معادلة هيكس

في ديناميكا الموائع ، تُعرف معادلة هيكس ، التي تُسمى أحيانًا معادلة براغ-هاوثورن أو معادلة سكواير-لونغ ، بأنها معادلة تفاضلية جزئية تصف توزيع دالة التدفق لمائع غير لزج متناظر محوريًا، وقد سُميت نسبةً إلى ويليام ميتشينسون هيكس ، الذي اشتقها لأول مرة عام 1898. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} كما أعاد ستيفن براغ وويليام هاوثورن اشتقاق المعادلة عام 1950، وروبرت ر. لونغ عام 1953، وهربرت سكواير عام 1956. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} وقد قدم جورج غابرييل ستوكس معادلة هيكس بدون دوامة لأول مرة عام 1842. ^{[ 7 ] [ 8 ]} وتأخذ معادلة غراد -شافرانوف، التي تظهر في فيزياء البلازما، نفس شكل معادلة هيكس.

تمثيل${\displaystyle (r,\theta ,z)}$كإحداثيات في نظام الإحداثيات الأسطوانية مع مكونات سرعة التدفق المقابلة المشار إليها بـ${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})}$دالة التدفق${\displaystyle \psi }$يمكن تعريف الحركة الزوالية على النحو التالي:

${\displaystyle rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

وهذا يحقق معادلة الاستمرارية للتدفقات المتناظرة محوريًا تلقائيًا. وتُعطى معادلة هيكس بعد ذلك بالصيغة ^{[ 9 ].}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$

أين

${\displaystyle H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }}$

أين${\displaystyle H(\psi )}$هو الرأس الكلي، انظر مبدأ برنولي . و${\displaystyle 2\pi \Gamma }$هذا هو الدوران ، وكلاهما محفوظ على طول خطوط الانسياب. هنا،${\displaystyle p}$هو الضغط و${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل. الدوال${\displaystyle H(\psi )}$و${\displaystyle \Gamma (\psi )}$هي دوال معروفة، تُحدد عادةً عند أحد الحدود؛ انظر المثال أدناه. إذا كانت هناك خطوط انسيابية مغلقة داخل نطاق المائع، على سبيل المثال، منطقة إعادة تدوير، فإن هذه الدوال${\displaystyle H(\psi )}$و${\displaystyle \Gamma (\psi )}$عادة ما تكون غير معروفة، وبالتالي في تلك المناطق، لا تكون معادلة هيكس مفيدة؛ توفر نظرية براندتل-باتشيلور تفاصيل حول مناطق خطوط التدفق المغلقة.

ضع في اعتبارك التدفق المتناظر محوريًا في نظام الإحداثيات الأسطوانية${\displaystyle (r,\theta ,z)}$مع مكونات السرعة${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})}$ومكونات الدوامة${\displaystyle (\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})}$. منذ${\displaystyle \partial /\partial \theta =0}$في التدفقات المتناظرة محوريًا، تكون مكونات الدوامة

$\displaystyle \omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}}$.

تسمح معادلة الاستمرارية بتعريف دالة التدفق${\displaystyle \psi (r,z)}$بحيث

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

(لاحظ أن مكونات الدوامة${\displaystyle \omega _{r}}$و${\displaystyle \omega _{z}}$وهي مرتبطة بـ${\displaystyle rv_{\theta }}$بنفس الطريقة تماماً التي${\displaystyle v_{r}}$و${\displaystyle v_{z}}$وهي مرتبطة بـ${\displaystyle \psi }$وبالتالي يصبح المكون السمتي للدوامية

${\displaystyle \omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).}$

معادلات الزخم غير اللزج${\displaystyle \partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H}$، أين${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}}$هو ثابت برنولي،${\displaystyle p}$هو ضغط السائل و${\displaystyle \rho }$تصبح كثافة المائع، عند كتابتها لحقل التدفق المتناظر محوريًا،

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}}$

حيث يمكن كتابة المعادلة الثانية أيضًا على النحو التالي${\displaystyle D(rv_{\theta })/Dt=0}$، أين${\displaystyle D/Dt}$وهو المشتق المادي . وهذا يعني أن التداول${\displaystyle 2\pi rv_{\theta }}$قم بتدوير منحنى مادي على شكل دائرة مركزها${\displaystyle z}$المحور السيني ثابت.

