التدفق غير القابل للانضغاط

في ميكانيكا الموائع ، أو بشكل أعم في ميكانيكا الأوساط المتصلة ، يُعرف التدفق غير القابل للانضغاط بأنه تدفق لا تتغير فيه كثافة المادة بمرور الوقت. وبصورة مكافئة، يكون تباعد سرعة التدفق غير القابل للانضغاط صفرًا. في ظل ظروف معينة، يمكن نمذجة تدفق الموائع القابلة للانضغاط كتدفق غير قابل للانضغاط بتقريب جيد.

الشرط الأساسي للتدفق غير القابل للانضغاط هو أن الكثافة،${\displaystyle \rho }$تكون الكثافة ثابتة ضمن حجم عنصر صغير، dV ، يتحرك بسرعة التدفق u . رياضيًا، يعني هذا القيد أن المشتق المادي (المناقش أدناه) للكثافة يجب أن يساوي صفرًا لضمان تدفق غير قابل للانضغاط. قبل إدخال هذا القيد، يجب تطبيق قانون حفظ الكتلة لتوليد العلاقات اللازمة. تُحسب الكتلة من خلال التكامل الحجمي للكثافة.${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

يقتضي قانون حفظ الكتلة أن يكون المشتق الزمني للكتلة داخل حجم تحكم مساوياً لتدفق الكتلة ، J ، عبر حدوده. رياضياً، يمكننا تمثيل هذا القيد بدلالة تكامل سطحي :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }$

تضمن الإشارة السالبة في التعبير أعلاه أن التدفق الخارجي يؤدي إلى انخفاض الكتلة مع مرور الوقت، وذلك باستخدام الاصطلاح القائل بأن متجه مساحة السطح يشير إلى الخارج. الآن، باستخدام نظرية التباعد، يمكننا استنتاج العلاقة بين التدفق والمشتق الزمني الجزئي للكثافة.

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

لذلك:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

لا يشترط أن يكون المشتق الجزئي للكثافة بالنسبة للزمن معدومًا لضمان التدفق غير القابل للانضغاط . عندما نتحدث عن المشتق الجزئي للكثافة بالنسبة للزمن، فإننا نشير إلى معدل هذا التغير ضمن حجم تحكم ذي موضع ثابت . بجعل المشتق الجزئي للكثافة بالنسبة للزمن غير صفري، فإننا لا نقتصر على الموائع غير القابلة للانضغاط ، لأن الكثافة يمكن أن تتغير عند رصدها من موضع ثابت أثناء تدفق المائع عبر حجم التحكم. يحافظ هذا النهج على عمومية النتائج، وعدم اشتراط انعدام المشتق الجزئي للكثافة بالنسبة للزمن يوضح أن الموائع غير القابلة للانضغاط يمكن أن تخضع لتدفق قابل للانضغاط. ما يهمنا هو تغير كثافة حجم تحكم يتحرك مع سرعة التدفق u . يرتبط التدفق بسرعة التدفق من خلال الدالة التالية:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

وبالتالي فإن قانون حفظ الكتلة يستلزم ما يلي:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

العلاقة السابقة (حيث استخدمنا قاعدة الضرب المناسبة ) تُعرف بمعادلة الاستمرارية . الآن، نحتاج إلى العلاقة التالية المتعلقة بالمشتقة الكلية للكثافة (حيث نطبق قاعدة السلسلة ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

لذا إذا اخترنا حجم تحكم يتحرك بنفس معدل السائل (أي ( dx / dt ، dy / dt ، dz / dt ) = u )، فإن هذا التعبير يتبسط إلى المشتق المادي :    

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

وبالتالي، باستخدام معادلة الاستمرارية المشتقة أعلاه، نرى أن:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

إن تغير الكثافة مع مرور الوقت يعني أن السائل قد انضغط أو تمدد (أو أن الكتلة الموجودة في حجمنا الثابت، dV ، قد تغيرت)، وهو ما منعناه. لذا، يجب أن نشترط أن يكون المشتق المادي للكثافة معدومًا، وبالمثل (في حالة الكثافة غير الصفرية) يجب أن يكون تباعد سرعة التدفق معدومًا أيضًا.

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

وهكذا، انطلاقاً من قانون حفظ الكتلة والشرط الذي ينص على أن الكثافة داخل حجم متحرك من السائل تظل ثابتة، فقد تبين أن الشرط المكافئ المطلوب للتدفق غير القابل للانضغاط هو أن تباعد سرعة التدفق يتلاشى.

في بعض المجالات، يُعدّ التغير في الكثافة نتيجة لتغيرات الضغط مقياسًا لعدم انضغاطية التدفق. ويُعبّر عن ذلك بشكل أفضل من خلال الانضغاطية .

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho}}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

إذا كانت قابلية الانضغاط صغيرة بشكل مقبول، فإن التدفق يعتبر غير قابل للانضغاط.

يُوصَف التدفق غير القابل للانضغاط بحقل سرعة تدفق لولبي . ولكن الحقل اللولبي، بالإضافة إلى كونه ذا تباعد صفري، له دلالة إضافية تتمثل في وجود دوران غير صفري (أي مركبة دورانية).

