منتج مجاني

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
المجموعات المنفصلة شبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة مجانية المجموعات المعيارية بي اس ال(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة حسابية شعرية المجموعة الزائدية
المجموعات الطوبولوجية والمجموعات الكاذبة الملف اللولبي دائرة الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) إقليدية E( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) وحدة خاصة SU( n ) سمبلكتيك سب( ن ) ج 2 ف 4 هـ 6 هـ 7 هـ 8 لورنتز بوانكاريه مطابق التماثل التفاضلي حلقة مجموعة لاي ذات أبعاد لا نهائية أو(∞) سو(∞) س(∞)
المجموعات الجبرية المجموعة الجبرية الخطية المجموعة الاختزالية صنف أبيليان المنحنى الإهليلجي
ف ت هـ

في الرياضيات ، وتحديدًا نظرية المجموعات ، فإن المنتج الحر هو عملية تأخذ مجموعتين G و H وتنشئ مجموعة جديدة G ∗ H. تحتوي النتيجة على كل من G و H كمجموعات فرعية ، ويتم إنشاؤها بواسطة عناصر هذه المجموعات الفرعية، وهي المجموعة " العالمية " التي لها هذه الخصائص، بمعنى أن أي تماثلين من G و H إلى مجموعة K يتأثران بشكل فريد من خلال تماثل من G ∗ H إلى K. ما لم تكن إحدى المجموعتين G و H تافهة، فإن المنتج الحر يكون دائمًا لانهائيًا. إن إنشاء المنتج الحر مشابه في روحه لإنشاء مجموعة حرة (المجموعة العالمية بمجموعة معينة من المولدات).

إن المنتج الحر هو المنتج المشترك في فئة المجموعات . أي أن المنتج الحر يلعب نفس الدور في نظرية المجموعات الذي يلعبه الاتحاد المنفصل في نظرية المجموعات ، أو الذي يلعبه المجموع المباشر في نظرية الوحدات . وحتى إذا كانت المجموعات تبادلية، فإن منتجها الحر ليس كذلك، إلا إذا كانت إحدى المجموعتين هي المجموعة التافهة . وبالتالي، فإن المنتج الحر ليس المنتج المشترك في فئة المجموعات الإبيلية .

إن المنتج الحر مهم في الطوبولوجيا الجبرية بسبب نظرية فان كامبن ، والتي تنص على أن المجموعة الأساسية لاتحاد فضائيين طوبولوجيين متصلين بمسار يكون تقاطعهما أيضًا متصلًا بمسار هو دائمًا منتج حر مدمج للمجموعات الأساسية للفضائيات. على وجه الخصوص، فإن المجموعة الأساسية لمجموع الإسفين لفضائيين (أي المساحة التي تم الحصول عليها عن طريق ربط فضائيين معًا في نقطة واحدة) هي، في ظل ظروف معينة معطاة في نظرية سيفرت فان كامبن، المنتج الحر للمجموعات الأساسية للفضائيات.

المنتجات الحرة مهمة أيضًا في نظرية باس-سير ، وهي دراسة المجموعات التي تعمل عن طريق التماثلات الذاتية على الأشجار . على وجه التحديد، يمكن إنشاء أي مجموعة تعمل بمثبتات رؤوس محدودة على شجرة من مجموعات محدودة باستخدام منتجات حرة مدمجة وامتدادات HNN . باستخدام عمل المجموعة المعيارية على فسيفساء معينة للمستوى الزائدي ، يتبع من هذه النظرية أن المجموعة المعيارية متماثلة مع الحاصل الحر للمجموعات الدورية من الرتبتين 4 و6 المدمجة على مجموعة دورية من الرتبة 2.

إذا كانت G و H عبارة عن مجموعات، فإن الكلمة الموجودة على G و H عبارة عن تسلسل من النموذج

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

حيث يكون كل s _i إما عنصرًا من G أو عنصرًا من H. يمكن اختزال مثل هذه الكلمة باستخدام العمليات التالية:

• إزالة مثيل لعنصر الهوية (إما G أو H ).
• استبدل زوجًا من النموذج g ₁ g ₂ بحاصل ضربه في G ، أو زوجًا h ₁ h ₂ بحاصل ضربه في H.

كل كلمة مختصرة هي إما تسلسل فارغ، أو تحتوي على عنصر واحد فقط من G أو H ، أو هي تسلسل متناوب من عناصر G وعناصر H ، على سبيل المثال

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

المنتج الحر G ∗ H هو المجموعة التي تكون عناصرها هي الكلمات المختصرة في G و H ، تحت عملية التجميع المتبوعة بالاختزال.

على سبيل المثال، إذا كانت G هي المجموعة الدورية اللانهائية ، و H هي المجموعة الدورية اللانهائية ، فإن كل عنصر من G ∗ H هو حاصل ضرب متناوب لقوى x مع قوى y . في هذه الحالة، تكون G ∗ H متماثلة للمجموعة الحرة الناتجة عن x و y . ${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle \langle y\rangle }$

افترض أن

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

هو عرض لـ G (حيث S _G هي مجموعة من المولدات و R _G هي مجموعة من العلاقات)، وافترض أن

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

هو عرض تقديمي لـ H. ثم

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

وهذا يعني أن G ∗ H يتم توليدها بواسطة المولدات الخاصة بـ G مع المولدات الخاصة بـ H ، مع علاقات تتكون من العلاقات من G مع العلاقات من H (افترض هنا عدم وجود تضاربات تدوينية بحيث تكون هذه في الواقع اتحادات منفصلة ).

على سبيل المثال، افترض أن G هي مجموعة دورية من الدرجة 4،

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

و H هي مجموعة دورية من الدرجة 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

ثم G ∗ H هي المجموعة اللانهائية

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

نظرًا لعدم وجود علاقات في المجموعة الحرة، فإن المنتج الحر للمجموعات الحرة هو دائمًا مجموعة حرة. على وجه الخصوص،

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

حيث يشير F _n إلى المجموعة الحرة على n مولد.

مثال آخر هو المجموعة المعيارية . وهي متماثلة مع حاصل ضرب مجموعتين دوريتين: ^[1]${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

وبالتالي ، فإن البناء الأكثر عمومية للمنتج الحر مع الدمج هو نوع خاص من الدفع الخارجي في نفس الفئة . افترض أن و معطاة كما في السابق، جنبًا إلى جنب مع الأشكال المتجانسة (أي أشكال متجانسة للمجموعة الحقنية ): ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$و${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

أين توجد مجموعة عشوائية. ابدأ بالناتج الحر وأضف إليه العلاقات ${\displaystyle F}$${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

لكل في . بعبارة أخرى، خذ أصغر مجموعة فرعية طبيعية من تحتوي على جميع العناصر الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة أعلاه، والتي يتم اعتبارها ضمنيًا في عن طريق تضمينات و في حاصلها الحر. الحاصل الحر مع دمج و ، فيما يتعلق بـ و ، هو مجموعة الحاصل${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

لقد فرض الدمج هوية بين في مع في عنصرًا بعنصر. هذا هو البناء المطلوب لحساب المجموعة الأساسية لمساحتين متصلتين متصلتين على طول فضاء فرعي متصل بمسار، مع أخذ دور المجموعة الأساسية للفضاء الفرعي. انظر: نظرية سيفيرت-فان كامبن . ${\displaystyle \varphi (F)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi (F)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$

وقد أعطى كاراس وسوليتار وصفًا للمجموعات الفرعية للمنتج الحر مع الدمج. ^[2] على سبيل المثال، التماثلات من وإلى مجموعة الحاصل التي يتم تحريضها بواسطة و كلاهما حقن، كما هو الحال مع التماثلات المستحثة من . ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (G*H)/N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$

المنتجات الحرة مع الدمج ومفهوم وثيق الصلة بتمديد HNN هي اللبنات الأساسية في نظرية باس-سير للمجموعات المؤثرة على الأشجار.

يمكن تعريف المنتجات الحرة لهياكل جبرية أخرى غير المجموعات، بما في ذلك الجبر على حقل . تلعب المنتجات الحرة لجبر المتغيرات العشوائية نفس الدور في تعريف " الحرية " في نظرية الاحتمالات الحرة التي تلعبها المنتجات الديكارتية في تعريف الاستقلال الإحصائي في نظرية الاحتمالات الكلاسيكية .

• المنتج المباشر للمجموعات
• المنتج المشترك
• رسم بياني للمجموعات
• نظرية المجموعة الفرعية كوروش
• الشكل الطبيعي للمجموعات الحرة والضرب الحر للمجموعات
• الملكية العالمية