سطح ريمان

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل المركب ، سطح ريمان هو متعدد شعب مركب أحادي البعد متصل . تمت دراسة هذه الأسطح لأول مرة بواسطة برنهارد ريمان وتم تسميتها باسمه . يمكن اعتبار أسطح ريمان نسخًا مشوهة من المستوى المركب : محليًا بالقرب من كل نقطة تبدو وكأنها بقع من المستوى المركب، لكن الطوبولوجيا العالمية يمكن أن تكون مختلفة تمامًا. على سبيل المثال، يمكن أن تبدو وكأنها كرة أو حلقة أو عدة صفائح ملتصقة ببعضها البعض.

تتضمن أمثلة أسطح ريمان رسومًا بيانية لوظائف متعددة القيم مثل √ z أو log( z )، على سبيل المثال مجموعة الأزواج ( z ، w ) ∈ C ² مع w = log( z ) .

كل سطح ريمان هو سطح : متعدد شعب حقيقي ثنائي الأبعاد ، لكنه يحتوي على بنية أكثر ( بنية معقدة على وجه التحديد ). وعلى العكس من ذلك، يمكن تحويل متعدد شعب حقيقي ثنائي الأبعاد إلى سطح ريمان (عادةً بعدة طرق غير متكافئة) إذا وفقط إذا كان قابلاً للتوجيه وقابلاً للقياس . وبناءً على ذلك، فإن الكرة والحلقة تسمحان بوجود هياكل معقدة، لكن شريط موبيوس وزجاجة كلاين والمستوى الإسقاطي الحقيقي لا يسمحان بذلك. كل سطح ريمان مضغوط هو منحنى جبري معقد وفقًا لنظرية تشاو ونظرية ريمان-روش .

هناك عدة تعريفات متكافئة لسطح ريمان.

1. سطح ريمان X هو متعدد شعب مركب متصل ذو بعد مركب واحد. وهذا يعني أن X عبارة عن فضاء هاوسدورف متصل مزود بأطلس من المخططات إلى القرص الوحدوي المفتوح للمستوى المركب : لكل نقطة x ∈ X يوجد جوار لـ x متماثل مع القرص الوحدوي المفتوح للمستوى المركب، ويجب أن تكون خرائط الانتقال بين مخططين متداخلين متماثلة . ^[1]
2. سطح ريمان هو متعدد شعب موجه ذو بعدين (حقيقيين) - سطح ذو جانبين - مع بنية مطابقة . مرة أخرى، يعني متعدد الشعب أنه محليًا في أي نقطة x من X ، تكون المساحة متجانسة لمجموعة فرعية من المستوى الحقيقي. يشير الملحق "ريمان" إلى أن X مزود ببنية إضافية تسمح بقياس الزاوية على متعدد الشعب، وهي فئة تكافؤ لما يسمى بالمقاييس الريمانية . يُعتبر مقياسان من هذا القبيل متكافئين إذا كانت الزوايا التي يقيسانها متماثلة. يعد اختيار فئة تكافؤ المقاييس على X هو البيانات الإضافية للبنية المطابقة.

يؤدي الهيكل المعقد إلى ظهور هيكل مطابق عن طريق اختيار المقياس الإقليدي القياسي المعطى على المستوى المركب ونقله إلى X عن طريق المخططات. إن إثبات أن الهيكل المطابق يحدد الهيكل المعقد هو أمر أكثر صعوبة. ^[2]

• 
  ف ( ز ) = قوس جيب التمام ز
• 
  ف ( ز ) = لوغاريتم ز
• 
  ف ( ز ) = ز ^1/2
• 
  ف ( ز ) = ز ^1/3
• 
  ف ( ز ) = ز ^1/4

كما هو الحال مع أي خريطة بين متشعبات معقدة، تسمى الدالة f  : M → N بين سطحي ريمان M و N متماثلين إذا كانت الخريطة h ∘ f ∘ g ⁻¹ متماثلة (كدالة من C إلى C ) أينما تم تعريفها لكل مخطط g في أطلس M وكل مخطط h في أطلس N. يكون تكوين خريطتين متماثلين متماثلين. تسمى سطحي ريمان M و N متماثلين ثنائيين (أو مكافئين مطابقين للتأكيد على وجهة النظر المطابقة) إذا كانت هناك دالة متماثلة مطابقة من M إلى N يكون معكوسها متماثلًا أيضًا (اتضح أن الشرط الأخير تلقائي وبالتالي يمكن حذفه). يكون سطحا ريمان متماثلان مطابقان متطابقين لجميع الأغراض العملية.

