مشاكل هيلبرت

الموسوعة الحرة

ديفيد هيلبرت

مسائل هيلبرت هي 23 مسألة في الرياضيات نشرها عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت عام 1900. كانت جميعها غير محلولة آنذاك، وقد أثبت بعضها تأثيرًا بالغًا على الرياضيات في القرن العشرين. عرض هيلبرت عشرًا من هذه المسائل (1، 2، 6، 7، 8، 13، 16، 19، 21، و22) في مؤتمر باريس للمؤتمر الدولي للرياضيات ، وذلك في  8 أغسطس/آب في جامعة السوربون  . نُشرت القائمة الكاملة للمسائل الـ 23 لاحقًا، وتُرجمت إلى الإنجليزية عام 1902 على يد ماري فرانسيس وينستون نيوسون في نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . [ 1 ] ظهرت منشورات سابقة (باللغة الألمانية الأصلية) في أرشيف الرياضيات والفيزياء . [ 2 ]

من بين مسائل هيلبرت المصاغة بوضوح: المسائل 3، 6 أ ، 7 ، 10، 11، 14، 17، 18، 19، و21 لها حلول مقبولة بإجماع المجتمع الرياضي. أما المسائل 1، 2، 5، 6ب، 8ج، 13، و15، فوضعها مثير للجدل: إذ توجد بعض النتائج، ولكن ثمة خلاف حول ما إذا كانت تحل المسائل. أما المسائل 8أ، 8ب، 9، 12، 16، 20، و22، فهي غير محلولة أو يُجمع على أنها غير محلولة على نطاق واسع رغم وجود بعض النتائج الجزئية. وتُعتبر المسألتان 4 و23 غامضتين للغاية بحيث لا يمكن وصفهما بأنهما محلولتان؛ وينطبق الأمر نفسه على المسألة 24 المسحوبة.

قائمة مسائل هيلبرت

فيما يلي عناوين  مسائل هيلبرت الـ 23 كما ظهرت في ترجمة عام 1902 لعرض هيلبرت، المنشورة في نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . [ 1 ]

  1. مشكلة كانتور المتعلقة بالعدد الأصلي للمتصل.
  2. توافق البديهيات الحسابية.
  3. تطابق المقص للأشكال متعددة الأوجه ذات الأحجام المتساوية.
  4. مشكلة الخط المستقيم باعتباره أقصر مسافة بين نقطتين.
  5. مفهوم لي عن مجموعة متصلة من التحويلات دون افتراض قابلية تفاضل الدوال التي تحدد المجموعة.
  6. المعالجة الرياضية لبديهيات الفيزياء.
  7. اللاعقلانية وتجاوز بعض الأرقام.
  8. مسائل الأعداد الأولية.
  9. إثبات القانون الأكثر عمومية للتبادلية في أي حقل عددي.
  10. تحديد قابلية حل معادلة ديوفانتية .
  11. الأشكال التربيعية ذات المعاملات العددية الجبرية.
  12. امتدادات لنظرية كرونكر حول الحقول الأبيلية إلى أي مجال جبري للعقلانية.
  13. استحالة حل المعادلة العامة من  الدرجة السابعة باستخدام دوال ذات وسيطين فقط.
  14. إثبات محدودية بعض الأنظمة الكاملة للدوال.
  15. الأساس الدقيق لحساب التعداد عند شوبرت .
  16. مشكلة طوبولوجيا المنحنيات والأسطح الجبرية.
  17. التعبير عن الأشكال المحددة بالمربعات.
  18. بناء الفضاء من متعددات السطوح المتطابقة.
  19. هل حلول المسائل العادية في حساب التفاضل والتكامل تحليلية بالضرورة؟
  20. المشكلة العامة للقيم الحدية .
  21. إثبات وجود المعادلات التفاضلية الخطية التي لها مجموعة أحادية محددة .
  22. توحيد العلاقات التحليلية عن طريق الدوال الذاتية الشكل .
  23. تطوير أساليب حساب التفاضل والتكامل .

المشكلة الرابعة والعشرون

كان لدى هيلبرت في الأصل 24 مشكلة في قائمته، لكنه قرر عدم إدراج إحداها في القائمة المنشورة. وقد أعيد اكتشاف "المشكلة الرابعة والعشرون" (في نظرية البرهان ، حول معيار البساطة والأساليب العامة) في ملاحظات مخطوطة هيلبرت الأصلية من قبل المؤرخ الألماني روديجر ثيل في عام 2000. [ 3 ]

طبيعة المشاكل وتأثيرها

تنوعت مسائل هيلبرت بشكل كبير من حيث الموضوع والدقة. بعضها، كالمسألة الثالثة التي كانت أول مسألة تُحل، أو المسألة الثامنة ( فرضية ريمان ) التي لا تزال دون حل، عُرضت بدقة كافية لإتاحة إجابة واضحة بالإيجاب أو النفي. أما مسائل أخرى، كالمسألة الخامسة، فقد اتفق الخبراء تقليديًا على تفسير واحد، وقُدِّم حل لهذا التفسير، لكن توجد مسائل أخرى وثيقة الصلة لم تُحل. لم تكن بعض عبارات هيلبرت دقيقة بما يكفي لتحديد مسألة معينة، لكنها كانت موحية بما يكفي بحيث تبدو بعض المسائل المعاصرة قابلة للتطبيق؛ فعلى سبيل المثال، من المرجح أن يرى معظم علماء نظرية الأعداد المعاصرين أن المسألة التاسعة تشير إلى تناظر لانجلاندز التخميني حول تمثيلات زمرة غالوا المطلقة لحقل عددي . [ 4 ] وتتعلق مسائل أخرى، كالمسألة الحادية عشرة والسادسة عشرة، بفروع رياضية مزدهرة، مثل نظريات الأشكال التربيعية والمنحنيات الجبرية الحقيقية .

