فرضية التماثل

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات، تنص فرضية التماثل لغروتينديك ، من الناحية النظرية التماثلية ، على أن المجموعات اللانهائية هي فضاءات .

زُعم إثبات إحدى صيغ هذه الفرضية في ورقة بحثية نشرها كابرانوف وفويفودسكي عام 1991. ^{[ 1 ] [ 2 ]} إلا أن برهانهما تبين أنه معيب، وأصبحت نتيجتهما، بالشكل الذي فسره كارلوس سيمبسون ^{[ 2 ]} ، تُعرف الآن باسم حدسية سيمبسون . ^{[ 3 ]}

في نظرية الفئات العليا ، يُنظر إلى حزمة مسبقة ذات قيم مكانية بدلاً من حزمة مسبقة ذات قيم مجموعة كما في نظرية الفئات العادية. وبناءً على فرضية التماثل، يمكن اعتبار الفضاء هنا زمرة لانهائية.

يعتمد صياغة الفرضية بدقة شديدة على تعريف الزمرة اللانهائية. أحد التعريفات هو أنه، على غرار حالة الفئة العادية، تكون الزمرة اللانهائية فئة لانهائية يكون فيها كل تشاكل قابلاً للعكس، أو بعبارة أخرى، تكون فئة التماثل الخاصة بها زمرة لانهائية.

الآن، إذا عُرّفت الفئة اللانهائية بأنها مجموعة تبسيطية تحقق شرط كان الضعيف، كما هو شائع اليوم، فإن المجموعات اللانهائية تُعادل تمامًا مركبات كان (أي مجموعات تبسيطية تحقق شرط كان) وفقًا للحجة التالية.${\displaystyle X}$هو مُركّب كان (يُنظر إليه على أنه فئة لا نهائية) و${\displaystyle f}$انظر إلى التشكل فيه${\displaystyle \sigma$ :\Lambda _{0}^{2}\to X} من القرن بحيث${\displaystyle \sigma (0\to 1)=f,\,\sigma (0\to 2)=\operatorname {id} }$بحسب شرط كان،${\displaystyle \sigma }$يمتد إلى${\displaystyle {\overline {\sigma }}:\Delta ^{2}\to X}$والصورة${\displaystyle g={\overline {\sigma }}(1\to 2)}$هو معكوس يساري لـ${\displaystyle f}$. بصورة مماثلة،${\displaystyle f}$له معكوس يميني، وبالتالي فهو قابل للعكس. أما العكس، أي أن الزمرة اللانهائية هي مُركّب كان، فهو أقل وضوحًا ويعود الفضل فيه إلى جويال (انظر نظرية جويال ). ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

بسبب ما سبق، يشيع تعريف الزمر اللانهائية ببساطة على أنها مركبات كان. الآن، تنص نظرية ميلنور وتقريب سي دبليو على أن مركبات كان تحدد تمامًا نظرية التماثل للفضاءات الطوبولوجية (المعقولة). لذا، يثبت هذا الفرضية بشكل أساسي. على وجه الخصوص، إذا عُرّفت الزمر اللانهائية على أنها مركبات كان (متجاوزةً نتيجة جويال)، فإن الفرضية تصبح شبه بديهية.

مع ذلك، إذا عُرِّفَتْ الزمرةُ اللانهائيةُ بطرقٍ مختلفة، فإنَّ الفرضيةَ تبقى عادةً مفتوحة. وعلى وجه الخصوص، فإنَّ الفرضيةَ المتعلقةَ بتعريف غروتينديك الأصلي للزمرةِ اللانهائية لا تزال مفتوحة.

هناك أيضًا نسخة من فرضية التماثل لـ (ضعيفة) n -groupoids ، والتي تقول تقريبًا ^{[ 7 ] [ 8 ]}

يتطلب البيان عدة توضيحات:

• يُعرَّف الزمرة الجزئية من الرتبة n عادةً بأنها فئة من الرتبة n حيث يكون كل تشاكل قابلاً للعكس. لذا، على وجه الخصوص، يعتمد المعنى على معنى الفئة من الرتبة n (على سبيل المثال، عادةً ما تكون نسخة ضعيفة من الفئة من الرتبة n ).
• عادةً ما تعني عبارة "نفس الشيء" نوعًا من التكافؤ (انظر أدناه)، وعادةً ما يستخدم تعريف التكافؤ بعض المفاهيم العليا مثل فئة ∞.
• يعني نوع التماثل n فضاءً طوبولوجيًا معقولًا مع مجموعات التماثل i المتلاشية، i > n عند كل نقطة أساسية (لذا فإن نوع التماثل n هنا هو في الواقع نوع تماثل n ضعيف على وجه الدقة).

علاوة على ذلك، يُفترض أن التكافؤ بين المفهومين يُعطى في اتجاه واحد بواسطة نسخة أعلى من الزمرة الأساسية ، أو الزمرة الأساسية من الرتبة n${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$من فضاء X حيث ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• الجسم هو نقطة في X ،
• 1-مورفيزم${\displaystyle f:x\to y}$هو مسار من النقطة x إلى النقطة y ، حيث تمثل التركيبات سلسلة من مسارين.
• التشكل الثنائي هو تماثل من مسار${\displaystyle f:x\to y}$إلى مسار${\displaystyle g:x\to y}$،
• التشكل الثلاثي هو "خريطة" بين التماثلات،
• وهكذا حتى الوصول إلى التشكلات من الرتبة n .

