وظيفة التدفق

تعتمد دالة التدفق ثنائية الأبعاد على الافتراضات التالية:

• يمكن وصف مجال التدفق بأنه تدفق مستوٍ ثنائي الأبعاد، مع متجه سرعة

${\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.}$

• تحقق السرعة معادلة الاستمرارية للتدفق غير القابل للانضغاط:

${\displaystyle \quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

• لا يحتوي المجال على ثقوب، أو يحتوي فقط على ثقوب ليس لها تدفق صافٍ إلى الداخل أو إلى الخارج.

على الرغم من أن دالة التدفق لا تتطلب من حيث المبدأ استخدام نظام إحداثيات معين، إلا أن الوصف المقدم هنا يستخدم نظام إحداثيات ديكارتية يمينية مع إحداثيات${\displaystyle (x,y,z)}$.

لنفترض حدوث تغيير في موضع نقطة المرجع، على سبيل المثال من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle A'}$. يترك${\displaystyle \psi '}$تشير إلى دالة التدفق بالنسبة إلى نقطة مرجعية مُزاحة${\displaystyle A'}$:

${\displaystyle \psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).}$

ثم يتم إزاحة دالة التدفق بمقدار

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}}$

وهذا يعني ما يلي:

• يؤدي تغيير موضع نقطة المرجع فعليًا إلى إضافة ثابت (للتدفق المستقر) أو دالة تعتمد على الزمن فقط (للتدفق غير المستقر) إلى دالة التدفق${\displaystyle \psi }$في كل نقطة${\displaystyle P}$.
• التحول في دالة التدفق،${\displaystyle \Delta \psi }$، يساوي التدفق الحجمي الكلي، لكل وحدة سمك، عبر السطح المتصل الذي يمتد من النقطة${\displaystyle A'}$للإشارة${\displaystyle A}$. بالتالي${\displaystyle \Delta \psi =0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle A'}$تقع على نفس الخط الانسيابي.

السرعة${\displaystyle \mathbf {u} }$يمكن التعبير عنها بدلالة دالة التدفق${\displaystyle \psi }$مثل

${\displaystyle \mathbf {u} =-R\,\nabla \psi }$

أين${\displaystyle R}$هو${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة الدوران المقابلة لـ أ${\displaystyle 90^{\circ }}$دوران عكس اتجاه عقارب الساعة حول النقطة الموجبة${\displaystyle z}$المحور. حل المعادلة أعلاه لـ${\displaystyle \nabla \psi }$ينتج الشكل المكافئ

${\displaystyle \nabla \psi =R\,\mathbf {u} .}$

يتضح من هذه الأشكال على الفور أن المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \nabla \psi }$نكون

• عمودي: ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$
• بنفس الطول: ${\displaystyle |\mathbf {u} |=|\nabla \psi |}$.

بالإضافة إلى ذلك، فإن صغر حجم شكل الدوران يسهل عمليات التلاعب (على سبيل المثال، انظر شرط الوجود ).

بشكل عام، مجال خالٍ من التباعد مثل${\displaystyle \mathbf {u} }$، والمعروف أيضًا باسم حقل متجه لولبي ، يمكن دائمًا تمثيله على أنه التفاف لبعض الكمون المتجهي${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {A}}.}$

دالة التدفق${\displaystyle \psi }$يمكن فهم ذلك على أنه يوفر قوة جهد متجه موجه عموديًا على المستوى: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}(x,y,t)={\begin{bmatrix}0\\0\\\psi (x,y,t)\end{bmatrix}},}$

بعبارة أخرى${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\psi {\hat {\mathbf {z} }}}$، أين${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$متجه الوحدة يشير إلى الاتجاه الموجب${\displaystyle z}$اتجاه.

ويمكن كتابة ذلك أيضًا على شكل الضرب الاتجاهي للمتجهات

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {z} }}}$

حيث استخدمنا متطابقة حساب المتجهات

${\displaystyle \nabla \times \left(\psi {\hat {\mathbf {z} }}\right)=\psi \nabla \times {\hat {\mathbf {z} }}+\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {z} }}.}$

مع ملاحظة أن${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\nabla z}$، وتحديد${\displaystyle \phi =z}$يمكن التعبير عن حقل السرعة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \nabla \phi .}$

يوضح هذا الشكل أن الأسطح المستوية لـ${\displaystyle \psi }$والأسطح المستوية لـ${\displaystyle z}$(أي المستويات الأفقية) تشكل نظامًا من أسطح التدفق المتعامدة .