كل سطح ريمان، كونه متعدد شعب مركب، يمكن توجيهه كمتعدد شعب حقيقي. بالنسبة للمخططات المركبة f و g مع دالة انتقالية h = f ( g ⁻¹ ( z )) ، يمكن اعتبار h بمثابة خريطة من مجموعة مفتوحة من R ² إلى R ² حيث يكون جاكوبي في النقطة z مجرد خريطة خطية حقيقية معطاة عن طريق الضرب في العدد المركب h ′( z ). ومع ذلك، فإن المحدد الحقيقي للضرب في العدد المركب α يساوي | α | ² ، لذا فإن جاكوبي h له محدد موجب. وبالتالي، فإن الأطلس المركب هو أطلس موجه.

كل سطح ريمان غير مضغوط يسمح بوجود دوال هولومورفية غير ثابتة (بقيم في C ). في الواقع، كل سطح ريمان غير مضغوط هو متعدد شعب شتاين .

على النقيض من ذلك، على سطح ريمان المضغوط X، تكون كل دالة مجسمة ذات قيم في C ثابتة بسبب مبدأ الحد الأقصى . ومع ذلك، توجد دائمًا دوال مجسمة غير ثابتة (دوال مجسمة ذات قيم في مجال ريمان C ∪ {∞} ). وبصورة أكثر دقة، فإن مجال دالة X هو امتداد محدود لـ C ( t )، مجال الدالة في متغير واحد، أي أن أي دالتين مجسمتين تعتمدان جبريًا. يعمم هذا البيان على أبعاد أعلى، انظر سيجل (1955). يمكن إعطاء الدوال المجسمة بشكل صريح إلى حد ما، من حيث دوال ثيتا لريمان وخريطة آبل-جاكوبي للسطح.

جميع أسطح ريمان المدمجة عبارة عن منحنيات جبرية حيث يمكن تضمينها في بعض CP ⁿ . وهذا يتبع من نظرية تضمين كودايرا وحقيقة وجود حزمة خطوط موجبة على أي منحنى مركب. ^[3]

يمكن استخدام وجود الدوال الميرومورفية غير الثابتة لإظهار أن أي سطح ريمان مضغوط هو تنوع إسقاطي ، أي يمكن إعطاؤه بواسطة معادلات متعددة الحدود داخل فضاء إسقاطي . في الواقع، يمكن إظهار أن كل سطح ريمان مضغوط يمكن تضمينه في فضاء إسقاطي معقد ثلاثي الأبعاد. هذه نظرية مدهشة: تُعطى أسطح ريمان بواسطة مخططات التصحيح المحلية. إذا تمت إضافة شرط عالمي واحد، ألا وهو الاكتناز، فإن السطح يكون جبريًا بالضرورة. تسمح هذه الميزة لأسطح ريمان للمرء بدراستها إما بوسائل الهندسة التحليلية أو الجبرية . العبارة المقابلة للأشياء ذات الأبعاد الأعلى خاطئة، أي أن هناك متشعبات معقدة مضغوطة ثنائية الأبعاد ليست جبرية. من ناحية أخرى، فإن كل متشعب معقد إسقاطي يكون جبريًا بالضرورة، انظر نظرية تشاو .

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الحلقة T  := C / ( Z + τ Z ) . دالة فايرستراس ℘ _τ ( z ) التي تنتمي إلى الشبكة Z + τ Z هي دالة مترابطة على T . هذه الدالة ومشتقتها ℘ _τ ′ ( z ) تولد مجال الدالة لـ  T . هناك معادلة

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

حيث تعتمد المعاملات g ₂ و g ₃ على τ ، مما يعطي منحنى إهليلجي E _τ بمعنى الهندسة الجبرية. يتم عكس ذلك من خلال الثابت j ( E ) ، والذي يمكن استخدامه لتحديد τ وبالتالي حلقة.