إذا كانت حركة المائع ثابتة، فإن جسيم المائع يتحرك على طول خط انسيابي، أو بعبارة أخرى، فإنه يتحرك على السطح المحدد بواسطة${\displaystyle \psi =}$ثابت. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle H=H(\psi )}$و${\displaystyle \Gamma =\Gamma (\psi )}$، أين${\displaystyle \Gamma =rv_{\theta }}$لذلك، فإن المكون القطري والمكون السمتي للدوامية هما

${\displaystyle \omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$.

مكونات${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$تكون متوازية محليًا. يمكن استبدال التعبيرات المذكورة أعلاه في معادلات الزخم الشعاعي أو المحوري (بعد حذف حد المشتقة الزمنية ) لحلها.${\displaystyle \omega _{\theta }}$على سبيل المثال، استبدال التعبير أعلاه بـ${\displaystyle \omega _{r}}$يؤدي إدخالها في معادلة الزخم المحوري إلى ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}}$

لكن${\displaystyle \omega _{\theta }}$يمكن التعبير عنها بدلالة${\displaystyle \psi }$كما هو موضح في بداية هذا الاشتقاق. عندما${\displaystyle \omega _{\theta }}$يتم التعبير عنها بدلالة${\displaystyle \psi }$، نحصل

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.}$

وبهذا يكتمل الاشتقاق المطلوب.

لنفترض أن السائل في التيار البعيد يُظهر سرعة محورية منتظمة.${\displaystyle U}$وتدور بسرعة زاوية${\displaystyle \Omega }$تتوافق هذه الحركة العكسية مع

${\displaystyle \psi ={\frac {1}{2}}Ur^{2},\quad \Gamma =\Omega r^{2},\quad H={\frac {1}{2}}U^{2}+\Omega ^{2}r^{2}.}$

ومن هذه نحصل

${\displaystyle H(\psi )={\frac {1}{2}}U^{2}+{\frac {2\Omega ^{2}}{U}}\psi ,\qquad \Gamma (\psi )={\frac {2\Omega }{U}}\psi }$

مما يشير إلى أنه في هذه الحالة،${\displaystyle H}$و${\displaystyle \Gamma }$هي دوال خطية بسيطة لـ${\displaystyle \psi }$تصبح معادلة هيكس نفسها

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {2\Omega ^{2}}{U}}r^{2}-{\frac {4\Omega ^{2}}{U^{2}}}\psi }$

والتي عند تقديمها${\displaystyle \psi (r,z)=Ur^{2}/2+rf(r,z)}$يصبح

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}+\left(k^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)f=0}$

أين${\displaystyle k=2\Omega /U}$.

بالنسبة للتدفق غير القابل للانضغاط${\displaystyle D\rho /Dt=0}$ولكن مع كثافة متغيرة، اشتق تشيا-شون ييه المعادلة اللازمة. يتم أولاً تحويل حقل السرعة باستخدام تحويل ييه.

${\displaystyle (v_{r}',v_{\theta }',v_{z}')={\sqrt {\frac {\rho }{\rho _{0}}}}(v_{r},v_{\theta },v_{z})}$

أين${\displaystyle \rho _{0}}$هي كثافة مرجعية، مع دالة تدفق ستوكس المقابلة.${\displaystyle \psi '}$تم تعريفها بحيث

${\displaystyle rv_{r}'=-{\frac {\partial \psi '}{\partial z}},\quad rv_{z}'={\frac {\partial \psi '}{\partial r}}.}$

لنُضمّن قوة الجاذبية المؤثرة في الاتجاه السالب${\displaystyle z}$الاتجاه. ثم تُعطى معادلة ييه بالصيغة ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi '}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi '}}-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \psi '}}{\frac {g}{\rho _{0}}}z-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi '}}}$

أين

${\displaystyle H(\psi ')={\frac {p}{\rho _{0}}}+{\frac {\rho }{2\rho _{0}}}(v_{r}'^{2}+v_{\theta }'^{2}+v_{z}'^{2})+{\frac {\rho }{\rho _{0}}}gz,\quad \Gamma (\psi ')=rv_{\theta }'}$