وهناك تعريف بديل، يُستخدم أحيانًا في علم الأرصاد الجوية وعلم المحيطات ، وهو

${\displaystyle \psi '=-\psi .}$

في التدفق المستوي ثنائي الأبعاد، يُعرف متجه الدوامة على النحو التالي:${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$، يختزل إلى${\displaystyle \omega \,{\hat {\mathbf {z} }}}$، أين

${\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }$

أو

${\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '}$

هذه هي أشكال معادلة بواسون .

لنفترض جريانًا مستويًا ثنائي الأبعاد بنقطتين متقاربتين للغاية${\displaystyle P=(x,y,z)}$و${\displaystyle P'=(x+dx,y+dy,z)}$تقعان في نفس المستوى الأفقي. من حساب التفاضل والتكامل، يكون الفرق المتناهي الصغر المقابل بين قيم دالة التدفق عند النقطتين هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

يفترض${\displaystyle \psi }$يأخذ نفس القيمة، على سبيل المثال${\displaystyle C}$، عند النقطتين${\displaystyle P}$و${\displaystyle P'}$ثم هذا يعطي

${\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,}$

مما يعني أن المتجه${\displaystyle \nabla \psi }$عمودي على السطح${\displaystyle \psi =C}$. لأن${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$في كل مكان (انظر على سبيل المثال، من حيث دوران المتجهات )، يتوافق كل خط انسيابي مع تقاطع سطح تيار معين ومستوى أفقي معين. وبالتالي، في ثلاثة أبعاد، يتطلب التحديد الدقيق لأي خط انسيابي معين تحديد القيم المقابلة لكل من دالة التيار والارتفاع (${\displaystyle z}$تنسيق).

يفترض هذا التطوير أن المجال المكاني ثلاثي الأبعاد. ويمكن أيضًا تطوير مفهوم دالة التدفق في سياق مجال مكاني ثنائي الأبعاد. في هذه الحالة، تكون مجموعات مستويات دالة التدفق منحنيات وليست أسطحًا، وتكون خطوط التدفق منحنيات مستويات لدالة التدفق. وبالتالي، في بعدين، يتطلب التحديد الدقيق لأي خط تدفق معين تحديد القيمة المقابلة لدالة التدفق فقط.

من السهل إثبات ذلك بالنسبة للتدفق المستوي ثنائي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {u} }$يحقق معادلة الالتفاف والتباعد

${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,{\hat {\mathbf {z} }}=-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$

أين${\displaystyle R}$هو${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة الدوران المقابلة لـ أ${\displaystyle 90^{\circ }}$دوران عكس اتجاه عقارب الساعة حول النقطة الموجبة${\displaystyle z}$المحور. هذه المعادلة صحيحة بغض النظر عما إذا كان التدفق غير قابل للانضغاط أم لا.

إذا كان التدفق غير قابل للانضغاط (أي،${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ثم تعطي معادلة الالتفاف والتباعد

${\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$.

ثم بحسب نظرية ستوكس، فإن التكامل الخطي لـ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$يختفي فوق كل حلقة مغلقة

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.}$

وبالتالي، فإن التكامل الخطي لـ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$مستقلة عن المسار. وأخيرًا، بحسب عكس نظرية التدرج ، فإن الدالة العددية${\displaystyle \psi (x,y,t)}$يوجد بحيث

${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$.

هنا${\displaystyle \psi }$يمثل دالة التدفق.

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت دالة التدفق موجودة، فإن${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$. بتعويض هذه النتيجة في معادلة الالتفاف والتباعد، نحصل على${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$(أي أن التدفق غير قابل للانضغاط).

باختصار، توجد دالة التدفق لتدفق مستوي ثنائي الأبعاد إذا وفقط إذا كان التدفق غير قابل للانضغاط.

في التدفق الكامن ثنائي الأبعاد ، تكون خطوط الانسياب عمودية على خطوط تساوي الجهد . وباستخدام دالة الانسياب مع جهد السرعة ، يمكن اشتقاق جهد مركب . بعبارة أخرى، تمثل دالة الانسياب الجزء الدوراني من تحليل هيلمهولتز ثنائي الأبعاد ، بينما يمثل جهد السرعة الجزء غير الدوراني .

يمكن تلخيص الخصائص الأساسية لوظائف التدفق ثنائية الأبعاد على النحو التالي:

1. يتم تحديد مركبتي السرعة x و y عند نقطة معينة من خلال المشتقات الجزئية لدالة التدفق عند تلك النقطة.
2. تكون قيمة دالة التدفق ثابتة على طول كل خط تدفق (تمثل خطوط التدفق مسارات الجسيمات في التدفق المستقر). أي أن كل خط تدفق في بعدين هو منحنى مستوى لدالة التدفق.
3. إن الفرق بين قيم دالة التدفق عند أي نقطتين يعطي التدفق الحجمي عبر السطح الرأسي الذي يربط النقطتين.