مسألة هيلبرت الثانية والعشرون

تُعدّ مسألة هيلبرت الثانية والعشرون هي المسألة قبل الأخيرة في قائمة مسائل هيلبرت الشهيرة المكونة من 23 مسألة ، والتي جمعها ديفيد هيلبرت عام 1900. وتتضمن هذه المسألة توحيد العلاقات التحليلية باستخدام الدوال الذاتية الشكل .

نص المسألة الأصلية بالكامل هو كما يلي:

كما أثبت بوانكاريه أولاً، من الممكن دائمًا اختزال أي علاقة جبرية بين متغيرين إلى علاقة منتظمة باستخدام الدوال الذاتية لمتغير واحد. أي، إذا عُطِلَت أي معادلة جبرية بمتغيرين، فإنه يمكن دائمًا إيجاد دالتين ذاتيتين أحاديتي القيمة لمتغير واحد، بحيث يؤدي استبدالهما إلى تحويل المعادلة الجبرية المعطاة إلى معادلة متطابقة. وقد حاول بوانكاريه أيضًا تعميم هذه النظرية الأساسية على أي علاقة تحليلية غير جبرية بين متغيرين، وقد نجح في ذلك، وإن كان بطريقة مختلفة تمامًا عن تلك التي استخدمها في المسألة الخاصة المذكورة سابقًا. مع ذلك، من برهان بوانكاريه على إمكانية اختزال أي علاقة تحليلية بين متغيرين إلى علاقة منتظمة، لا يتضح ما إذا كان من الممكن تحديد الدوال المُختزِلة بحيث تستوفي شروطًا إضافية معينة. بمعنى آخر، لم يُبين ما إذا كان بالإمكان اختيار الدالتين أحاديتي القيمة للمتغير الجديد بحيث يتم الوصول إلى جميع النقاط المنتظمة للحقل التحليلي المعطى وتمثيلها فعليًا أثناء مرور هذا المتغير عبر المجال المنتظم لهاتين الدالتين. بل على العكس، يبدو من دراسات بوانكاريه أن هناك، إلى جانب نقاط التفرع، نقاطًا أخرى، بل عددًا لا نهائيًا من النقاط الاستثنائية المنفصلة للحقل التحليلي، لا يمكن الوصول إليها إلا بجعل المتغير الجديد يقترب من نقاط حدية معينة للدوال. ونظرًا للأهمية الجوهرية لصياغة بوانكاريه لهذه المسألة، أرى أن توضيح هذه الصعوبة وحلها أمرٌ في غاية الأهمية.

بالتزامن مع هذه المشكلة، تبرز مشكلة اختزال العلاقة الجبرية أو أي علاقة تحليلية أخرى بين ثلاثة متغيرات مركبة أو أكثر إلى علاقة موحدة، وهي مشكلة معروفة بإمكانية حلها في العديد من الحالات الخاصة. وفي سبيل حل هذه المشكلة، تُعتبر الدراسات الحديثة التي أجراها بيكارد حول الدوال الجبرية لمتغيرين دراسات تمهيدية هامة ومرحب بها. ^{[ 1 ]}

أثبت كوبي نظرية التوحيد العامة التي تنص على أنه إذا كان سطح ريمان متماثلًا مع مجموعة فرعية مفتوحة من الكرة المعقدة (أو بشكل مكافئ إذا فصل كل منحنى جوردان بينها)، فإنه يكون مكافئًا توافقيًا لمجموعة فرعية مفتوحة من الكرة المعقدة.

هذه المشكلة لا تزال مفتوحة. ^{[ 2 ]} وقد أحرز غريفيث وبيرس بعض التقدم.

• بيرس، ليبمان (1976). "حول مسألة هيلبرت الثانية والعشرين". في: فيليكس إي. براودر (محرر). التطورات الرياضية الناشئة عن مسائل هيلبرت . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة . المجلد  28.2. الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 559-609 . ISBN  0-8218-1428-1.