أما الاتجاه الآخر فيتم تحديده من خلال التحقيق الهندسي.

لا تزال هذه النسخة مفتوحة.

انظر أيضًا: فضاء إيلنبرغ-ماكلين ، وحدة متقاطعة .

• التماثل الجبري
• المجموعة N (نظرية الفئات)
• السعي وراء المكدسات
• شبه فئة
• مساحة طبقية

• بايز، جون سي؛ دولان، جيمس (1995). "الجبر متعدد الأبعاد ونظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي". مجلة الفيزياء الرياضية . 36 (11): 6073-6105 . arXiv : q-alg/9503002 . Bibcode : 1995JMP....36.6073B . doi : 10.1063/1.531236 .
• بايز، جون سي. (1997). "مقدمة في الفئات من الرتبة n". نظرية الفئات وعلوم الحاسوب . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  1290. الصفحات 1-33 . arXiv : q-alg/9705009 . doi : 10.1007/BFb0026978 . ISBN  978-3-540-63455-3.
• بايز، جون سي؛ دولان، جيمس (1998). "التصنيف". arXiv : math/9802029 .
• بايز، جون سي. (2007). "فرضية التماثل" (PDF) .
• بايز، جون سي؛ شولمان، مايكل (2010). "محاضرات في الفئات N وعلم التماثل". نحو الفئات العليا . مجلدات IMA في الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  152. الصفحات 1-68 . arXiv : math/0608420 . doi : 10.1007/978-1-4419-1524-5_1 . ISBN  978-1-4419-1523-8. MR 2664619 . 
• غروتينديك، ألكسندر (2021). "متابعة المكدسات". arXiv : 2111.01000 [ math.CT ].
• غورسكي، نيك؛ جونسون، نايلز؛ أوسورنو، أنجليكا م. (2019أ). "الثوابت الطوبولوجية من الفئات العليا". إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 66 (8): 1. doi : 10.1090/NOTI1934 .
• غورسكي، نيك؛ جونسون، نايلز؛ أوسورنو، أنجيليكا م. (2019ب). "فرضية التماثل المستقر ثنائي الأبعاد". مجلة الجبر البحت والتطبيقي . 223 (10): 4348-4383 . arXiv : 1712.07218 . doi : 10.1016/j.jpaa.2019.01.012 .
• هاوغسينغ، رون (2025). "نظرية الفئات العليا". موسوعة الفيزياء الرياضية . ص 1-23 . arXiv : 2401.14311 . doi : 10.1016/B978-0-323-95703-8.00206-8 . ISBN  978-0-323-95706-9.
• جويال، أ. (2002). "الفئات شبهية ومركبات كان". مجلة الجبر البحت والتطبيقي . 175 ( 1-3 ): 207-222 . doi : 10.1016/S0022-4049(02)00135-4 .
• لوري، جاكوب (2009). نظرية الطوبوس العليا (AM-170) . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780691140490JSTOR j.ctt7s47v .​ 
• لاند، ماركوس (2021). "نظرية جويال، تطبيقاتها، وتوطينات دوير-كان" . مقدمة في فئات اللانهاية . كتب مختصرة في الرياضيات. ص 97-161 . doi : 10.1007/978-3-030-61524-6_2 . ISBN  978-3-030-61523-9. Zbl 1471.18001 . 
• مالتسينيوتيس، جورج (2010). "غروتينديك${\displaystyle \infty }$-groupoids، وتعريف آخر لـ${\displaystyle \infty }$-الفئات، §2.8. حدسية غروتينديك (الصيغة الدقيقة)". arXiv : 1009.2331 [ math.CT ].
• نيكولاس، توماس (2011). "نماذج جبرية للفئات العليا" . Indagationes Mathematicae . 21 ( 1 – 2): 52 – 75. الأرخايف : 1003.1342 . دوى : 10.1016/j.indag.2010.12.004 .
• ريهل، إميلي (2023). "هل يمكن تدريس نظرية الفئات اللانهائية لطلاب المرحلة الجامعية الأولى؟". إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 70 (5): 1. doi : 10.1090/noti2692 .
• التصماني، زهير (1999). "Sur des notions de n -categorie et n -groupoide غير صارمة عبر des ensembles multi-simpliciaux (حول مفاهيم فئة n غير الصارمة و n -groupoid عبر مجموعات متعددة البساطات)". نظرية K (بالفرنسية). 16 : 51 – 99. أرخايف : alg-geom/9512006 . دوى : 10.1023/أ:1007747915317 .

• هنري، سيمون (26 مايو 2022). فرضية التماثل لغروتينديك (ملف PDF) . غروتينديك، عملاق متعدد المواهب: الرياضيات والمنطق والفلسفة .
• ريزك، تشارلز (2022). "مقدمة في شبه الفئات" (PDF) - عبر ncatlab.org.
• فرضية التماثل في مختبر ن
• "ما الخطأ في برهان فرضية التماثل (Homotopy) الذي قدمه كابرانوف وفويفودسكي؟" . MathOverflow .
• "الوضع الحالي لفرضية غروتينديك للتماثل وبرنامج وايتهيد للتماثل الجبري" . MathOverflow .