حلقة محلية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، تُعرف الحلقات المحلية بأنها حلقات بسيطة نسبيًا، وتُستخدم لوصف ما يُسمى "السلوك المحلي"، بمعنى الدوال المعرفة على المتنوعات الجبرية أو المتشعبات ، أو حقول الأعداد الجبرية عند موضع معين ، أو عدد أولي. والجبر المحلي هو فرع من الجبر التبادلي يدرس الحلقات المحلية التبادلية ووحداتها .

من الناحية العملية، غالباً ما تنشأ حلقة محلية تبادلية نتيجة لتمركز حلقة عند مثالي أولي .

قدّم فولفغانغ كرول مفهوم الحلقات المحلية عام 1938 تحت اسم "Stellenringe" . [ 1 ] ويعود مصطلح " الحلقة المحلية" باللغة الإنجليزية إلى زاريسكي . [ 2 ]

التعريف والنتائج الأولية

تُعتبر الحلقة R حلقة محلية إذا كانت تمتلك أيًا من الخصائص المتكافئة التالية:

  • يمتلك R مثاليًا يساريًا أقصى فريدًا .
  • يمتلك R مثالاً مثالياً فريداً وأقصى لليمين.
  • 1 ≠ 0 ومجموع أي اثنين من غير الوحدات في R هو وحدة غير.
  • 1 ≠ 0 وإذا كان x أي عنصر من R ، فإن x أو 1 − x هو وحدة.
  • إذا كان المجموع المحدود وحدة، فإنه يحتوي على حد هو وحدة (وهذا يقول على وجه الخصوص أن المجموع الفارغ لا يمكن أن يكون وحدة، لذلك فهو يعني أن 1 ≠ 0).

إذا تحققت هذه الخصائص، فإن المثالي الأيسر الأقصى الوحيد يتطابق مع المثالي الأيمن الأقصى الوحيد ومع جذر جاكوبسون للحلقة . تنص الخاصية الثالثة المذكورة أعلاه على أن مجموعة العناصر غير الوحدوية في حلقة محلية تُشكل مثاليًا (حقيقيًا)، [ 3 ] مُضمنًا بالضرورة في جذر جاكوبسون. يمكن إعادة صياغة الخاصية الرابعة على النحو التالي: الحلقة R محلية إذا وفقط إذا لم يوجد مثاليان حقيقيان ( رئيسيان ) (يساريان) أوليان فيما بينهما ، حيث يُطلق على المثاليين I1 و I2 اسم مثاليين أوليان فيما بينهما إذا كان R = I1 + I2 .

في حالة الحلقات التبديلية ، لا داعي للتمييز بين المثاليّات اليسرى واليمنى والثنائية: فالحلقة التبديلية تكون محلية إذا وفقط إذا كان لها مثالي أعظمي وحيد. قبل عام ١٩٦٠ تقريبًا، اشترط العديد من الباحثين أن تكون الحلقة المحلية نوثرية (يسرى ويمنى) ، وكانت الحلقات المحلية (التي قد لا تكون نوثرية) تُسمى حلقات شبه محلية . في هذه المقالة، لا يُفرض هذا الشرط.

تُسمى الحلقة المحلية التي تمثل مجالًا تكامليًا بالمجال المحلي .