هناك مشكلتان ليستا فقط دون حل، بل قد تكونان في الواقع غير قابلتين للحل وفقًا للمعايير الحديثة. تتعلق المشكلة السادسة بوضع بديهيات الفيزياء ، وهو هدف يبدو أن تطورات القرن العشرين قد جعلته أكثر بعدًا وأقل أهمية مما كان عليه في زمن هيلبرت. أما المشكلة الرابعة فتتعلق بأسس الهندسة ، بطريقة تُعتبر عمومًا غامضة للغاية بحيث لا تسمح بإيجاد إجابة قاطعة.

وضع هيلبرت المسألة الثالثة والعشرين عمدًا كمؤشر عام لتسليط الضوء على حساب التفاضل والتكامل التغيري باعتباره مجالًا غير مُقدَّر حق قدره وغير مدروس بشكل كافٍ. وفي المحاضرة التي قدم فيها هذه المسائل، أدلى هيلبرت بالملاحظة التمهيدية التالية للمسألة الثالثة والعشرين:

حتى الآن، تطرقتُ عمومًا إلى مسائل محددة ومميزة قدر الإمكان، انطلاقًا من قناعتي بأن هذه المسائل المحددة والمميزة هي التي تجذبنا أكثر من غيرها، والتي غالبًا ما يكون لها التأثير الأعمق والأكثر ديمومة على العلم. ومع ذلك، أود أن أختتم بمسألة عامة، ألا وهي الإشارة إلى فرع من فروع الرياضيات ذُكر مرارًا في هذه المحاضرة، والذي، على الرغم من التقدم الكبير الذي أحرزه فيه فايرشتراس مؤخرًا، لا يحظى بالتقدير العام الذي يستحقه في رأيي، وأعني بذلك حساب التفاضل والتكامل التغيري.

حظيت المسائل العشرون الأخرى باهتمام كبير، وحتى أواخر القرن العشرين، كان العمل على هذه المسائل يُعتبر ذا أهمية بالغة. حصل بول كوهين على ميدالية فيلدز عام ١٩٦٦ لعمله على المسألة الأولى، كما حظي الحل السلبي للمسألة العاشرة عام ١٩٧٠ على يد يوري ماتياسيفيتش (مكملاً بذلك عمل جوليا روبنسون وهيلاري بوتنام ومارتن ديفيس ) بإشادة مماثلة. ولا تزال جوانب من هذه المسائل تحظى باهتمام كبير.

إمكانية المعرفة

اقتداءً بجوتلوب فريجه وبرتراند راسل ، سعى هيلبرت إلى تعريف الرياضيات منطقيًا باستخدام منهج الأنظمة الصورية ، أي البراهين المحدودة من مجموعة متفق عليها من البديهيات . [ 5 ] كان أحد الأهداف الرئيسية لبرنامج هيلبرت هو تقديم برهان محدود على اتساق بديهيات الحساب: وهذه هي مشكلته الثانية. [ ب ]

مع ذلك، تُعطي نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل معنىً دقيقًا يجعل إثبات اتساق الحساب بهذه الطريقة المحدودة مستحيلاً. عاش هيلبرت 12  عامًا بعد أن نشر كورت غودل نظريته، لكن لا يبدو أنه كتب أي رد رسمي على عمل غودل. [ ج ] [ د ]

لا تسأل المسألة العاشرة لهيلبرت عما إذا كان هناك خوارزمية لتحديد قابلية حل المعادلات الديوفانتية ، بل تسأل عن بناء مثل هذه الخوارزمية: "ابتكار عملية يمكن من خلالها تحديد ما إذا كانت المعادلة قابلة للحل في الأعداد الصحيحة النسبية في عدد محدود من العمليات ". إن حل هذه المسألة بإثبات استحالة وجود مثل هذه الخوارزمية يتناقض مع فلسفة هيلبرت في الرياضيات.

عند مناقشة رأيه القائل بأن لكل مسألة رياضية حلاً، أقرّ هيلبرت بإمكانية أن يكون الحل برهانًا على استحالة المسألة الأصلية. [ هـ ] وذكر أن الهدف هو معرفة الحل، سواءً أكان ذلك صحيحًا أم لا، وكان يعتقد أننا نستطيع دائمًا معرفة ذلك، وأنه لا يوجد في الرياضيات ما يُسمى بـ" الجهل المطلق " (أي عبارة لا يمكن معرفة صحتها أبدًا). ​​[ و ] ويبدو غير واضح ما إذا كان سيعتبر حل المسألة العاشرة مثالًا على الجهل المطلق.

من ناحية أخرى، فإن وضع المسألتين الأولى والثانية أكثر تعقيداً: فلا يوجد إجماع رياضي واضح حول ما إذا كانت نتائج غودل (في حالة المسألة الثانية)، أو غودل وكوهين (في حالة المسألة الأولى) تعطي حلولاً سلبية نهائية أم لا، لأن هذه الحلول تنطبق على صياغة معينة للمسألتين، وهي ليست بالضرورة الصياغة الوحيدة الممكنة. [ g ]

جدول المسائل

تُدرج أدناه مسائل هيلبرت الثلاث والعشرون، بالإضافة إلى المسألة الرابعة والعشرين غير المنشورة. للاطلاع على تفاصيل الحلول والمراجع، يُرجى مراجعة المقالات المذكورة في العمود الأول.