وإلا، إذا كان التدفق غير القابل للانضغاط له أيضًا دوران يساوي صفرًا، بحيث يكون غير دوراني أيضًا ، فإن مجال سرعة التدفق يكون في الواقع لابلاس .

كما تم تعريفه سابقاً، فإن التدفق غير القابل للانضغاط (متساوي الحجم) هو التدفق الذي

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

هذا يعادل قول أن

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

أي أن المشتقة المادية للكثافة تساوي صفرًا. وبالتالي، إذا تتبعنا عنصرًا ماديًا، فإن كثافته الكتلية تظل ثابتة. لاحظ أن المشتقة المادية تتكون من حدين. الحد الأول${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$يصف هذا المصطلح كيفية تغير كثافة عنصر المادة مع مرور الوقت. ويُعرف هذا المصطلح أيضًا بالمصطلح غير المستقر . أما المصطلح الثاني،${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$يصف هذا المصطلح التغيرات في الكثافة عندما ينتقل عنصر المادة من نقطة إلى أخرى. وهو مصطلح الحمل (مصطلح الحمل الحراري للحقل القياسي). ولكي يُعتبر التدفق غير قابل للانضغاط، يجب أن يتلاشى مجموع تراكم هذه المصطلحات.

من ناحية أخرى، فإن المادة المتجانسة غير القابلة للانضغاط هي مادة ذات كثافة ثابتة في جميع أجزائها. بالنسبة لمثل هذه المادة،${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$وهذا يعني أن

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$و

${\displaystyle \nabla \rho =0}$بشكل مستقل .

من معادلة الاستمرارية يتبين أن

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

لذا، تخضع المواد المتجانسة دائمًا لتدفق غير قابل للانضغاط، ولكن العكس ليس صحيحًا. أي أن المواد القابلة للانضغاط قد لا تتعرض للانضغاط أثناء التدفق.

في ديناميكا الموائع، يُعتبر التدفق غير قابل للانضغاط إذا كان تباعد سرعة التدفق يساوي صفرًا. مع ذلك، يمكن استخدام صيغ مشابهة أحيانًا، وذلك بحسب نظام التدفق المراد نمذجته. بعض هذه الصيغ موضحة أدناه:

1. التدفق غير القابل للانضغاط :${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$يمكن افتراض كثافة ثابتة (غير قابل للانضغاط تمامًا) أو تدفق بكثافة متغيرة. تقبل مجموعة الكثافة المتغيرة حلولًا تتضمن اضطرابات طفيفة في مجالات الكثافة والضغط و/أو درجة الحرارة، ويمكن أن تسمح بتدرج الضغط في المجال.
2. التدفق غير المرن :${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$يُستخدم قيد المرونة غير المرنة بشكل أساسي في مجال علوم الغلاف الجوي ، حيث يُوسّع نطاق صلاحية التدفق غير القابل للانضغاط ليشمل الكثافة الطبقية و/أو درجة الحرارة بالإضافة إلى الضغط. وهذا يسمح للمتغيرات الديناميكية الحرارية بالاسترخاء إلى حالة أساسية "جوية" تُرى في الطبقات السفلى من الغلاف الجوي عند استخدامها في مجال الأرصاد الجوية، على سبيل المثال. ويمكن استخدام هذا الشرط أيضًا لأنظمة فيزيائية فلكية متنوعة. ^{[ 1 ]}
3. التدفق ذو عدد ماخ المنخفض ، أو شبه الانضغاطية :${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$يمكن اشتقاق قيد عدد ماخ المنخفض من معادلات أويلر للمواد القابلة للانضغاط باستخدام تحليل المقياس للكميات غير البعدية. يسمح هذا القيد، كما في السابق في هذا القسم، بإزالة الموجات الصوتية، ولكنه يسمح أيضًا باضطرابات كبيرة في الكثافة و/أو درجة الحرارة. ويُفترض أن يظل التدفق ضمن حد معين لعدد ماخ (عادةً أقل من 0.3) لكي يكون أي حل يستخدم هذا القيد صالحًا. ومرة ​​أخرى، وفقًا لجميع التدفقات غير القابلة للانضغاط، يجب أن يكون انحراف الضغط صغيرًا مقارنةً بحالة الضغط الأساسية. ^{[ 2 ]}

تعتمد هذه الطرق على افتراضات مختلفة حول التدفق، لكنها جميعًا تأخذ في الاعتبار الشكل العام للقيد.${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$بالنسبة للوظائف العامة المعتمدة على التدفق${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$.

نظراً لطبيعة معادلات التدفق غير القابل للانضغاط المعقدة، فقد تم ابتكار تقنيات رياضية محددة لحلها. ومن بين هذه الطرق:

1. طريقة الإسقاط (التقريبية والدقيقة)
2. تقنية الانضغاط الاصطناعي (تقريبية)
3. التكييف المسبق للانضغاطية

• مبدأ برنولي
• معادلات أويلر (ديناميكا الموائع)
• التدفق متساوي الحجم
• معادلات نافيير-ستوكس