يمكن تقسيم مجموعة جميع أسطح ريمان إلى ثلاث مجموعات فرعية: أسطح ريمان زائدية ومكافئة وإهليلجية. من الناحية الهندسية، تتوافق هذه مع الأسطح ذات الانحناء المقطعي الثابت السالب أو المتلاشي أو الموجب . أي أن كل سطح ريمان متصل X يسمح بمقياس ريمان حقيقي كامل ثنائي الأبعاد فريد من نوعه مع انحناء ثابت يساوي -1 أو 0 أو 1 ينتمي إلى الفئة المطابقة للمقاييس الريمانية التي تحددها بنيته كسطح ريمان. يمكن اعتبار هذا نتيجة لوجود إحداثيات متساوية الحرارة .

بمصطلحات تحليلية معقدة، تنص نظرية التوحيد بوانكاريه-كوبي (تعميم لنظرية رسم ريمان ) على أن كل سطح ريمان متصل ببساطة يكون مكافئًا توافقيًا لأحد ما يلي:

• كرة ريمان^ج := C ∪ {∞} ، وهو متماثل مع P ¹ ( C ) ؛
• المستوى المركب C ؛
• القرص المفتوح D  := { z ∈ C  : | z | < 1} ، وهو متماثل مع نصف المستوى العلوي H  := { z ∈ C  : Im( z ) > 0} .

يكون سطح ريمان بيضاويًا أو مكافئًا أو زائديًا وفقًا لما إذا كان غلافه الشامل متماثلًا مع P1 ( ^C ) أو C أو D. تسمح العناصر في كل فئة بوصف أكثر دقة .

كرة ريمان P ¹ ( C ) هي المثال الوحيد، حيث لا توجد مجموعة تؤثر عليها عن طريق التحولات ثنائية الشكل بحرية وبشكل متقطع بشكل صحيح ، وبالتالي فإن أي سطح ريمان يكون غلافه الشامل متماثلًا مع P ¹ ( C ) يجب أن يكون هو نفسه متماثلًا معه.

إذا كان X سطح ريمان الذي يكون غلافه الشامل متماثلًا مع المستوى المركب C ، فإنه يكون متماثلًا مع أحد الأسطح التالية:

• ج نفسها؛
• الحاصل C / Z ؛
• حاصل القسمة C / ( Z + τ Z ) ، حيث τ ∈ C مع Im( τ ) > 0 .

من الناحية الطوبولوجية، هناك ثلاثة أنواع فقط: المستوى والأسطوانة والطور . ولكن بينما في الحالتين السابقتين تكون بنية سطح ريمان (المكافئ) فريدة من نوعها، فإن تغيير المعامل τ في الحالة الثالثة يعطي أسطح ريمان غير متماثلة. يعطي الوصف بواسطة المعامل τ مساحة تيشمولر لأسطح ريمان "المميزة" (بالإضافة إلى بنية سطح ريمان، نضيف البيانات الطوبولوجية لـ "العلامة"، والتي يمكن اعتبارها تماثلًا ثابتًا للطور). للحصول على مساحة المعاملات التحليلية (مع نسيان العلامة)، نأخذ حاصل مساحة تيشمولر بواسطة مجموعة فئة التعيين . في هذه الحالة يكون المنحنى المعياري .

في الحالات المتبقية، يكون X سطح ريمان زائدي، أي متماثل لقسمة نصف المستوى العلوي بواسطة مجموعة فوشية (يُطلق على هذا أحيانًا نموذج فوشية للسطح). يمكن أن يكون النوع الطوبولوجي لـ X أي سطح قابل للتوجيه باستثناء الطارة والكرة .

