دالة الاختيار

ليكن X مجموعة من المجموعات غير الفارغة. عندئذٍ، دالة الاختيار ( المحدد ، الاختيار ) على X هي دالة رياضية f معرفة على X بحيث تكون f دالة تربط كل عنصر من عناصر X بأحد عناصرها.

ليكن X  =  {  {1,4,7},  {9},  {2,7}  }. إذن، الدالة f المعرفة بـ f ({1, 4, 7}) = 7، و f ({9}) = 9، و f ({2, 7} ) = 2 هي دالة اختيار على X.

قدّم إرنست زيرميلو (1904) دوال الاختيار، بالإضافة إلى بديهية الاختيار (AC)، وأثبت نظرية الترتيب الجيد ^{[ 1 ]} التي تنص على إمكانية ترتيب أي مجموعة ترتيبًا جيدًا . تنص بديهية الاختيار على أن كل مجموعة من المجموعات غير الفارغة تمتلك دالة اختيار. وهناك شكل أضعف من بديهية الاختيار، وهو بديهية الاختيار القابل للعد (AC _ω )، التي تنص على أن كل مجموعة قابلة للعد من المجموعات غير الفارغة تمتلك دالة اختيار. مع ذلك، حتى في غياب بديهية الاختيار أو بديهية الاختيار القابل للعد _، يمكن إثبات أن بعض المجموعات تمتلك دالة اختيار.

• لو${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة منتهية من المجموعات غير الفارغة، فيمكن للمرء أن يبني دالة اختيار لـ${\displaystyle X}$عن طريق اختيار عنصر واحد من كل عضو من أعضاء${\displaystyle X.}$هذا يتطلب عددًا محدودًا من الخيارات فقط، لذلك لا حاجة إلى AC أو AC _{ω .}
• إذا كان كل عضو من${\displaystyle X}$هي مجموعة غير فارغة، والاتحاد${\displaystyle \bigcup X}$إذا كانت مرتبة ترتيبًا جيدًا، فيمكن للمرء اختيار أصغر عنصر من كل عضو من أعضاء${\displaystyle X}$في هذه الحالة، كان من الممكن ترتيب كل عضو من أعضاء${\displaystyle X}$باختيار ترتيب جيد واحد فقط للاتحاد، لم تكن هناك حاجة إلى AC أو AC _ω . (يوضح هذا المثال أن نظرية الترتيب الجيد تستلزم AC. والعكس صحيح أيضًا، ولكنه أقل وضوحًا).

بفرض وجود مجموعتين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، يترك${\displaystyle F}$لتكن خريطة متعددة القيم من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$(بمعنى آخر،${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$هي دالة من${\displaystyle X}$إلى مجموعة القوى لـ${\displaystyle Y}$).

وظيفة${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$يقال إنها مجموعة مختارة من${\displaystyle F}$، لو:

$${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$$

يُعد وجود دوال اختيار أكثر انتظامًا، وتحديدًا الاختيارات المستمرة أو القابلة للقياس، أمرًا مهمًا في نظرية الإدراجات التفاضلية ، والتحكم الأمثل ، والاقتصاد الرياضي . ^{[ 2 ]} انظر نظرية الاختيار .

استخدم نيكولاس بورباكي حساب التفاضل والتكامل إبسيلون في أسسه التي كانت${\displaystyle \tau }$رمز يمكن تفسيره على أنه اختيار كائن (إن وُجد) يحقق قضية معينة. لذا، إذا${\displaystyle P(x)}$إذا كان مسندًا،${\displaystyle \tau _{x}(P)}$هو كائن واحد محدد يحقق${\displaystyle P}$(إن وُجد، وإلا فإنه يُعيد كائنًا عشوائيًا). ومن ثم، يُمكننا الحصول على مُحددات الكمية من دالة الاختيار، على سبيل المثال${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$كان يعادل${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$[ ^{3 ]​}

مع ذلك، فإنّ عامل اختيار بورباكي أقوى من المعتاد: فهو عامل اختيار شامل . أي أنه يستلزم بديهية الاختيار الشامل . ^{[ 4 ]} وقد أدرك هيلبرت ذلك عند تقديمه لحساب إبسيلون. ^{[ 5 ]}

• بديهية الاختيار المعدود
• بديهية الاختيار التابع
• مفارقة هاوسدورف
• نصف الاستمرارية

تتضمن هذه المقالة مواد من وظيفة الاختيار على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .