تخمين هانا نيومان

في الموضوع الرياضي لنظرية المجموعة ، تخمين هانا نيومان هو عبارة عن بيان حول رتبة تقاطع مجموعتين فرعيتين متولدتين بشكل محدود لمجموعة حرة . طرح هانا نيومان التخمين في عام 1957. ^[1] في عام 2011، تم إثبات نسخة معززة من التخمين (انظر أدناه) بشكل مستقل من قبل جويل فريدمان ^[2] وإيجور مينييف. ^[3]

في عام 2017، نشر أندريه جايكين زابيراين دليلاً ثالثًا لتخمين هانا نيومان المعزز، استنادًا إلى الحجج المتجانسة المستوحاة من اعتبارات المجموعة المؤيدة للـ p . ^[4]

كان موضوع التخمين مدفوعًا في الأصل بنظرية عام 1954 لهوسون ^[5] الذي أثبت أن تقاطع أي مجموعتين فرعيتين متولدتين بشكل محدود لمجموعة حرة يكون دائمًا متولدًا بشكل محدود، أي أن له رتبة محدودة . في هذه الورقة، أثبت هوسون أنه إذا كانت H و K مجموعات فرعية لمجموعة حرة F ( X ) ذات رتب محدودة n  ≥ 1 و m  ≥ 1، فإن رتبة s لـ H  ∩  K تلبي:

س  − 1 ≤ 2 دقيقة  −  م  −  ن .

في ورقة بحثية عام 1956 ^{[6] قامت} هانا نيومان بتحسين هذا الحد من خلال إظهار أن:

ث  − 1 ≥ 2 mn  −  2m  −  n .

في ملحق عام 1957، ^[1] قامت هانا نيومان بتحسين هذا الحد بشكل أكبر لإظهار أنه وفقًا للافتراضات المذكورة أعلاه

س − 1 ≤ 2( م − 1)( ن − 1).

كما افترضت أن عامل 2 في التباين المذكور أعلاه ليس ضروريًا وأن المرء لديه دائمًا

س  − 1 ≤ ( م  − 1)( ن  − 1).

أصبح هذا البيان معروفًا باسم تخمين هانا نيومان .

ليكن H , K ≤ F ( X ) مجموعتين فرعيتين غير تافهتين متولدتين بشكل نهائي لمجموعة حرة F ( X ) وليكن L  =  H  ∩  K تقاطع H و K. يقول التخمين أنه في هذه الحالة

الرتبة ( L ) − 1 ≤ (الرتبة ( H ) − 1)(الرتبة ( K ) − 1).

هنا بالنسبة للمجموعة G، تكون رتبة الكمية ( G ) هي رتبة G ، أي أصغر حجم لمجموعة توليد لـ G. ومن المعروف أن كل مجموعة فرعية من المجموعة الحرة هي حرة بحد ذاتها ورتبة المجموعة الحرة تساوي حجم أي قاعدة حرة لتلك المجموعة الحرة .

إذا كانت H و K ≤ G مجموعتين فرعيتين من مجموعة G وإذا كانت a و b ∈ G تحددان نفس المجموعة الفرعية المزدوجة HaK = HbK فإن المجموعتين الفرعيتين H  ∩  aKa ⁻¹ و H  ∩  bKb ⁻¹ مترافقتان في G وبالتالي لهما نفس الرتبة . ومن المعروف أنه إذا كانت H و K ≤ F ( X ) مجموعات فرعية متولدة بشكل محدود لمجموعة حرة متولدة بشكل محدود F ( X ) فإن هناك على الأكثر عددًا محدودًا من فئات المجموعات الفرعية المزدوجة HaK في F ( X ) بحيث يكون H  ∩  aKa ⁻¹  ≠ {1}. افترض أن هناك مجموعة فرعية مزدوجة واحدة على الأقل ودع a ₁ ,..., a _n تكون جميع الممثلين المميزين لهذه المجموعات الفرعية المزدوجة. تنص تخمينة هانا نيومان المعززة ، التي صاغها ابنها والتر نيومان (1990)، ^[7] على أنه في هذا الموقف

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}$

تم إثبات فرضية هانا نيومان المعززة في عام 2011 بواسطة جويل فريدمان. ^[2] وبعد فترة وجيزة، قدم إيغور مينييف دليلاً آخر. ^[3]

• في عام 1971، قام بيرنز بتحسين ^[8] حد هانا نيومان لعام 1957 وأثبت أنه تحت نفس الافتراضات كما في ورقة هانا نيومان، يمكننا

س ≤ 2 دقيقة  − 3 دقيقة  − 2 ن  + 4.

• في ورقة بحثية عام 1990، ^[7] صاغ والتر نيومان تخمين هانا نيومان المعزز (انظر البيان أعلاه).
• أسس تاردوس (1992) ^[9] تخمين هانا نيومان المعزز للحالة التي يكون فيها على الأقل أحد المجموعات الفرعية H و K لـ F ( X ) له الرتبة الثانية. وكما هو الحال مع معظم الطرق الأخرى لتخمين هانا نيومان، استخدم تاردوس تقنية الرسوم البيانية للمجموعات الفرعية لـ ستالينغ ^[10] لتحليل المجموعات الفرعية للمجموعات الحرة وتقاطعاتها.
• أثبت وارن ديكس (1994) ^[11] تكافؤ تخمين هانا نيومان المعزز وبيان نظرية الرسم البياني الذي أطلق عليه تخمين الرسم البياني المدمج .
• أثبتت Arzhantseva (2000) ^[12] أنه إذا كانت H عبارة عن مجموعة فرعية متولدة بشكل محدود ذات مؤشر لا نهائي في F ( X )، فعندئذٍ، بمعنى إحصائي معين، لمجموعة فرعية متولدة بشكل محدود عامة في ، لدينا H  ∩  gKg ⁻¹  = {1} لجميع g في F. وبالتالي، فإن تخمين هانا نيومان المعزز ينطبق على كل H و K عامة .${\displaystyle K}$${\displaystyle F(X)}$
• في عام 2001، أسس ديكس وفورمانيك تخمين هانا نيومان المعزز للحالة التي يكون فيها على الأقل أحد المجموعات الفرعية H و K من F ( X ) له رتبة ثلاثة على الأكثر. ^[13]
• أظهر خان (2002) ^[14] ، وعلى نحو مستقل، مياكين وويل (2002)، ^[15] أن استنتاج تخمين هانا نيومان المعزز صحيح إذا تم إنشاء إحدى المجموعات الفرعية H و K من F ( X ) بشكل إيجابي ، أي تم إنشاؤها بواسطة مجموعة محدودة من الكلمات التي تتضمن فقط عناصر X ولكن ليس X ⁻¹ كأحرف.
• حصل إيفانوف ^{[16] [17]} وديكس وإيفانوف ^[18] على نظائر وتعميمات لنتائج هانا نيومان لتقاطع المجموعات الفرعية H و K لمنتج حر لعدة مجموعات.
• زعم وايز (2005) ^[19] أن تخمين هانا نيومان المعزز يشير إلى تخمين آخر طويل الأمد في نظرية المجموعة والذي يقول أن كل مجموعة ذات علاقة واحدة مع الالتواء متماسكة ( أي أن كل مجموعة فرعية تم إنشاؤها بشكل محدود في مثل هذه المجموعة يتم تقديمها بشكل محدود ).

• نظرية المجموعة الهندسية