نصف الاستمرارية

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 53 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ كلٌّ من نصف الاستمرارية العلوي ونصف الاستمرارية السفلي امتدادًا لمفهومي نصف الاستمرارية العلوي والسفلي للدوال أحادية القيمة، ليشمل الدوال متعددة القيم . ويُقال إن الدالة متعددة القيم التي تتمتع بنصفي استمرارية علوي وسفلي متصلة، هي دالة متصلة، قياسًا على الخاصية التي تحمل الاسم نفسه للدوال أحادية القيمة.

لتوضيح كلا المفهومين، لنفترض وجود متتالية a من النقاط في مجال معين، ومتتالية b من النقاط في المدى. نقول إن b تُطابق a إذا كانت كل نقطة في b موجودة في صورة النقطة المقابلة لها في a .

  • يتطلب نصف الاستمرارية العليا أنه بالنسبة لأي متتالية متقاربة a في مجال ما، وبالنسبة لأي متتالية متقاربة b تتوافق مع a ، فإن صورة نهاية a تحتوي على نهاية b .
  • يتطلب نصف الاستمرارية السفلي أنه بالنسبة لأي متتالية متقاربة a في مجال ما، ولأي نقطة x في صورة نهاية a ، توجد متتالية b تتوافق مع متتالية فرعية من a ، والتي تتقارب إلى x .

أمثلة

هذه الدالة متعددة القيم متصلة من الأعلى في كل مكان، ولكنها ليست متصلة من الأسفل عندx{\displaystyle x} : لتسلسل من النقاط(xم){\displaystyle \left(x_{m}\right)}ذلك يتقارب إلىx،{\displaystyle x,}لديناy{\displaystyle y}(y∈و(x){\displaystyle y\in f(x)}) بحيث لا يوجد تسلسل من(yم){\displaystyle \left(y_{m}\right)}يتقارب إلىy{\displaystyle y}حيث كلyم{\displaystyle y_{m}}هو فيو(xم).{\displaystyle f\left(x_{m}\right).}
هذه الدالة متعددة القيم متصلة من الأسفل في كل مكان، ولكنها ليست متصلة من الأعلى عندx،{\displaystyle x,} لأن الرسم البياني (المجموعة) ليس مغلقًا.

تُظهر الصورة على اليمين دالةً غير متصلة من الأسفل عند x . ولتوضيح ذلك، لنفترض أن a متتالية تتقارب إلى x من اليسار. صورة x هي خط عمودي يحتوي على نقطة ما ( x , y ). لكن أي متتالية b تُقابل a تقع ضمن الخط الأفقي السفلي، لذا لا يمكنها التقارب إلى y . في المقابل، الدالة متصلة من الأعلى في كل مكان. على سبيل المثال، عند النظر إلى أي متتالية a تتقارب إلى x من اليسار أو من اليمين، وأي متتالية مُقابلة b ، فإن نهاية b تقع ضمن الخط العمودي الذي يُمثل صورة نهاية a .

تُظهر الصورة على اليسار دالةً غير متصلة من الأعلى عند x . ولتوضيح ذلك، لنفترض أن a متتالية تتقارب إلى x من اليمين. تحتوي صورة a على خطوط رأسية، لذا توجد متتالية مقابلة b تكون جميع عناصرها محدودة بعيدًا عن f ( x ). تحتوي صورة نهاية a على نقطة واحدة f ( x )، لذا فهي لا تحتوي على نهاية b . في المقابل، تكون هذه الدالة متصلة من الأسفل في كل مكان. على سبيل المثال، لأي متتالية a تتقارب إلى x ، سواء من اليسار أو من اليمين، تحتوي f ( x ) على نقطة واحدة، وتوجد متتالية مقابلة b تتقارب إلى f ( x ).

