتو-ألونسو، مويسيس؛ ماسيل، جوانا (17 أبريل 2025). "إعادة النظر في عبء الاستبدال: نسبة عالية من الوفيات يمكن أن تكون انتقائية" . علم الوراثة . 229 (4) iyaf011. doi : 10.1093/genetics/iyaf011 . PMC 12005247. PMID 39862233 .  
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 هالدين جيه بي. "تكلفة الانتقاء الطبيعي" (ملف PDF) . مجلة علم الوراثة . 55 ( 511-524 ): 1957.
  6. ↑ انظر هالدين. [ 5 ] إذاأ=1-s0{\displaystyle a=1-s_{0}}وب=1-S{\displaystyle b=1-S}، ثمأنا=ln⁡(1-أ)-ln⁡(1-ب)≈-أ+ب=s0-S{\displaystyle I=\ln(1-a)-\ln(1-b)\approx -a+b=s_{0}-S}.
  7. 1 2 فان فالين، ل. (1963). "معضلة هالدين، معدلات التطور، والهجين". المجلة الأمريكية لعلم الطبيعة . 47 (894): 185-190 . Bibcode : 1963ANat...97..185V . doi : 10.1086/282267 . S2CID 222327449 . 
  8. ↑ إيوينز، دبليو جيه (أغسطس 1970). "ملاحظات حول العبء الاستبدالي". علم الأحياء السكاني النظري . 1 (2): 129-139 . doi : 10.1016/0040-5809(70)90031-6 .
  9. ↑ ني، ماساتوشي (1 مايو 1971). "زيادة الخصوبة ضرورية لاستبدال الجينات في التجمعات السكانية المنظمة". علم الوراثة . 68 (1): 169-184 . doi : 10.1093/genetics/68.1.169a .
  10. ↑ فيلسنشتاين، جوزيف (يناير 1971). "حول الأهمية البيولوجية لتكلفة استبدال الجينات". عالم الطبيعة الأمريكي . 105 (941): 1-11 . doi : 10.1086/282698 .
  11. ^ بول ، جي جي. سانخوان، ر.؛ ويلك، كولورادو (15 مارس 2007). “نظرية الطفرات القاتلة للفيروسات”. مجلة علم الفيروسات . 81 (6): 2930–2939 . دوى : 10.1128/jvi.01624-06 .
  12. ↑ سفيد، ج. أ. (يونيو 1968). "معدلات استبدال الجينات المحتملة في التطور". عالم الطبيعة الأمريكي . 102 (925): 283-293 . Bibcode : 1968ANat..102..283S . doi : 10.1086/282542 . S2CID 84618125 . 
  13. ↑ ماينارد سميث ج (سبتمبر 1968). ""معضلة هالدين" ومعدل التطور. مجلة نيتشر . 219 (5159): 1114-1116 . Bibcode : 1968Natur.219.1114S . doi : 10.1038/2191114a0 . PMID: 5675622. S2CID : 864709 .  
  14. ^ أودونالد ف (مارس 1969). ""معضلة هالدين" ومعدل الانتقاء الطبيعي. مجلة نيتشر . 221 (5183): 815-816 . Bibcode : 1969Natur.221..815O . doi : 10.1038/221815a0 . PMID: 5765051. S2CID : 4288246 .  
  15. ↑ نوني، ل. (يناير 2003). "إعادة النظر في تكلفة الانتقاء الطبيعي" (ملف PDF) . حوليات علم الحيوان الفنلندية . 40. مجلس النشر الفنلندي لعلم الحيوان والنبات: 185-194 .

للمزيد من القراءة

  • جرانت، ف.، وفليك، ر. هـ. (أكتوبر 1974). "حلول لمعضلة تكلفة الاختيار" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 71 ( 10): 3863-3865 . Bibcode : 1974PNAS...71.3863G . doi : 10.1073/pnas.71.10.3863 . PMC 434284. PMID 4530266 .  
  • نوني إل (يناير 2003). "تكلفة الانتقاء الطبيعي: إعادة النظر" (ملف PDF) . حوليات علم الحيوان الفنلندية . 40. مجلس النشر الفنلندي لعلم الحيوان والنبات: 185-194 .(تصف هذه الورقة عمليات المحاكاة الحاسوبية للمجموعات السكانية الصغيرة مع اختلافات في معدل الطفرة وعوامل أخرى، وتنتج نتائج تختلف اختلافًا كبيرًا عن حد الاستبدال المنخفض لهالدين باستثناء بعض الحالات المحدودة).