من الحالات ذات الأهمية الخاصة عندما يكون X مضغوطًا. عندئذٍ يتم وصف نوعه الطوبولوجي من خلال جنسه g ≥ 2. فضاء Teichmüller ومساحة moduli هي (6 g − 6 - الأبعاد. يمكن إعطاء تصنيف مماثل لأسطح ريمان من النوع المحدود (أي متماثل لسطح مغلق ناقص عدد محدود من النقاط). ومع ذلك، بشكل عام، فإن مساحة moduli لأسطح ريمان من النوع الطوبولوجي اللانهائي كبيرة جدًا بحيث لا تسمح بمثل هذا الوصف.

ينعكس التصنيف الهندسي في الخرائط بين أسطح ريمان، كما هو مفصل في نظرية ليوفيل ونظرية ليتل بيكارد : الخرائط من القطع الزائد إلى المكافئ إلى القطع الناقص سهلة، ولكن الخرائط من القطع الناقص إلى القطع المكافئ أو المكافئ إلى القطع الزائد مقيدة للغاية (في الواقع، ثابتة عمومًا!). هناك شوائب للقرص في المستوى في الكرة: Δ ⊂ C ⊂^ج، ولكن أي خريطة هولومورفية من الكرة إلى المستوى تكون ثابتة، وأي خريطة هولومورفية من المستوى إلى قرص الوحدة تكون ثابتة (نظرية ليوفيل)، وفي الواقع فإن أي خريطة هولومورفية من المستوى إلى المستوى ناقص نقطتين تكون ثابتة (نظرية بيكارد الصغيرة)!

يتم توضيح هذه العبارات من خلال النظر في نوع كرة ريمان^جمع عدد من الثقوب. مع عدم وجود ثقوب، تكون كرة ريمان هي الإهليلجية. مع ثقب واحد، والذي يمكن وضعه في ما لا نهاية، يكون المستوى المركب، وهو مكافئ. مع وجود ثقبين، يكون المستوى المثقوب أو بدلاً من ذلك الحلقة أو الأسطوانة، هو مكافئ. مع ثلاثة ثقوب أو أكثر، يكون زائديًا - قارن بين البنطلون . يمكن للمرء أن يرسم خريطة من ثقب واحد إلى اثنين، عبر الخريطة الأسية (وهي كاملة ولها تفرد أساسي في ما لا نهاية، وبالتالي غير محددة في ما لا نهاية، وتفتقد الصفر واللانهاية)، ولكن جميع الخرائط من صفر ثقب إلى واحد أو أكثر، أو من ثقب واحد أو اثنين إلى ثلاثة أو أكثر تكون ثابتة.

بالاستمرار على هذا المنوال، يمكن أن تتطابق أسطح ريمان المدمجة مع أسطح من جنس أدنى ، ولكن ليس مع جنس أعلى ، باستثناء الخرائط الثابتة. وذلك لأن الخرائط المجسمة والمجسمة تتصرف محليًا مثل z ↦ z ⁿ للعدد الصحيح n ، وبالتالي فإن الخرائط غير الثابتة هي خرائط تغطية متفرعة ، وبالنسبة لأسطح ريمان المدمجة، فهي مقيدة بصيغة ريمان-هورويتز في الطوبولوجيا الجبرية ، والتي تربط بين خاصية أويلر للمساحة والغطاء المتفرع.

على سبيل المثال، تتفرع أسطح ريمان الزائدية لتغطي مساحات الكرة (لها وظائف متداخلة غير ثابتة)، ولكن الكرة لا تغطي أو تتطابق بأي شكل من الأشكال مع أسطح الجنس الأعلى، إلا باعتبارها ثابتة.

