الاستدلال (الجبر)

بافتراض وجود وحدة نمطية${\displaystyle M}$فوق خاتم${\displaystyle R}$، دقة يسارية (أو ببساطة دقة ) من${\displaystyle M}$هي سلسلة تامة (ربما لا نهائية) من${\displaystyle R}$-الوحدات

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

التشاكلات${\displaystyle d_{i}}$تُسمى هذه الخرائط بالخرائط الحدودية.${\displaystyle \varepsilon }$تُسمى هذه الخريطة خريطة التوسيع . وللاختصار، يمكن كتابة الحل أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

المفهوم المزدوج هو مفهوم الحل الصحيح (أو الحل المشترك ، أو ببساطة الحل ). على وجه التحديد، بالنظر إلى وحدة نمطية${\displaystyle M}$فوق خاتم${\displaystyle R}$الحل الصحيح هو سلسلة دقيقة لا نهائية محتملة من${\displaystyle R}$-الوحدات

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots،}$

حيث كل${\displaystyle C^{i}}$هو${\displaystyle R}$-وحدة (من الشائع استخدام رموز مرتفعة على الكائنات في الحل والخرائط بينها للإشارة إلى الطبيعة المزدوجة لهذا الحل). وللاختصار، يمكن كتابة الحل أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

يُقال إن التحليل (المشترك) محدود إذا كان عدد محدود فقط من الوحدات المشاركة فيه غير صفري. طول التحليل المحدود هو أقصى فهرس${\displaystyle n}$تسمية وحدة غير صفرية في الدقة المحدودة.

في كثير من الحالات، تُفرض شروط على الوحدات النمطية${\displaystyle E_{i}}$حل الوحدة النمطية المعطاة${\displaystyle M}$على سبيل المثال، دقة مجانية لوحدة نمطية${\displaystyle M}$هو حل يساري حيث جميع الوحدات${\displaystyle E_{i}}$مجانية​${\displaystyle R}$-الوحدات. وبالمثل، فإن الدقة الإسقاطية والمسطحة هي دقة يسارية بحيث تكون جميع${\displaystyle E_{i}}$ هي إسقاطية ومسطحة​${\displaystyle R}$-وحدات، على التوالي. الحلول الحقنية هي حلول يمينية${\displaystyle C^{i}}$جميعها وحدات حقنية .

كل${\displaystyle R}$يمتلك النموذج -module تحليلًا يساريًا حرًا. ^{[ 3 ]} من باب أولى ، يقبل كل نموذج أيضًا تحليلات إسقاطية ومسطحة. وتتلخص فكرة البرهان في تعريف ${\displaystyle E_{0}}$أن تكون حراً${\displaystyle R}$- وحدة تم إنشاؤها بواسطة عناصر${\displaystyle M}$، وثم${\displaystyle E_{1}}$أن تكون حراً${\displaystyle R}$- وحدة مولدة بواسطة عناصر نواة الخريطة الطبيعية${\displaystyle E_{0}}$→${\displaystyle M}$إلخ. بالمثل، كل${\displaystyle R}$يمتلك -module تحليلًا أحاديًا. يمكن استخدام التحليلات الإسقاطية (وبشكل أعم، التحليلات المسطحة) لحساب دوال Tor .

الدقة الإسقاطية للوحدة${\displaystyle M}$يكون فريدًا حتى تماثل السلسلة ، أي، بالنظر إلى تحليلين إسقاطيين${\displaystyle P_{0}\to M}$و${\displaystyle P_{1}\to M}$ل${\displaystyle M}$توجد بينهما سلسلة متماثلة.