أمثلة

  • جميع الحقول ( والحقول المنحرفة ) هي حلقات محلية، لأن {0} هو المثالي الأقصى الوحيد في هذه الحلقات.
  • الخاتمZ/صنZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }هي حلقة محلية ( حيث p عدد أولي، و n ≥ 1 ). يتكون المثالي الأعظمي الوحيد من جميع مضاعفات p .
  • وبشكل عام، فإن الحلقة غير الصفرية التي يكون فيها كل عنصر إما عنصرًا محايدًا أو عنصرًا عديم القوة هي حلقة محلية.
  • تُعد حلقات التقييم المنفصلة فئة مهمة من الحلقات المحلية ، وهي عبارة عن مجالات مثالية رئيسية محلية ليست حقولاً.
  • الخاتمج[[x]]{\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}، التي عناصرها عبارة عن متسلسلات لانهائية∑أنا=0∞أأناxأنا{\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}حيث تُعطى عمليات الضرب بواسطة(∑أنا=0∞أأناxأنا)(∑أنا=0∞بأناxأنا)=∑أنا=0∞جأناxأنا{\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}بحيثجن=∑أنا+ج=نأأنابج{\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}، هي مجموعة محلية. يتكون مثاليها الأعظمي الوحيد من جميع العناصر غير القابلة للعكس. بعبارة أخرى، تتكون من جميع العناصر التي يكون حدها الثابت صفرًا.
  • وبشكل عام، كل حلقة من متسلسلات القوى الرسمية فوق حلقة محلية هي حلقة محلية؛ يتكون المثالي الأقصى من متسلسلات القوى ذات الحد الثابت في المثالي الأقصى للحلقة الأساسية.
  • وبالمثل، فإن جبر الأعداد الثنائية على أي حقل هو جبر محلي. وبشكل أعم، إذا كانت F حلقة محلية و n عددًا صحيحًا موجبًا، فإن حلقة القسمة F [ X ]/( Xn ) تكون محلية، ويكون مثاليها الأعظم مكونًا من فئات كثيرات الحدود ذات الحد الثابت التي تنتمي إلى المثالي الأعظم لـ F ، حيث يمكن استخدام متسلسلة هندسية لعكس جميع كثيرات الحدود الأخرى بتردد Xn . إذا كان F حقلًا، فإن عناصر F [ X ]/( Xn ) إما معدومة القوة أو قابلة للعكس . (الأعداد الثنائية على F تتوافق مع الحالة n = 2 ).
  • حلقات القسمة غير الصفرية للحلقات المحلية هي حلقات محلية.
  • حلقة الأعداد النسبية ذات المقام الفردي هي حلقة محلية؛ يتكون مثالها الأعظمي من الكسور ذات البسط الزوجي والمقام الفردي.Z(2){\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}، الأعداد الصحيحة المحددة عند 2.
  • وبشكل أكثر عمومية، بالنظر إلى أي حلقة تبديلية R وأي مثالي أولي P من R ، فإن تحديد موقع R عند P يكون محليًا؛ المثالي الأقصى هو المثالي الذي يولده P في هذا التحديد؛ أي أن المثالي الأقصى يتكون من جميع العناصر a / s حيث a ∈ P و s ∈ R - P.

أمثلة مضادة

  • حلقة كثيرات الحدودك[x]{\displaystyle K[x]}فوق حقلك{\displaystyle K}ليس محليًا، لأنx{\displaystyle x}و1-x{\displaystyle 1-x}هي ليست وحدات، لكن مجموعها وحدة.
  • حلقة الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }ليست محلية لأنها تمتلك مثالاً أعلى(ص){\displaystyle (p)}لكل عدد أوليص{\displaystyle p}.
  • Z{\displaystyle \mathbb {Z} }/( pq )Z{\displaystyle \mathbb {Z} }حيث p و q عددان أوليان مختلفان. كل من ( p ) و ( q ) مثاليان أعظميان هنا.

حلقة من الجراثيم

لتبرير تسمية هذه الحلقات بـ "المحلية"، نعتبر الدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية المعرفة على فترة مفتوحة حول0{\displaystyle 0}من خط الأعداد الحقيقية . نحن مهتمون فقط بسلوك هذه الدوال بالقرب من0{\displaystyle 0}(سلوكهم "المحلي")، وبالتالي سنحدد دالتين إذا اتفقتا على فترة مفتوحة (ربما صغيرة جدًا) حول0{\displaystyle 0}يُعرّف هذا التحديد علاقة تكافؤ ، وتُسمى فئات التكافؤ " بذور الدوال الحقيقية المتصلة عند".0{\displaystyle 0}". يمكن إضافة هذه الجراثيم وتكاثرها وتشكيل حلقة تبادلية."

لإثبات أن حلقة الجراثيم هذه محلية، نحتاج إلى تحديد خصائص عناصرها القابلة للانعكاس. جرثومةو{\displaystyle f}تكون قابلة للعكس إذا وفقط إذاو(0)≠0{\displaystyle f(0)\neq 0}والسبب: إذاو(0)≠0{\displaystyle f(0)\neq 0}إذن، بحسب خاصية الاستمرارية، توجد فترة مفتوحة حول0{\displaystyle 0}أينو{\displaystyle f}وهي غير صفرية، ويمكننا تكوين الدالةز(x)=1و(x){\displaystyle g(x)={\frac {1}{f(x)}}}في هذه الفترة. الدالةز{\displaystyle g}يُنتج جرثومة، ونتاجوز{\displaystyle fg}يساوي1{\displaystyle 1}(على العكس من ذلك، إذاو{\displaystyle f}إذا كان قابلاً للعكس، فإنه يوجد بعضز{\displaystyle g}بحيثو(0)ز(0)=1{\displaystyle f(0)g(0)=1}، لذلكو(0)≠0{\displaystyle f(0)\neq 0}.)