مشكلةشرح موجزحالةتم حل المشكلة في العام
الأولفرضية الاستمرارية (أي أنه لا توجد مجموعة يكون عدد عناصرها بين عدد عناصر الأعداد الصحيحة وعدد عناصر الأعداد الحقيقية )أثبت بول كوهين أن هذه الفرضية يستحيل إثباتها أو دحضها ضمن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، سواءً مع أو بدون بديهية الاختيار (شريطة أن تكون نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات متسقة ، أي لا تحتوي على تناقض). [ 8 ] [ 9 ] ولا يوجد إجماع حول ما إذا كان هذا حلاً للمشكلة.1940، 1963؟
الثانيأثبت أن بديهيات الحساب متسقة .​لا يوجد إجماع حول ما إذا كانت نتائج غودل وجنتزن تُقدّم حلاً للمشكلة كما طرحها هيلبرت. تُبيّن نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل ، التي أُثبتت عام ١٩٣١، أنه لا يُمكن إجراء مثل هذا البرهان داخل علم الحساب نفسه. وقد أثبت جنتزن عام ١٩٣٦ أن اتساق علم الحساب ينبع من سلامة أساس الترتيب ε₀ . 1931، 1936؟
الثالثإذا افترضنا وجود شكلين متعددي الأوجه متساويين في الحجم، فهل من الممكن دائمًا تقسيم الشكل الأول إلى عدد محدود من القطع متعددة الأوجه التي يمكن إعادة تجميعها للحصول على الشكل الثاني؟تم الحل. النتيجة: لا، وقد أثبت ذلك ماكس دين باستخدام ثوابت دين . حتى المجسمات الأفلاطونية المختلفة ذات الحجم المتساوي لا يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة من بعضها البعض.1900
الرابعبناء الأشكال الهندسية التي تحقق بديهيات الهندسة الكلاسيكية، حيث تكون الخطوط هي خطوط جيوديسية .غامض للغاية بحيث لا يمكن تحديد ما إذا كان قد تم حله أم لا. [ ح ]غير متوفر
الخامسهل المجموعات المتصلة هي بالضرورة مجموعات تفاضلية ؟يعتمد ذلك على تفسير "المجموعة المتصلة".

إذا تم فهم المصطلح على أنه مجموعة طوبولوجية هي أيضًا متعددة الشعب الطوبولوجية : نعم، تم إثبات ذلك بواسطة أندرو جليسون . [ 10 ]

إذا تم فهم "المجموعة المتصلة" على أنها مجموعة طوبولوجية تعمل على متعدد الشعب، فإن المشكلة تصبح حدسية هيلبرت-سميث ، والتي لا تزال غير محلولة.

1953؟
السادسالمعالجة الرياضية لبديهيات الفيزياء . في شرح لاحق قدمه هيلبرت: [ 1 ]

(أ) المعالجة البديهية للاحتمالات مع نظريات النهايات كأساس للفيزياء الإحصائية

(ب) النظرية الصارمة للعمليات الحدية "التي تؤدي من النظرة الذرية إلى قوانين حركة الأوساط المتصلة"

(أ) تم حلها. تم قبول بديهيات كولموغوروف كأساس لنظرية الاحتمالات.

1933

(ب) يعتمد على تفسير المشكلة.

إذا ما تم التعامل معها كمشكلة فيزيائية: فمنذ نشر قائمة هيلبرت، تحدّت اكتشافات جديدة الميكانيكا الكلاسيكية وأدت إلى صياغة نظرية الحقل الكمومي ، التي تتبنى "نظرة ذرية" للقوانين الفيزيائية؛ والنسبية العامة ، التي تصف "حركة الأوساط المتصلة" على نطاقات واسعة. وعلى الرغم من المحاولات العديدة لتوحيدهما في نظرية شاملة ، فإنه لا يزال من غير الواضح كيفية الربط بينهما بشكل واضح.

حاول بعض الباحثين حلّ هذه المسألة رياضيًا ضمن إطار الميكانيكا الكلاسيكية، التي كانت النظرية الفيزيائية السائدة وقت نشر القائمة. في مارس 2025، نشر دينغ وهاني وما ورقة بحثية زعموا فيها حلّ هذه المسألة من خلال اشتقاق معادلات الموائع المتصلة ومعادلات بولتزمان من قوانين نيوتن المطبقة على الجسيمات. [ 11 ] تخضع الورقة حاليًا لمراجعة الأقران. [ 12 ]

2025؟
السابعهل a b متسامي ، بالنسبة للأعداد الجبرية a ≠ 0,1 والأعداد الجبرية غير النسبية b  ؟تم الحل. النتيجة: نعم، كما هو موضح في نظرية جيلفوند-شنايدر .1934
الثامن(أ) فرضية ريمان : الجزء الحقيقي لأي صفر غير تافه لدالة زيتا لريمان هو 1 ⁄ 2 .غير محلول . تتضمن النتائج الجزئية تقديرات أضعف بكثير مفادها أن جميع الأصفار غير التافهة تقريبًا لها جزء حقيقي قريب بشكل تعسفي من 1/2 ، وأن 5/12 على الأقل من الأصفار غير التافهة لها جزء حقيقي يساوي 1/2 .غير متوفر
(ب) بالنسبة للأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها:أ،ب،ج{\displaystyle a,b,c}تحديد قابلية حل معادلة الديوفانتين:أx+بy+ج=0{\displaystyle ax+by+c=0}بشرط أن يكون x و y عددين أوليين. وتُعدّ حدسية غولدباخ وحدسية الأعداد الأولية التوأم حالات خاصة من هذه المسألة.لا تزال هذه المعادلة، حتى في حالاتها الخاصة، مسائل مفتوحة صعبة. ومن النتائج الجزئية برهان ييتانغ تشانغ على وجود فجوات محدودة بين الأعداد الأولية، والذي حسّنه لاحقًا مشروع بوليمات .غير متوفر
(ج) تعميم النتائج باستخدام دالة زيتا لريمان لتوزيع الأعداد الأولية في الأعداد الصحيحة، لتطبيقها على دوال زيتا ديديكيند لتوزيع المثالي الأولي في حلقة الأعداد الصحيحة لأي حقل عددي.يعتمد الأمر على تفسير النتائج المتوقعة. في عام ١٩١٧، وضع إريك هيكه امتدادًا تحليليًا لدوال زيتا لديديكيند، وأثبت معادلة دالية، مما أتاح الحصول على نتائج مشابهة لتلك التي يمكن الوصول إليها حاليًا باستخدام دالة زيتا لريمان. مع ذلك، إذا فُهم الأمر على أنه إثبات لفرضية ريمان الموسعة ، فإن المشكلة لا تزال قائمة.1917؟
التاسعأوجد القانون الأكثر عمومية لنظرية التبادل في أي حقل عددي جبري .لم تُحسم بعد. تتضمن النتائج الجزئية قانون التبادلية لآرتين للامتدادات الأبيلية لحقول الأعداد، وهي نتيجة أساسية في نظرية حقول الأصناف . ولا يزال تطوير نظرية حقول الأصناف غير الأبيلية التي تصلح للحالة العامة لحقول الأعداد مجالًا قائمًا على التخمين إلى حد كبير.غير متوفر
العاشرأوجد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتين متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة لها حل صحيح.تم الحل. النتيجة: مستحيل؛ تنص نظرية ماتياسيفيتش على أنه لا توجد خوارزمية كهذه.1970
الحادي عشرحل المعادلات التربيعية بأي عدد من المتغيرات والمعاملات على أي حقل عددي.تم حل المسألة. وضع هيلموت هاسه في عام 1924 نظرية عامة لتصنيف وتحديد قابلية حل الأشكال التربيعية على حقول الأعداد باستخدام مبدأ المحلي-العالمي . وقد قام إرنست ويت لاحقًا بتبسيط منهجيته باستخدام حلقات ويت . [ 13 ]1924
الثاني عشرقم بتوسيع نظرية كرونكر-ويبر حول الامتدادات الأبيلية للأعداد النسبية إلى الامتدادات الأبيلية لأي حقل عددي أساسي.لم يتم حلها. تتضمن النتائج الجزئية بناء حقول CM باستخدام الأشكال النمطية لهيلبرت بواسطة جورو شيمورا ، وحالات خاصة من الحقول الحقيقية تمامًا باستخدام وحدات برومر-ستارك بواسطة داسغوبتا وكادكي. [ 14 ] [ 15 ]غير متوفر
الثالث عشرأثبت أن الحالة العامة لمعادلة من الدرجة السابعة لا يمكن حلها باستخدام التركيب المحدود للدوال المتصلة (أو الدوال الجبرية ) ذات وسيطين . بالنسبة للصيغة المتصلة: على الأقل، قم بإنشاء دالة تحليلية لثلاثة متغيرات لا يمكن تمثيلها بهذا التركيب.يعتمد ذلك على نوع المشكلة.

بالنسبة للصيغة المستمرة: لا؛ تُظهر نظرية تمثيل كولموغوروف-أرنولد أنه يمكن الحصول على كل دالة مستمرة متعددة المتغيرات من خلال هذا التركيب.

يرى بعض المؤلفين أن هيلبرت كان يقصد إيجاد حل ضمن فضاء الدوال الجبرية وإمكانية توسيع نظرية غالوا ، مواصلاً بذلك عمله على الحالة الجبرية. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] ويبدو من إحدى أوراق هيلبرت اللاحقة أن هذا كان قصده الأصلي من المسألة. [ 19 ] أما بالنسبة للصيغة الجبرية، فلا تزال المسألة دون حل.

1957؟
الرابع عشرهل حلقة الثوابت لمجموعة جبرية تؤثر على حلقة متعددة الحدود مولدة بشكل نهائي دائمًا ؟تم حل المسألة. النتيجة: لا، لقد قام ماسايوشي ناجاتا بإنشاء مثال مضاد .1959
الخامس عشرالأساس الدقيق لحساب التعداد عند شوبرت .لقد تحققت تطورات هامة لحل هذه المشكلة منذ نشر القائمة:
  • تم التحقق من الأمثلة العددية الرئيسية لشوبرت [ 20 ] [ 21 ] من قبل ألوفي، هاريس، كليمان، Xambó، وآخرون. [ 22 ] [ 23 ]
  • تم إعداد عروض خاصة لحلقات تشاو لمتشعبات العلم بواسطة بوريل، مارلين، بيلي-هايمان ودوان-تشاو، وآخرون؛ [ 23 ]
  • تم حل مشكلة شوبيرت المميزة بواسطة هايباو دوان وشويزي تشاو. [ 23 ]

ادعى دوان وتشاو أن نتائج دراستهما قد حلت هذه المشكلة بالفعل. ولا يوجد حاليًا إجماع حول ما إذا كانت المشكلة قد حُلت كليًا أم جزئيًا.

1987–2020؟
السادس عشرصف المواضع النسبية للأشكال البيضاوية الناشئة من منحنى جبري حقيقي وكدورات حدية لحقل متجه متعدد الحدود على المستوى.غير محلولة. يُعدّ الوصف الدقيق لموقع مكونات المنحنيات الجبرية الحقيقية مشكلة مفتوحة، حتى بالنسبة للدرجات الصغيرة مثل  8. بالنسبة لحقول المتجهات متعددة الحدود، تتضمن النتائج الجزئية إثبات أن لها عددًا محدودًا من الدورات الحدية، ولكن لا يوجد حد فعال معروف.غير متوفر
السابع عشرعبّر عن دالة كسرية غير سالبة كحاصل قسمة مجموع مربعات .تم حل المسألة. النتيجة: نعم، بفضل إميل أرتين . علاوة على ذلك، تم تحديد حد أقصى لعدد الحدود المربعة اللازمة.1927
الثامن عشر(أ) هل يوجد عدد محدود فقط من مجموعات الفضاء المختلفة جوهريًا في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ؟تم الحل. النتيجة: نعم (بواسطة لودفيج بيبرباخ )1910
(ب) هل يوجد متعدد السطوح لا يقبل إلا التبليط غير المتماثل في ثلاثة أبعاد؟تم حل المشكلة. النتيجة: نعم (بواسطة كارل راينهارت ).1928
(ج) ما هي أكثر طرق تعبئة الكرات كثافة ؟تم التوصل إلى الحل، من خلال برهان بمساعدة الحاسوب (بواسطة توماس كاليستر هيلز ) ولاحقًا ببرهان تم التحقق منه آليًا في مشروع فلاي سبيك. النتيجة: أعلى كثافة تم تحقيقها من خلال التراص المتقارب ، حيث تبلغ كثافة كل منها حوالي 74%، مثل التراص المتقارب المكعب ذي المراكز الوجهية والتراص المتقارب السداسي .1998
التاسع عشرهل حلول المسائل العادية في حساب التفاضل والتكامل تحليلية بالضرورة ؟تم حل المسألة. النتيجة: نعم، وقد أثبت ذلك إنيو دي جورجي ، وبشكل مستقل وباستخدام أساليب مختلفة، جون فوربس ناش .1957
القرن العشرونهل جميع مسائل التباين ذات الشروط الحدية المحددة لها حلول؟غير محسومة. موضوع بحثي هام طوال القرن العشرين، أسفر عن حلول لبعض الحالات. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]غير متوفر
القرن الحادي والعشرونإثبات وجود معادلات تفاضلية خطية فوكسية ذات زمرة أحادية محددةتم الحل. النتيجة: لا، فقد قدم أندريه بوليبروك مثالاً مضاداً . [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] على الرغم من الإجابة السلبية في الحالة العامة، إلا أن معادلات فوكس قد توجد في حالات خاصة في ظل بعض الافتراضات الإضافية. [ 30 ]1989
الثاني والعشرونتوحيد العلاقات التحليلية بواسطة الدوال الذاتية الشكلغير محلولة. تتضمن النتائج الجزئية نظرية التوحيد لأسطح ريمان .غير متوفر
الثالث والعشرونتطوير حساب التفاضل والتكاملغامضٌ للغاية بحيث لا يمكن الجزم بحلّه أو عدمه. منذ اقتراح القائمة، قدّم هيلبرت والعديد من علماء الرياضيات الآخرين إسهاماتٍ عديدة في حساب التفاضل والتكامل. [ 31 ] يُعتبر البرمجة الديناميكية لريتشارد بيلمان بديلاً لحساب التفاضل والتكامل. [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ i ]غير متوفر
المسألة الرابعة والعشرون غير المنشورة
الرابع والعشرونتطوير نظرية تبسيط البرهانتم استخلاصها من ملاحظات هيلبرت غير المنشورة. غامضة للغاية بحيث لا يمكن الجزم بحلها أو عدمه.غير متوفر

المتابعات

أعلن علماء الرياضيات والمنظمات الرياضية عن العديد من قوائم المسائل التي لم تُحقق، باستثناءات قليلة، نفس القدر من التأثير أو العمل الذي حققته مسائل هيلبرت. ومن الأمثلة البارزة على ذلك حدسيات ويل ، ومسائل بول إيردوس ، وأسئلة ثورستون الأربعة والعشرين ، ومسائل سميل .

تُعدّ حدسيات ويل الأربع، التي وضعها أندريه ويل في أواخر أربعينيات القرن العشرين، ذات أهمية بالغة في مجالي الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد. [ 35 ] [ 36 ] وقد أثبت برنارد دورك الحدسية الأولى؛ بينما قدّم ألكسندر غروتينديك برهانًا مختلفًا للحدستين الأوليين، باستخدام علم التماثل ℓ-adic . أما الحدسية الأخيرة والأكثر عمقًا من حدسيات ويل، وهي نظير لفرضية ريمان، فقد أثبتها بيير ديلين . وقد مُنح كلٌّ من غروتينديك وديلين ميدالية فيلدز . مع ذلك، كانت حدسيات ويل أقرب في نطاقها إلى مسألة هيلبرت واحدة، ولم يقصد ويل أبدًا أن تكون برنامجًا شاملًا لجميع فروع الرياضيات.

طرح إردوش مئات، وربما آلاف، من المسائل، وغالباً ما كان يقدم مكافآت مالية؛ وكان حجم المكافأة يعتمد على الصعوبة المتصورة للمسألة. [ 37 ]

نشر ويليام ثورستون قائمة تضم 24 مسألة رياضية في ورقة بحثية عام 1982، لكن قائمة ثورستون ركزت على مسائل من الطوبولوجيا الهندسية للمشعبات ثلاثية الأبعاد ، على عكس قائمة هيلبرت التي غطت العديد من فروع الرياضيات المختلفة. وعلى عكس مسائل هيلبرت، التي استغرق حل العديد منها عقودًا أو لا تزال مفتوحة، تم حل 22 من أصل 24 مسألة من مسائل ثورستون في غضون 30 عامًا بعد النشر.

اقترح العديد من علماء الرياضيات قوائم بالمسائل في مطلع الألفية، مثل ستيف سميل الحائز على ميدالية فيلدز والذي استجاب لطلب فلاديمير أرنولد باقتراح قائمة تضم 18 مسألة.

على الأقل في وسائل الإعلام الرئيسية، يُعتبر ما يُعرف في القرن الحادي والعشرين  بقائمة مسائل جائزة الألفية السبع التي اختارها معهد كلاي للرياضيات عام 2000، بمثابة النظير الفعلي لمسائل هيلبرت في القرن الحادي والعشرين. وعلى عكس مسائل هيلبرت، حيث كان التقدير الأساسي هو إعجاب هيلبرت تحديدًا والرياضيين عمومًا، تتضمن كل مسألة من مسائل الجائزة مكافأة قدرها مليون دولار. وبينما لم تحظَ معظم مسائل هيلبرت بشهرة واسعة في الأوساط الرياضية قبل نشر قائمته، كانت جميع مسائل جائزة الألفية معروفة جيدًا لعقود، وحظيت بالعديد من محاولات البرهان. وكما هو الحال مع مسائل هيلبرت، تم حل إحدى مسائل الجائزة ( حدسية بوانكاريه ) بعد فترة وجيزة نسبيًا من الإعلان عن المسائل.

تُعدّ فرضية ريمان جديرة بالذكر لظهورها في قائمة مسائل هيلبرت، وقائمة سميل، وقائمة مسائل جائزة الألفية، وحتى في حدسيات ويل، بصيغتها الهندسية. ورغم تعرضها لانتقادات من كبار علماء الرياضيات المعاصرين، يعتقد العديد من الخبراء أنها ستظل ضمن قائمة المسائل غير المحلولة لقرون عديدة. وقد صرّح هيلبرت نفسه قائلاً: "لو استيقظتُ بعد نوم دام ألف عام، لكان أول سؤال لي: هل تم إثبات فرضية ريمان؟" [ 38 ]

في عام 2008، أعلنت وكالة مشاريع البحوث الدفاعية المتقدمة (DARPA) عن قائمتها الخاصة التي تضم 23  مشكلة، والتي كانت تأمل أن تؤدي إلى اختراقات رياضية كبيرة، "وبذلك تعزز القدرات العلمية والتكنولوجية لوزارة الدفاع الأمريكية ". [ 39 ] [ 40 ] كما تتضمن قائمة DARPA بعض المشكلات من قائمة هيلبرت، مثل فرضية ريمان.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بعض المشاكل عبارة عن قوائم من المشاكل الأولية ذات الصلة، ولكن هذا التقسيم خاص بهذا الموقع الإلكتروني وليس رسميًا.
  2. ↑ انظر ناجل ونيومان، مراجعة هوفستاتر (2001، ص 107)، [ 6 ] الحاشية 37: "علاوة على ذلك، على الرغم من أن معظم المتخصصين في المنطق الرياضي لا يشككون في وجاهة برهان [جنتزن]، إلا أنه ليس نهائيًا بالمعنى الذي تنص عليه شروط هيلبرت الأصلية لبرهان مطلق للاتساق." انظر أيضًا الصفحة التالية: "لكن هذه البراهين [جنتزن وآخرون] لا يمكن عكسها داخل الأنظمة التي تتعلق بها، ولأنها ليست نهائية، فإنها لا تحقق الأهداف المعلنة لبرنامج هيلبرت الأصلي." أعاد هوفستاتر كتابة الحاشية الأصلية (1958) بشكل طفيف، مُغيرًا كلمة "الطلاب" إلى "المتخصصين في المنطق الرياضي". وتُناقش هذه النقطة مرة أخرى في الصفحة 109 [ 6 ] ولم يُعدّلها هوفستاتر هناك (ص 108). [ 6 ]
  3. ↑ يذكر ريد أنه عندما سمع عن عمل غودل من بيرنايز، شعر بشيء من الغضب. ... في البداية، كان غاضبًا ومحبطًا فقط، لكنه بدأ بعد ذلك في محاولة التعامل مع المشكلة بشكل بنّاء. ... لم يكن واضحًا بعد مدى تأثير عمل غودل في نهاية المطاف" (ص 198-199). [ 7 ] ويشير ريد إلى أن هيلبرت اقترح في ورقتين بحثيتين عام 1931 شكلًا مختلفًا من الاستقراء يُسمى "الاستقراء اللانهائي" (ص 199). [ 7 ]
  4. ↑ يذكر كتاب ريد عن هيلبرت، الذي كُتب خلال ستينيات القرن العشرين استنادًا إلى مقابلات ورسائل، أن "غودل (الذي لم يتبادل أي مراسلات مع هيلبرت) يرى أن مخطط هيلبرت لأسس الرياضيات "لا يزال مثيرًا للاهتمام وذا أهمية بالغة على الرغم من نتائجي السلبية" (ص ٢١٧). لاحظ استخدام صيغة المضارع - إذ تذكر أن غودل وبرنايز، من بين آخرين، "أجابوا على أسئلتي حول عمل هيلبرت في المنطق والأسس" (ص ٧). [ ٧ ]
  5. ↑ تعود جذور هذه المسألة إلى "الأزمة التأسيسية" في أوائل القرن العشرين، وتحديدًا الجدل الدائر حول الظروف التي يُمكن فيها استخدام قانون الوسط المرفوع في البراهين. للمزيد، انظر جدل براور-هيلبرت .
  6. ↑ «إنّ هذا اليقين بإمكانية حلّ كلّ مسألة رياضية يُشكّل حافزاً قوياً للباحث. نسمع في داخلنا نداءً دائماً: ها هي المسألة. ابحث عن حلّها. يمكنك إيجاده بالعقل المحض، ففي الرياضيات لا وجود للجهل .» (هيلبرت، 1902، ص 445)
  7. يناقش ناجل ونيومان وهوفستادتر هذه المسألة قائلين : "إن إمكانية بناء برهان مطلق محدود للاتساق لنظام رسمي مثل كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" لا تستبعدها نتائج غودل. ... حجته لا تنفي هذه الإمكانية ... ولكن لا يبدو أن أحدًا اليوم لديه فكرة واضحة عن ماهية البرهان المحدود الذي لا يمكن محاكاته داخل كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا " (الحاشية 39، الصفحة 109). ويخلص المؤلفون إلى أن هذا الاحتمال "مستبعد للغاية". [ 6 ]
  8. ↑ وفقًا لغراي، تم حل معظم المشاكل. بعضها لم يُحدد بشكل كامل، ولكن تم إحراز تقدم كافٍ لاعتبارها "محلولة"؛ ويذكر غراي أن المشكلة الرابعة غامضة للغاية بحيث لا يمكن الجزم ما إذا كانت قد حُلت أم لا.
  9. ↑ انظر هارولد ج. كوشنر (2004) : فيما يتعلق بالبرمجة الديناميكية، "كان لحساب التفاضل والتكامل أفكار ذات صلة (مثل عمل كاراثيودوري، ومعادلة هاميلتون-جاكوبي). وقد أدى ذلك إلى صراعات مع مجتمع حساب التفاضل والتكامل."

مراجع

  1. 1 2 3 هيلبرت، ديفيد (1902). "المسائل الرياضية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 8 (10): 437-479 . doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .
  2. ^ هيلبرت ، ديفيد (1900). "مشكلات الرياضيات" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (أخبار جمعية العلوم في غوتنغن، فئة الرياضيات والفيزياء) (بالألمانية): 253-297 .وهيلبيرت ، ديفيد (1901). "مشكلات الرياضيات" . أرشيف الرياضيات والفيزياء . السلسلة الثالثة (باللغة الألمانية). 1 : 44 – 63 ، 213 – 237.
  3. ↑ ثيل، روديجر (يناير 2003). "مسألة هيلبرت الرابعة والعشرون" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 110 : 1-24 . doi : 10.1080/00029890.2003.11919933 . S2CID 123061382 . 
  4. ↑ وينشتاين، جاريد (25 أغسطس/آب 2015). "قوانين التبادلية وتمثيلات غالوا: اكتشافات حديثة" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . 53 (1). الجمعية الأمريكية للرياضيات (AMS): 1-39 . doi : 10.1090/bull/1515 . ISSN 0273-0979 . 
  5. ↑ فان هيجينورت، جان، محرر. (1976) [1966]. من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ((غلاف ورقي) طبعة). كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ص 464 وما بعدها. ISBN   978-0-674-32449-7. مصدر موثوق لنظام هيلبرت البديهي، وتعليقاته عليها وعلى "الأزمة" التأسيسية التي كانت جارية في ذلك الوقت (مترجمة إلى الإنجليزية)، يظهر في كتاب هيلبرت "أسس الرياضيات" (1927).
  6. 1 2 3 4 ناجل، إرنست؛ نيومان، جيمس ر.؛ هوفستاتر، دوغلاس ر. (2001). هوفستاتر، دوغلاس ر. (محرر). برهان غودل ( طبعة منقحة). نيويورك: مطبعة جامعة نيويورك. ISBN  978-0-8147-5816-8.
  7. 1 2 3 ريد، كونستانس (1996). هيلبرت . نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-0387946740.
  8. ↑ كوهين، بول ج. (15 ديسمبر 1963). "استقلالية فرضية الاستمرارية، [ الجزء الأول ] " . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 50 (6): 1143-1148 . Bibcode : 1963PNAS...50.1143C . doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557 .    
  9. ↑ كوهين، بول ج. (15 يناير 1964). "استقلالية فرضية الاستمرارية، [ الجزء ] الثاني" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 51 (1): 105-110 . Bibcode : 1964PNAS...51..105C . doi : 10.1073 / pnas.51.1.105 . JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132 .    
  10. ↑ باليه، ريتشارد (نوفمبر 2009). بولكر، إيثان د. (محرر). "مساهمة غليسون في حل مسألة هيلبرت الخامسة" (ملف PDF) . أندرو م. غليسون 1921-2008. إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 56 (10): 1243-1248 .
  11. ↑ دينغ، يو؛ هاني، زاهر؛ ما، شياو (2025). "مسألة هيلبرت السادسة: اشتقاق معادلات الموائع عبر نظرية بولتزمان الحركية". arXiv : 2503.01800 [ math.AP ].
  12. ↑ مورتاغ، جاك (14 أبريل 2025). "علماء الرياضيات يحلون مشكلة عمرها 125 عامًا، ويوحدون ثلاث نظريات فيزيائية" . مجلة ساينتفك أمريكان . تم الاطلاع عليه في 9 يناير 2026 .
  13. ^ ميشيل هازوينكل (2009). دليل الجبر . المجلد. 6. إلسفير. ص. 69. ردمك   978-0080932811.
  14. ^ داسغوبتا، ساميت؛ كاكدي، ماهيش (2021-03-03). “وحدات برومر ستارك ومشكلة هيلبرت الثانية عشرة”. أرخايف : 2103.02516 [ math.NT ].
  15. ↑ هيوستن-إدواردز، كيلسي (25 مايو 2021). "علماء الرياضيات يجدون اللبنات الأساسية التي طال انتظارها لكثيرات الحدود الخاصة" .
  16. ^ ابهيانكار، شريرام س. (1997). مشكلة هيلبرت الثالثة عشرة (PDF) . الندوات والمؤتمرات. المجلد. 2. شركة الرياضيات الفرنسية. 
  17. ↑ فيتوشكين، أناتولي ج. (2004). "حول مسألة هيلبرت الثالثة عشرة والمسائل ذات الصلة". المسوحات الرياضية الروسية . 59 (1). الأكاديمية الروسية للعلوم: 11-25 . Bibcode : 2004RuMaS..59...11V . doi : 10.1070/RM2004v059n01ABEH000698 . S2CID 250837749 . 
  18. ^ موروزوف ، فلاديمير ف. (1954). "حول بعض الأسئلة المتعلقة بمشكلة المذيبات" [ في بعض الأسئلة المتعلقة بمشكلة المذيبات ] . وقائع جامعة كازان (بالروسية). 114 (2). جامعة كازان: 173- 187.
  19. ^ هيلبرت ، ديفيد (1927). "Über die Gleichung neunten Grades". الرياضيات. آن . 97 : 243 – 250. دوى : 10.1007 / BF01447867 . S2CID 179178089 . 
  20. ^ ه. شوبرت، Kalkül der abzählenden Geometrie ، 1879، لايبزيغ: BG Teubner
  21. ^ ه. شوبرت، Lösung des Charakteristiken-Problems für Linere Räume beliebiger Dimension , Mitteilungen der Mathematische Gesellschaft في هامبورغ 1 (1886)، 134-155.
  22. ↑ س. كلايمان، نظرية التقاطع والهندسة العددية: عقد من المراجعة، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، 46:2، الجمعية الأمريكية للرياضيات (1987)، 321-370. https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ doi : 10.1090/pspum/046.2
  23. 1 2 3 هـ. دوان؛ إكس. تشاو (2020). "حول مسألة شوبيرت للخاصية" . في ج. هو؛ وآخرون (محررون). حساب شوبيرت وتطبيقاته في التوافقية ونظرية التمثيل . وقائع سبرينغر في الرياضيات والإحصاء. المجلد 332. الصفحات 43-71 . arXiv : 1912.10745 . doi : 10.1007/978-981-15-7451-1_4 . ISBN    978-981-15-7450-4. S2CID 209444479 . 
  24. ↑ جيلبارج، ديفيد؛ ترودينجر، نيل س. (12 يناير 2001). المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-41160-4.
  25. ↑ سيرين، جيمس (8 مايو 1969). "مسألة ديريشليه للمعادلات التفاضلية الإهليلجية شبه الخطية ذات المتغيرات المستقلة المتعددة". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية . 264 (1153): 413-496 . رمز Bibcode : 1969RSPTA.264..413S . doi : 10.1098/rsta.1969.0033 . ISSN 0080-4614 . 
  26. ↑ ماوين، جان (1 يناير 1999). "درجة ليري-شودر: نصف قرن من التوسعات والتطبيقات" . الأساليب الطوبولوجية في التحليل غير الخطي . 14 (2). جامعة نيكولاس كوبرنيكوس في تورون، مركز يوليوس شودر للدراسات غير الخطية: 195-228 . doi : 10.12775/TMNA.1999.029 . ISSN 1230-3429 . تاريخ الاسترجاع: 8 أبريل 2024 . 
  27. ↑ بليميلج، جوزيب (1964). رادوك، جيه آر إم (محرر). مسائل بمعنى ريمان وكلاين . سلسلة إنترساينس في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 16. نيويورك-لندن-سيدني: إنترساينس بابليشرز جون وايلي وأولاده. MR 0174815 .  رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 9780470691250.
  28. ^ أنوسوف، د.ف. بوليبروخ، أأ (1994). مشكلة ريمان-هيلبرت . جوانب الرياضيات، E22. براونشفايغ: فريدر. فيويغ وسون. دوى : 10.1007/978-3-322-92909-9 . رقم ISBN 978-3-528-06496-9MR 1276272 .​ 
  29. ^ بوليبروخ، أأ (1990). “مشكلة ريمان-هيلبرت”. Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (بالروسية). 45 (2): 3– 47. بيب كود : 1990RuMaS..45Q...1B . دوى : 10.1070/RM1990v045n02ABEH002350 . ISSN 0042-1316 . السيد 1069347 . S2CID 250853546 .   
  30. ↑ بوليبروك، أ.أ. (1992) . "شروط كافية لحل مسألة ريمان-هيلبرت بشكل إيجابي". مجلة الرياضيات (باللغة الروسية). 51 (2): 110-117 . doi : 10.1007/BF02102113 . MR 1165460. S2CID 121743184 .  
  31. ↑ فان برونت، بروس (2004). حساب التفاضل والتكامل . سبرينغر. ISBN 978-0-387-40247-5.
  32. ↑ ديمتري بيرتسيكاس . البرمجة الديناميكية والتحكم الأمثل. أثينا ساينتيفيك، 2005.
  33. ↑ بيلمان، ريتشارد إي. (1954). "البرمجة الديناميكية ومنهجية جديدة في حساب التفاضل والتكامل" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 40 (4): 231-235 . Bibcode : 1954PNAS...40..231B . doi : 10.1073/ pnas.40.4.231 . PMC 527981. PMID 16589462 .  
  34. ↑ جائزة "ريتشارد إي. بيلمان للتراث في مجال التحكم" . المجلس الأمريكي للتحكم الآلي . 2004. مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 أكتوبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يوليو 2013 .
  35. ↑ ويل، أندريه (1949). "أعداد حلول المعادلات في الحقول المنتهية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 55 (5): 497-508 . doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . MR 0029393 .  
  36. ↑ براودر، فيليكس إي. (1976). التطورات الرياضية الناشئة عن مسائل هيلبرت . بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-1428-1. OCLC 2331329 . 
  37. ↑ تشونغ، فان آر كيه؛ غراهام، رونالد إل. (1999-06-01). إردوش حول الرسوم البيانية: إرثه من المسائل غير المحلولة . ناتيك، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز/سي آر سي برس. رقم ISBN 978-1-56881-111-6. OCLC 42809520 . 
  38. ↑ كلاوسون، كالفن سي. (8 ديسمبر 1999). الألغاز الرياضية: جمال وسحر الأرقام . دار بيسيك بوكس. ص 258. ISBN  9780738202594. إل سي سي إن 99-066854 . 
  39. ↑ كوني، مايكل (30 سبتمبر 2008). "أصعب 23 سؤالًا رياضيًا في العالم" . شبكة العالم . تم الاسترجاع في 7 أبريل 2024 .
  40. ↑ "التحديات الرياضية لداربا" . 26-09-2008. مؤرشف من الأصل في 12-01-2019 . تم الاطلاع عليه في 31-03-2021 .

للمزيد من القراءة

  • غراي، جيريمي (2000). تحدي هيلبرت . أكسفورد؛ نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-850651-5. OCLC 44153228 . 
  • ياندل، بن (2002). فصل المتفوقين: مسائل هيلبرت وحلولها . ناتيك، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ISBN 978-1-56881-141-3.
  • ثيل، روديجر (2005). "حول هيلبرت ومسائله الأربع والعشرين". في: بروميلين، جلين فان؛ كينيون، مايكل؛ فان بروميلين، جلين؛ الجمعية الكندية لتاريخ وفلسفة الرياضيات (محررون). الرياضيات وحرفة المؤرخ: محاضرات كينيث أو. ماي؛ [قُدِّمت في اجتماعات الجمعية الكندية لتاريخ وفلسفة الرياضيات منذ عام 1990] . منشورات الجمعية الكندية للرياضيات. المجلد  21. نيويورك، نيويورك [هايدلبرغ]: سبرينغر. الصفحات 243-295 . ISBN  978-0-387-25284-1.
  • داوسون، جون دبليو؛ غودل، كورت (1997). المعضلات المنطقية: حياة وأعمال كورت غودل (طبعة  مُعاد طباعتها). ويليسلي، ماساتشوستس: بيترز. ISBN 978-1-56881-256-4.ثروة من المعلومات ذات الصلة بـ "برنامج" هيلبرت وتأثير غودل على السؤال الثاني، وتأثير الحدسية عند أرند هيتينغ وبروير على فلسفة هيلبرت.
  • براودر، فيليكس إيرل (1976). "التطورات الرياضية الناشئة عن مسائل هيلبرت". في براودر، فيليكس إي. (محرر). وقائع الندوات في الرياضيات البحتة XXVIII . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-1428-4.مجموعة من المقالات الاستقصائية التي كتبها خبراء مخصصة لكل مشكلة من  المشاكل الـ 23 مع التركيز على التطورات الحالية.
  • ماتياسيفيتش، يوريج ف.؛ ماتياسيفيتش، يوري ف. (1993). مشكلة هيلبرت العاشرة . أسس الحوسبة (3.  الطبعة). كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. رقم ISBN 978-0-262-13295-4.سرد على مستوى المرحلة الجامعية الأولى من قبل عالم الرياضيات الذي أكمل حل المسألة.