دالة متعددة القيم

الدالة متعددة القيم ، والتي تُسمى أيضًا بالمطابقة أو العلاقة متعددة القيم ، هي دالة رياضية تربط عناصر من مجموعة ما، وهي مجال الدالة ، بمجموعات جزئية من مجموعة أخرى. ^{[ 1 ] [ 2 ]} تُستخدم الدوال متعددة القيم في مجالات رياضية متنوعة، بما في ذلك التحسين ، ونظرية التحكم ، ونظرية الألعاب .

تُعرف الدوال ذات القيم المتعددة أيضًا باسم الدوال متعددة القيم في بعض المراجع، ^{[ 3 ]} ولكن هذه المقالة ومقالة الدالة متعددة القيم تتبع المؤلفين الذين يقومون بالتمييز بينهما.

على الرغم من أن مؤلفين آخرين قد يميزون بينهما بشكل مختلف (أو لا يميزون بينهما على الإطلاق)، فإن ريغرز وباناتيوتوبولوس (2014) يميزان الدوال متعددة القيم عن الدوال أحادية القيم (التي أطلقوا عليها اسم العلاقات أحادية القيم ) من خلال حقيقة أن الدوال متعددة القيم لا تأخذ قيمًا متعددة إلا عند عدد محدود (أو قابل للعد) من النقاط، وتتصرف فيما عدا ذلك كدالة . [ ^{2 ] هندسيًا} ، هذا يعني أن الرسم البياني للدالة متعددة القيم هو بالضرورة خط مستقيم مساحته صفر ولا يحتوي على حلقات، بينما قد يحتوي الرسم البياني للعلاقة أحادية القيم على مناطق مملوءة أو حلقات. ^{[ 2 ]}

أو بعبارة أخرى، الدالة متعددة القيم هي دالة متعددة القيم f لها خاصية استمرارية إضافية ، وهي أن اختيار عنصر في المجموعة${\displaystyle f(x)}$يُعرّف عنصرًا مُقابلًا في كل مجموعة${\displaystyle f(y)}$بالنسبة لـ y القريبة من x ، وبالتالي تحدد محليًا دالة عادية.

تكون قيمة argmax للدالة متعددة القيم بشكل عام. على سبيل المثال،${\displaystyle \operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}}$.

التحليل ذو القيم المتعددة هو دراسة المجموعات بروح التحليل الرياضي والطوبولوجيا العامة .

بدلاً من دراسة مجموعات النقاط فقط، يدرس التحليل ذو القيم المتعددة مجموعات المجموعات. إذا كانت مجموعة من المجموعات مزودة بطوبولوجيا معينة، أو ورثت طوبولوجيا مناسبة من فضاء طوبولوجي أساسي، فإنه يمكن دراسة تقارب المجموعات.

نشأ جزء كبير من التحليل متعدد القيم من خلال دراسة الاقتصاد الرياضي والتحكم الأمثل ، جزئيًا كتعميم للتحليل المحدب ؛ ويستخدم مصطلح " التحليل التبايني " من قبل مؤلفين مثل ر. تيريل روكافيلر وروجر ج. ب. ويتس ، وجوناثان بورواين وأدريان لويس ، وبوريس موردوخوفيتش . في نظرية الأمثلية، يُعد تقارب الدوال التفاضلية الجزئية التقريبية إلى دالة تفاضلية جزئية أمرًا مهمًا لفهم الشروط اللازمة أو الكافية لأي نقطة تصغير.

توجد امتدادات متعددة القيم للمفاهيم التالية من التحليل النقطي: الاستمرارية ، والتفاضل ، والتكامل ، ^{[ 4 ]} ونظرية الدالة الضمنية ، وتطبيقات الانكماش ، ونظرية القياس ، ونظريات النقطة الثابتة ، ^{[ 5 ]} والتحسين ، ونظرية الدرجة الطوبولوجية . وبشكل خاص، تُعمم المعادلات لتشمل التضمينات ، بينما تُعمم المعادلات التفاضلية لتشمل التضمينات التفاضلية .

يمكن تمييز مفاهيم متعددة تعمم مفهوم الاستمرارية ، مثل خاصية الرسم البياني المغلق والاستمرارية النصفية العليا والسفلى ^{[ أ ]} . كما توجد تعميمات مختلفة للقياس على الدوال المتعددة.

تظهر الدوال متعددة القيم في نظرية التحكم الأمثل ، وخاصةً في المعادلات التفاضلية المضمنة والمواضيع ذات الصلة كنظرية الألعاب ، حيث طُبقت نظرية كاكوتاني للنقطة الثابتة للدوال متعددة القيم لإثبات وجود توازنات ناش . هذه الخاصية، إلى جانب العديد من الخصائص الأخرى المرتبطة بشكل غير مباشر بإمكانية تقريب الدوال متعددة القيم شبه المتصلة من الأعلى عبر الدوال المتصلة، تُفسر سبب تفضيل شبه الاتصال من الأعلى على شبه الاتصال من الأسفل.

مع ذلك، عادةً ما تمتلك الدوال المتعددة شبه المتصلة من الأسفل اختيارات متصلة كما هو منصوص عليه في نظرية اختيار مايكل ، والتي تقدم توصيفًا آخر للفضاءات شبه المتراصة . ^{[ 6 ] [ 7 ]} وتُعد نظريات الاختيار الأخرى، مثل اختيار بريسان-كولومبو المتصل الاتجاهي، ونظرية اختيار كوراتوفسكي وريل-ناردزيفسكي القابلة للقياس ، واختيار أومان القابل للقياس، واختيار فريسكوفسكي للخرائط القابلة للتحليل، مهمة في التحكم الأمثل ونظرية التضمينات التفاضلية .

• ك. دايملينج، المعادلات التفاضلية متعددة القيم ، والتر دي جرويتر، 1992
• سي دي أليبرانتيس وكيه سي بوردر، التحليل اللانهائي الأبعاد. دليل المسافر إلى المجرة ، سبرينغر-فيرلاغ برلين هايدلبرغ، 2006
• ج. أندريس ول. غورنيويتش، مبادئ النقطة الثابتة الطوبولوجية لمسائل القيم الحدية ، دار نشر كلوير الأكاديمية، 2003
• جيه-بي أوبين وأ. سيلينا، التضمينات التفاضلية، الخرائط ذات القيم المتعددة ونظرية الجدوى ، Grundl. der Math. Wiss. 264، Springer - Verlag، برلين، 1984
• جيه-بي أوبين وإتش فرانكوفسكا ، التحليل ذو القيم المتعددة ، بيركهاوزر، بازل، 1990
• د. ريبوفش وب. ف. سيمينوف، الاختيارات المستمرة للتطبيقات متعددة القيم ، دار نشر كلوير الأكاديمية، دوردريخت 1998
• EU Tarafdar و MSR Chowdhury، الأساليب الطوبولوجية للتحليل غير الخطي ذي القيم المتعددة ، World Scientific، سنغافورة، 2008
• ميتروي، إف سي؛ نيكوديم، ك. واوسوفيتش، س. (2013). "متباينات هيرميت-هادامارد للوظائف المحدبة ذات القيمة المحددة" . مظاهرة الرياضيات . 46 (4): 655-662 . دوى : 10.1515/dema-2013-0483 .

• نظرية الاختيار
• نظرية أورسيسكو
• العلاقة الثنائية