بناءً على هذا التوصيف، يتضح أن مجموع أي جرثومتين غير قابلتين للعكس هو أيضاً غير قابل للعكس، وبالتالي لدينا حلقة محلية تبديلية. يتكون المثالي الأعظمي لهذه الحلقة تحديداً من هاتين الجرثومتين.و{\displaystyle f}معو(0)=0{\displaystyle f(0)=0}.

تنطبق نفس الحجج تمامًا على حلقة جراثيم الدوال الحقيقية المتصلة على أي فضاء طوبولوجي عند نقطة معينة، أو حلقة جراثيم الدوال القابلة للتفاضل على أي مشعب قابل للتفاضل عند نقطة معينة، أو حلقة جراثيم الدوال الكسرية على أي تنوع جبري عند نقطة معينة. لذا، فإن جميع هذه الحلقات محلية. تساعد هذه الأمثلة في تفسير سبب تعريف المخططات ، وهي تعميمات للتنوعات، على أنها فضاءات حلقية محلية خاصة .

نظرية التقييم

تلعب الحلقات المحلية دورًا رئيسيًا في نظرية التقييم. بحسب التعريف، حلقة التقييم لحقل K هي حلقة جزئية R بحيث يكون لكل عنصر غير صفري x من K ، يوجد على الأقل عنصر واحد من x أو x − 1 في R. أي حلقة جزئية من هذا النوع ستكون حلقة محلية. على سبيل المثال، حلقة الأعداد النسبية ذات المقام الفردي (المذكورة أعلاه) هي حلقة تقييم في سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }.

بالنظر إلى حقل K ، الذي قد يكون حقل دوال أو لا ، يمكننا البحث عن حلقات محلية فيه. إذا كان K بالفعل حقل دوال لمتنوعة جبرية V ، فإنه لكل نقطة P من V، يمكننا محاولة تعريف حلقة تقييم R للدوال "المعرفة عند" P. في الحالات التي يكون فيها V ذا بُعد 2 أو أكثر، توجد صعوبة تُرى على النحو التالي: إذا كانت F و G دالتين كسريتين على V مع

F ( P ) = G ( P ) = 0,

الوظيفة

F / G

هي صيغة غير محددة عند النقطة P. لنأخذ مثالاً بسيطاً، مثل:

ص / س ،

اقتربوا على طول خط

Y = tX ,

يتضح أن القيمة عند النقطة P هي مفهوم ليس له تعريف بسيط. ويتم استبدالها باستخدام التقييمات.

غير تبادلي

تنشأ الحلقات المحلية غير التبادلية بشكل طبيعي كحلقات تشاكل داخلي في دراسة تحليلات المجموع المباشر للوحدات النمطية على حلقات أخرى. تحديدًا، إذا كانت حلقة التشاكل الداخلي للوحدة النمطية M محلية، فإن M غير قابلة للتحليل ؛ وعلى العكس، إذا كانت الوحدة النمطية M ذات طول محدود وغير قابلة للتحليل، فإن حلقة التشاكل الداخلي الخاصة بها محلية.

إذا كان k حقلًا مميزًا p > 0 و G عبارة عن مجموعة p منتهية ، فإن جبر المجموعة kG محلي.

بعض الحقائق والتعريفات

الحالة التبادلية

نكتب أيضًا ( R , m ) للدلالة على حلقة محلية تبديلية R ذات مثالي أعظمي m . تصبح كل حلقة من هذا النوع حلقة طوبولوجية بطريقة طبيعية إذا اعتبرنا قوى m أساسًا للجوار 0. هذه هي الطوبولوجيا m -adic على R. إذا كانت ( R , m ) حلقة محلية تبديلية نوثرية ، فإن

⋂أنا=1∞مأنا={0}{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}}

( نظرية كرول للتقاطع )، ويترتب على ذلك أن R مع الطوبولوجيا m -adic هو فضاء هاوسدورف . تُعدّ هذه النظرية نتيجةً لفرضية آرتين-ريس بالإضافة إلى فرضية ناكاياما ، ولذا فإنّ فرضية "نوثرية" أساسية. في الواقع، ليكن R حلقة جراثيم الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود عند 0 في خط الأعداد الحقيقية، وليكن m المثالي الأعظمي.(x){\displaystyle (x)}ثم دالة غير صفريةهـ-1x2{\displaystyle e^{-{1 \over x^{2}}}}ينتمي إلىمن{\displaystyle m^{n}}لأي قيمة لـ n ، لأن تلك الدالة مقسومة علىxن{\displaystyle x^{n}}لا يزال الوضع سلساً.