التعريفات

استمرارية النصف العلوي

دالة متعددة القيمΓ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}يقال إنها شبه متصلة علوية عند نقطةأ∈أ{\displaystyle a\in A}إذا، لكل مفتوحV⊂ب{\displaystyle V\subset B}معΓ(أ)⊂V،{\displaystyle \Gamma (a)\subset V,}يوجد حييو{\displaystyle U}لأ{\displaystyle a}بحيث يكون ذلك لجميعx∈يو،{\displaystyle x\in U,}Γ(x){\displaystyle \Gamma (x)}هي مجموعة فرعية منV.{\displaystyle V.}

استمرارية النصف السفلي

دالة متعددة القيمΓ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}يقال إنها شبه متصلة سفلية عند النقطةأ∈أ{\displaystyle a\in A} إذا كان لكل مجموعة مفتوحةV{\displaystyle V}متقاطعةΓ(أ)،{\displaystyle \Gamma (a),}يوجد حييو{\displaystyle U}لأ{\displaystyle a}بحيثΓ(x){\displaystyle \Gamma (x)}يتقاطعV{\displaystyle V}للجميعx∈يو.{\displaystyle x\in U.}(هناV{\displaystyle V}يتقاطعS{\displaystyle S}يعني تقاطع غير فارغV∩S≠∅{\displaystyle V\cap S\neq \varnothing }).

الاستمرارية

إذا كانت الدالة ذات القيم المتعددة متصلة من الأعلى ومن الأسفل، فإنها يقال إنها متصلة.

ملكيات

استمرارية النصف العلوي

التوصيف التسلسلي

نظرية — بالنسبة لدالة متعددة القيمΓ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}مع القيم المغلقة، إذاΓ{\displaystyle \Gamma }يكون الجزء العلوي شبه متصل عندأ∈أ،{\displaystyle a\in A,}ثم لكل تسلسلأ∙=(أم)م=1∞{\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}فيأ{\displaystyle A}وكل تسلسل(بم)م=1∞{\displaystyle \left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}بحيثبم∈Γ(أم)،{\displaystyle b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),}

لوليمم→∞أم=أ{\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{m}=a}وليمم→∞بم=ب{\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=b}ثمب∈Γ(أ).{\displaystyle b\in \Gamma (a).}

لوب{\displaystyle B}إذا كانت مضغوطة، فإن العكس صحيح أيضاً.

على سبيل المثال، انظر إلى الصورة على اليمين، وفكّر في المتتالية a في المجال التي تتقارب إلى x (سواء من اليسار أو من اليمين). عندئذٍ، أي متتالية b تحقق الشروط تتقارب إلى نقطة ما في f ( x ).

نظرية الرسم البياني المغلق

رسم بياني لدالة متعددة القيمΓ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}هي المجموعة المحددة بواسطةجير(Γ)={(أ،ب)∈أ×ب:ب∈Γ(أ)}.{\displaystyle Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.} مجالΓ{\displaystyle \Gamma }هي مجموعة الكلأ∈أ{\displaystyle a\in A}بحيثΓ(أ){\displaystyle \Gamma (a)}ليس فارغًا.

نظرية — إذاΓ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}هي دالة متعددة القيم شبه متصلة من الأعلى ذات مجال مغلق (أي مجالΓ{\displaystyle \Gamma }(مغلق) والقيم المغلقة (أيΓ(أ){\displaystyle \Gamma (a)}مغلق أمام الجميعأ∈أ{\displaystyle a\in A})، ثمغر⁡(Γ){\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma )}مغلق.

لوب{\displaystyle B}إذا كانت مضغوطة، فإن العكس صحيح أيضاً. [ 1 ]

استمرارية النصف السفلي

التوصيف التسلسلي

نظرية —Γ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}يكون نصف متصل سفليًا عندأ∈أ{\displaystyle a\in A} إذا وفقط إذا كان لكل متتاليةأ∙=(أم)م=1∞{\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}فيأ{\displaystyle A}بحيثأ∙→أ{\displaystyle a_{\bullet }\to a}فيأ{\displaystyle A}وكل شيءب∈Γ(أ)،{\displaystyle b\in \Gamma (a),}توجد متتالية فرعية(أمك)ك=1∞{\displaystyle \left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}لأ∙{\displaystyle a_{\bullet }}وكذلك تسلسلب∙=(بك)ك=1∞{\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}بحيثب∙→ب{\displaystyle b_{\bullet }\to b}وبك∈Γ(أمك){\displaystyle b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)}لكلك.{\displaystyle k.}

نظرية الرسم البياني المفتوح

دالة متعددة القيمΓ:أ→ب{\displaystyle \Gamma :A\to B}يقال إن لها أقسامًا سفلية مفتوحة إذا كانت المجموعةΓ-1(ب)={أ∈أ:ب∈Γ(أ)}{\displaystyle \Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}} مفتوح فيأ{\displaystyle A}لكلب∈ب.{\displaystyle b\in B.}لوΓ{\displaystyle \Gamma }جميع القيم عبارة عن مجموعات مفتوحة فيب،{\displaystyle B,}ثمΓ{\displaystyle \Gamma }يقال إن له أقسامًا علوية مفتوحة .

لوΓ{\displaystyle \Gamma }يحتوي على رسم بياني مفتوحغر⁡(Γ)،{\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma ),}ثمΓ{\displaystyle \Gamma }يحتوي على أقسام علوية وسفلية مفتوحة، وإذاΓ{\displaystyle \Gamma }إذا كانت الأجزاء السفلية مفتوحة، فإنها تكون نصف متصلة من الأسفل. [ 2 ]

نظرية الرسم البياني المفتوح — إذاΓ:أ→P(Rن){\displaystyle \Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}إذا كانت دالة متعددة القيم ذات قيم محدبة وأقسام علوية مفتوحة، فإنΓ{\displaystyle \Gamma }يحتوي على رسم بياني مفتوح فيأ×Rن{\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{n}}إذا وفقط إذاΓ{\displaystyle \Gamma }هو شبه متصل سفلي. [ 2 ]

عمليات الحفاظ على استمرارية نصفية

تحافظ العمليات النظرية للمجموعات والجبرية والطوبولوجية على الدوال متعددة القيم (مثل الاتحاد والتركيب والجمع والغطاء المحدب والإغلاق) عادةً على نوع الاستمرارية. ولكن ينبغي التعامل مع هذا الأمر بحذر، إذ قد يوجد، على سبيل المثال، زوج من الدوال متعددة القيم شبه المستمرة من الأسفل، لا يكون تقاطعها شبه مستمر من الأسفل. ويمكن معالجة هذه المشكلة بتعزيز خصائص الاستمرارية: فإذا كانت إحدى هذه الدوال متعددة القيم شبه المستمرة من الأسفل ذات رسم بياني مفتوح، فإن تقاطعها يكون شبه مستمر من الأسفل.

تحديد الوظائف

يُعدّ البحث في الاختيارات أحادية القيمة والتقريبات للدوال متعددة القيم أمرًا بالغ الأهمية في التحليل متعدد القيم (من منظور التطبيقات). عادةً ما تقبل الدوال متعددة القيم شبه المتصلة من الأسفل اختيارات أحادية القيمة ( مثل نظرية اختيار مايكل ، ونظرية اختيار بريسان-كولومبو للاستمرارية الاتجاهية، واختيار فريزكوفسكي للخرائط القابلة للتحليل). وبالمثل، تقبل الخرائط شبه المتصلة من الأعلى تقريبات (مثل نظرية أنسيل-غراناس-غورنييفيتش-كريزيفسكي).

مفاهيم أخرى للاستمرارية

يمكن اعتبار استمرارية النصف العلوي والسفلي استمرارية عادية:

نظرية — دالة متعددة القيمΓ:أ⇉ب{\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}تكون القيم المغلقة شبه متصلة من الأسفل [أو من الأعلى] إذا وفقط إذا كان التطبيقΓ:أ→P(ب){\displaystyle \Gamma :A\to P(B)}يكون متصلاً حيث تم تزويد الفضاء الفائق P(B) بطوبولوجيا فيتوريس السفلى [على التوالي العليا] .

(للاطلاع على مفهوم الفضاء الفائق، قارن أيضًا مجموعة القوى وفضاء الدوال ).

باستخدام توحيد هاوسدورف السفلي والعلوي، يمكننا أيضًا تعريف ما يسمى بالخرائط شبه المستمرة العلوية والسفلية بمعنى هاوسدورف (المعروفة أيضًا باسم الخرائط شبه المستمرة السفلية / العلوية المترية ).

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ الاقتراح 1.4.8 من أوبين، جان بيير؛ فرانكوسكا، هيلين (1990). تحليل القيمة المحددة . بازل: بيركهاوزر. رقم ISBN 3-7643-3478-9.
  2. 1 2 تشو، جي إكس (أغسطس 1995). "حول وجود التوازن للاقتصادات المجردة" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 193 (3): 839-858 . doi : 10.1006/jmaa.1995.1271 .

مراجع