تُستخدم الحلول لتحديد الأبعاد الهومولوجي . الحد الأدنى لطول الحل الإسقاطي المحدود لوحدة نمطية${\displaystyle M}$يُطلق عليه بُعده الإسقاطي ويُرمز له بـ${\displaystyle {\text{P-}}\dim(M)}$على سبيل المثال، يكون للوحدة بُعد إسقاطي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت وحدة إسقاطية.${\displaystyle M}$إذا لم تقبل حلقة محلية تبديلية تحليلًا إسقاطيًا محدودًا، فإن البعد الإسقاطي يكون لانهائيًا. على سبيل المثال، بالنسبة لحلقة محلية تبديلية${\displaystyle R}$يكون البعد الإسقاطي محدودًا إذا وفقط إذا${\displaystyle R}$منتظم ، وفي هذه الحالة يتطابق مع بُعد كرول الخاص بـ${\displaystyle R}$وبالمثل، البعد الحقني${\displaystyle {\text{I-}}\dim(M)}$والبعد المسطح${\displaystyle {\text{F-}}\dim(M)}$يتم تعريفها للوحدات النمطية أيضًا.

تُستخدم الأبعاد الحقنية والإسقاطية في فئة اليمين${\displaystyle R}$-وحدات لتحديد بُعد تماثلي لـ${\displaystyle R}$يُطلق عليه البعد العالمي الصحيح لـ${\displaystyle R}$وبالمثل، يُستخدم البُعد المسطح لتعريف البُعد العالمي الضعيف . ويعكس سلوك هذه الأبعاد خصائص الحلقة. فعلى سبيل المثال، يكون البُعد العالمي الأيمن للحلقة صفرًا إذا وفقط إذا كانت حلقة شبه بسيطة ، ويكون البُعد العالمي الضعيف للحلقة صفرًا إذا وفقط إذا كانت حلقة فون نيومان منتظمة .

ليكن M وحدة نمطية متدرجة على جبر متدرج ، مُولَّدة على حقل بواسطة عناصرها ذات الدرجة الموجبة. عندئذٍ، _يمتلك M حلاً حراً يمكن فيه تدرج الوحدات النمطية الحرة Eᵢ بحيث تكون dᵢ و ε دوال خطية متدرجة . من بين هذه الحلول الحرة المتدرجة، تكون الحلول الحرة الدنيا هي تلك التي _يكون فيها عدد عناصر الأساس لكل Eᵢ في _حده الأدنى. ويكون عدد عناصر الأساس لكل Eᵢ ودرجاتها متطابقاً لجميع الحلول الحرة الدنيا للوحدة النمطية المتدرجة _.

إذا كان I مثاليًا متجانسًا في حلقة متعددة الحدود على حقل، فإن انتظام كاستلنوفو-مومفورد للمجموعة الجبرية الإسقاطية المعرفة بواسطة I هو العدد الصحيح الأدنى r بحيث تكون درجات عناصر الأساس لـ E _i في حل حر أدنى لـ I جميعها أقل من ri .

يُعطى مثال كلاسيكي على الحل الحر بواسطة مركب كوزول لتسلسل منتظم في حلقة محلية أو لتسلسل منتظم متجانس في جبر متدرج مولد بشكل نهائي على حقل.

ليكن X فضاءً غير كروي ، أي أن غطائه الشامل E قابل للانكماش . عندئذٍ يكون كل مركب سلسلة مفرد (أو تبسيطي ) من E هو حل حر للوحدة النمطية Z ليس فقط على الحلقة Z ولكن أيضًا على حلقة المجموعة Z [ π ₁ ( X )].

تُعدّ الفئات مثالاً على فئات أبيلية بدون حلول إسقاطية.${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$من الحزم المتماسكة على مخطط${\displaystyle X}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$الفضاء الإسقاطي، أي حزمة متماسكة${\displaystyle {\mathcal {M}}}$على${\displaystyle X}$يتم تقديم العرض بتسلسل دقيق

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

الحدان الأولان ليسا إسقاطيين بشكل عام لأن${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$ل${\displaystyle s>0}$لكن كلا الحدين حران محليًا ومسطحان محليًا. ويمكن استخدام كلا نوعي الحزم في مكانهما لإجراء بعض العمليات الحسابية، ليحلا محل التحليلات الإسقاطية لحساب بعض الدوال المشتقة.