نظرية هيلبرت-بورش

في الرياضيات ، تصف نظرية هيلبرت-بورش بنية بعض الحلول الحرة لحاصل قسمة حلقة محلية أو متدرجة، وذلك في حالة كون البعد الإسقاطي لحاصل القسمة يساوي  2. وقد برهن هيلبرت ( 1890 ) على صيغة من هذه النظرية لحلقات كثيرات الحدود ، بينما برهن بورش ( 1968 ، ص 944) على صيغة أكثر عمومية. وفي وقت لاحق، أعاد العديد من المؤلفين اكتشاف هذه النظرية ونشروا صيغًا مختلفة منها. ويقدم آيزنبد (1995 ، النظرية 20.15) نصًا وبرهانًا لها.   

إذا كانت R حلقة محلية تحتوي على مثالي I و

${\displaystyle 0\rightarrow R^{m}{\stackrel {f}{\rightarrow }}R^{n}\rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0}$

إذا كان حلاً حراً للوحدة R / I ، فإن m = n – 1 ويكون المثالي I هو aJ حيث a عنصر منتظم من R و J ، وهو مثالي من العمق 2، هو المثالي الأول المناسب    ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{1}I}$من I ، أي المثالي الناتج عن محددات المحددات الصغرى ذات الحجم m لمصفوفة f .

• بورش، ليندسي (1968)، "حول المُثُل ذات البُعد الهومولوجي المحدود في الحلقات المحلية"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 64 (4): 941-948 ، doi : 10.1017/S0305004100043620 ، ISSN 0008-1981 ، MR 0229634 ، S2CID 123231429 ، Zbl 0172.32302    
• أيزنبد، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي: نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  150، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-94268-8، MR 1322960 ، Zbl 0819.13001  
• أيزنبد، ديفيد (2005)، هندسة الاقترانات: دورة ثانية في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  229، نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-22215-4، Zbl 1066.14001 
• هيلبرت ، ديفيد (1890)، “Ueber die Theorie der algebraischen Formen”، Mathematische Annalen (بالألمانية)، 36 (4): 473–534 ، دوى : 10.1007 / BF01208503 ، ISSN 0025-5831 ، JFM 22.0133.01 ، S2CID 179177713