بالنسبة لأي حلقة طوبولوجية، يمكن التساؤل عما إذا كانت ( R , m ) كاملة ( كفضاء منتظم )؛ إذا لم تكن كذلك، يُنظر في اكتمالها ، وهي أيضاً حلقة محلية. تُصنف الحلقات المحلية النويثرية الكاملة بواسطة نظرية بنية كوهين .

في الهندسة الجبرية ، وخاصة عندما تكون R هي الحلقة المحلية لمخطط عند نقطة ما P ، فإن R / m تسمى حقل البقايا للحلقة المحلية أو حقل البقايا للنقطة P.

إذا كانت ( R , m ) و ( S , n ) حلقتين محليتين، فإنّ التماثل الحلقي المحلي من R إلى S هو تماثل حلقي f  : R → S يحقق الخاصية f ( m ) ⊆ n . [ 4 ] وهذه تحديدًا هي التماثلات الحلقية المتصلة بالنسبة للطوبولوجيات المعطاة على R و S. على سبيل المثال، لننظر إلى التماثل الحلقيج[x]/(x3)→ج[x،y]/(x3،x2y،y4){\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}إرسالx↦x{\displaystyle x\mapsto x}الصورة الأصلية لـ(x،y){\displaystyle (x,y)}يكون(x){\displaystyle (x)}مثال آخر على تشاكل الحلقة الموضعي هو:ج[x]/(x3)→ج[x]/(x2){\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}.

الحالة العامة

يتألف جذر جاكوبسون m لحلقة محلية R (وهو يساوي المثالي الأيسر الأقصى الوحيد، وكذلك المثالي الأيمن الأقصى الوحيد) تحديدًا من العناصر غير الوحدوية في الحلقة؛ علاوة على ذلك، فهو المثالي الثنائي الجانب الأقصى الوحيد في R. مع ذلك، في حالة عدم التبديل، فإن امتلاك مثالي ثنائي الجانب أقصى وحيد لا يكافئ كون العنصر محليًا. [ 5 ]

بالنسبة لعنصر x من الحلقة المحلية R ، فإن ما يلي متكافئ:

  • لـ x معكوس يساري
  • لـ x معكوس يميني
  • x قابل للعكس
  • x ليس في m .

إذا كانت ( R , m ) محلية، فإن حلقة العوامل R / m هي حقل منحرف . وإذا كان J ≠ R أي مثالي ثنائي الجانب في R ، فإن حلقة العوامل R / J ​​تكون محلية أيضًا، مع مثالي أقصى m / J .

تنص نظرية عميقة لإيرفينغ كابلانسكي على أن أي وحدة إسقاطية على حلقة محلية تكون حرة ، مع أن حالة كون الوحدة مولدة نهائيًا هي نتيجة مباشرة لفرضية ناكاياما . ولهذا تبعة مثيرة للاهتمام فيما يتعلق بتكافؤ موريتا . أي، إذا كانت P وحدة إسقاطية مولدة نهائيًا على R ، فإن P متماثلة مع الوحدة الحرة Rⁿ ، وبالتالي مع حلقة التشكلات الداخلية.هـندR(P){\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}متماثل مع الحلقة الكاملة للمصفوفاتمن(R){\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}بما أن كل حلقة موريتا مكافئة للحلقة المحلية R تكون على الشكلهـندR(P){\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}بالنسبة لمثل هذا P ، فإن الاستنتاج هو أن الحلقات الوحيدة المكافئة لموريتا لحلقة محلية R هي (متماثلة مع) حلقات المصفوفة فوق R.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كرول، فولفغانغ (1938). "نظرية الأبعاد في حلقات ستيلين". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية (بالألمانية). 1938 (179): 204. doi : 10.1515/crll.1938.179.204 . S2CID 115691729 . 
  2. ↑ زاريسكي، أوسكار (مايو 1943). "أسس نظرية عامة للتوافقات الثنائية" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 53 ( 3). الجمعية الأمريكية للرياضيات: 490-542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR 1990215 . 
  3. ↑ لام (2001)، ص 295، نظرية 19.1.
  4. ↑ "Tag 07BI" .
  5. ↑ على سبيل المثال، تحتوي المصفوفات 2 × 2 على حقل ما على مثالي أقصى فريد {0}، ولكن لديها مثاليات يمين ويسار قصوى متعددة.

مراجع

  • لام، تي واي (2001). مدخل إلى الحلقات غير التبادلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-95183-0.
  • جاكوبسون، ناثان (2009). الجبر الأساسي . المجلد  2 (  الطبعة الثانية). دوفر. ISBN 978-0-486-47187-7.