تعكس مجموعة التماثل لسطح ريمان الموحد (أو ما يعادلها، مجموعة التماثل التلقائي المطابق ) هندسته:

• الجنس 0 - مجموعة القياس المتساوي للكرة هي مجموعة موبيوس للتحويلات الإسقاطية للخط المركب،
• المجموعة المتساوية القياس للمستوى هي المجموعة الفرعية التي تثبت اللانهاية، وللمستوى المثقوب هي المجموعة الفرعية التي تترك ثابتة المجموعة التي تحتوي فقط على اللانهاية والصفر: إما تثبيتهما معًا، أو تبادلهما (1/ z ).
• المجموعة المتساوية القياس للنصف العلوي من المستوى هي مجموعة موبيوس الحقيقية؛ وهي مترافقة مع مجموعة التماثل الذاتي للقرص.
• الجنس 1 - المجموعة المتساوية القياس للحلقة هي في الترجمات العامة (كنوع أبيلي )، على الرغم من أن الشبكة المربعة والشبكة السداسية لها تماثلات إضافة من الدوران بمقدار 90 درجة و60 درجة.
• بالنسبة للجنس g ≥ 2 ، تكون مجموعة القياس المتساوي منتهية، ولها ترتيب لا يزيد عن 84( g − 1) ، وفقًا لنظرية التماثلات الذاتية لهورويتز ؛ تسمى الأسطح التي تحقق هذا الحد أسطح هورويتز .
• ومن المعروف أن كل مجموعة محدودة يمكن إدراكها كمجموعة كاملة من تماثلات سطح ريمان. ^[4]
  • بالنسبة للجنس 2، يتم تعظيم الترتيب عن طريق سطح بولزا ، بالترتيب 48.
  • بالنسبة للجنس 3، يتم تعظيم الترتيب بواسطة رباعي كلاين ، بالترتيب 168؛ هذا هو سطح هورويتز الأول، ومجموعته الذاتية متماثلة مع المجموعة البسيطة الفريدة من الترتيب 168، وهي ثاني أصغر مجموعة بسيطة غير أبيلية. هذه المجموعة متماثلة مع كل من PSL(2, 7) و PSL(3, 2) .
  • بالنسبة للجنس 4، فإن سطح Bring هو سطح متماثل للغاية.
  • بالنسبة للجنس 7، يتم تعظيم الترتيب بواسطة سطح ماكبث ، بالترتيب 504؛ هذا هو سطح هورويتز الثاني، ومجموعته الذاتية متشابهة مع PSL(2, 8) ، رابع أصغر مجموعة بسيطة غير أبيلية.

يستخدم مخطط التصنيف أعلاه عادةً من قبل علماء الهندسة. يوجد تصنيف مختلف لأسطح ريمان يستخدمه عادةً المحللون المعقدون. يستخدم تعريفًا مختلفًا لـ "المكافئ" و "الزائد". في مخطط التصنيف البديل هذا، يُطلق على سطح ريمان مكافئًا إذا لم تكن هناك دوال فرعية توافقية سالبة غير ثابتة على السطح ويُطلق عليه أيضًا اسم زائدي . ^{[5] [6]} تنقسم فئة الأسطح الزائدية هذه إلى فئات فرعية وفقًا لما إذا كانت مساحات الوظائف بخلاف الدوال الفرعية التوافقية السالبة متدهورة، على سبيل المثال أسطح ريمان التي تكون فيها جميع الدوال الهولومورفية المحدودة ثابتة، أو تكون فيها جميع الدوال التوافقية المحدودة ثابتة، أو تكون فيها جميع الدوال التوافقية الموجبة ثابتة، إلخ.

لتجنب الارتباك، نسمي التصنيف القائم على مقاييس الانحناء الثابت بالتصنيف الهندسي ، والتصنيف القائم على انحطاط فضاءات الدالة بالتصنيف النظري للدالة . على سبيل المثال، سطح ريمان الذي يتكون من "كل الأعداد المركبة باستثناء 0 و1" يكون مكافئًا في التصنيف النظري للدالة ولكنه زائد في التصنيف الهندسي.

• تصميم طفل
• مشعب كايلر
• سطح لورنتز
• تعيين مجموعة الفصل
• ثنائية سيري

• نظرية التفرع
• نظرية التماثلات الذاتية لهورويتز
• نظرية الهوية لأسطح ريمان
• نظرية ريمان-روش
• صيغة ريمان-هورويتز

• "سطح ريمان"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• McMullen, C. "التحليل المركب على أسطح ريمان، الرياضيات 213ب" (PDF) . مجلة الرياضيات بجامعة هارفارد.