السعي وراء المكدسات

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

كتاب "ملاحقة الأكوام" ( بالفرنسية : À la Poursuite des Champs ) هو مخطوطة رياضية مؤثرة صدرت عام 1983 من تأليف ألكسندر غروتينديك . [ 1 ] ويتكون من رسالة من 12 صفحة إلى دانيال كويلين تليها حوالي 600 صفحة من الملاحظات البحثية.

يتناول هذا العمل نظرية التماثل المعممة باستخدام نظرية الفئات العليا . تشير كلمة "المجموعات" في العنوان إلى ما يُعرف اليوم باسم " المجموعات اللانهائية "، وقد أوجز غروتينديك أحد تعريفاتها في مخطوطته. ( مجموعات الهندسة الجبرية ، التي تعود أيضًا إلى غروتينديك، ليست محور هذا العمل). من بين المفاهيم التي تم تقديمها في هذا العمل المشتقات وفئات الاختبار .

تم تطوير بعض أجزاء المخطوطة لاحقاً في:

نظرة عامة على المخطوطة

أولاً: الرسالة إلى دانيال كويلين

بدأ البحث في مجال الحزم برسالة من غروتينديك إلى دانيال كويلين. يناقش فيها غروتينديك في رسالته التقدم الذي أحرزه كويلين [ 2 ] في أسس نظرية التماثل ، ويشير إلى قلة التقدم منذ ذلك الحين. ويذكر كيف كان بعض أصدقائه في جامعة بانغور ، بمن فيهم رونالد براون ، يدرسون الزمر الأساسية العليا .Πن(X){\displaystyle \Pi _{n}(X)}للفضاء الطوبولوجيX{\displaystyle X}وكيف يمكن وضع أسس هذا الموضوع ونسبته باستخدام نظرية التوبوس، مما يمهد الطريق لنظريات جيربس العليا . علاوة على ذلك، انتقد استخدام الزمر الجزئية الصارمة لوضع هذه الأسس لأنها لن تكون كافية لتطوير النظرية الكاملة التي تصورها.

وضع أفكاره حول الشكل الذي ينبغي أن تبدو عليه هذه المجموعة اللانهائية، وقدّم بعض البديهيات التي توضح كيف تصوّرها. وهي في جوهرها فئات تحتوي على كائنات، وأسهم، وأسهم بين الأسهم، وما إلى ذلك، على غرار حالة التماثلات العليا. ويُفترض أن هذا يمكن تحقيقه من خلال النظر إلى سلسلة متتالية من الفئات والدوال.

ج0→ج1→⋯→جن→جن+1→⋯{\displaystyle C_{0}\to C_{1}\to \cdots \to C_{n}\to C_{n+1}\to \cdots }

وهي خصائص عامة بالنسبة لأي نوع من الزمر العليا. وهذا يسمح بتعريف استقرائي للزمرة اللانهائية يعتمد على الكائنات.ج0{\displaystyle C_{0}}ودوال التضمينجن→جن+1{\displaystyle C_{n}\to C_{n+1}}، حيث الفئاتجن{\displaystyle C_{n}}تتبع المعلومات المتجانسة الأعلى حتى المستوىن{\displaystyle n}أُطلق على هذا النوع من البنية لاحقًا اسم " المُتَوَحِّد" لأنه يتتبع جميع الترابطات الأعلى. وقد دُرِسَت هذه البنية رسميًا من قِبَل جورج مالسينيوتيس [ 3 ]، حيث أحرز بعض التقدم في وضع هذه الأسس وإثبات فرضية التماثل .

ثانيًا: فئات الاختبار ووظائف الاختبار

دوافع غروتينديك للحصول على مجموعات أرصدة أعلى

في الواقع، يُعدّ الوصف مُماثلاً شكليًا، بل ومُطابقًا تقريبًا، لوصف مجموعات التماثل لمركب السلسلة – ويبدو بالتالي أن الرزم (وتحديدًا رزم غروتينديك) تُشكّل، بمعنى ما، أقرب تعميم غير تبادلي ممكن لمركبات السلسلة، حيث تُصبح مجموعات التماثل لمركب السلسلة هي مجموعات التماثل لـ "مركب السلسلة غير التبادلي" أو الرزمة. - غروتينديك [ 1 ] ، صفحة 23

يُفسَّر هذا لاحقًا بالحدس الذي توفره مطابقة دولد-كان : تتوافق المجموعات الأبيلية التبسيطية مع سلاسل معقدة من المجموعات الأبيلية، لذا فإن أي مجموعة أعلى مُنمذجة كمجموعة تبسيطية يجب أن تتوافق مع سلسلة معقدة "غير أبيلية".F∙{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\bullet }}علاوة على ذلك، ينبغي أن يكون لهذه العناصر تحويل تبديلي مُعطى بواسطة التماثل والتماثل المشترك، مكتوبًا بشكل موحٍ على النحو التالي:حك(X،F∙){\displaystyle H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })}أوRF*(F∙){\displaystyle \mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })}، حيث ينبغي أن يكون هناك شكلية دالة سداسية مرتبطة [ 1 ] صفحة 24. علاوة على ذلك، ينبغي أن تكون هناك نظرية مرتبطة بعمليات ليفشيتز، على غرار أطروحة رينو . [ 4 ]

لأن غروتينديك تصور صياغة بديلة للمجموعات العليا باستخدام الزمر الكروية، ولاحظ وجود نظرية مقابلة باستخدام المجموعات المكعبة ، فقد توصل إلى فكرة فئات الاختبار ودوال الاختبار. [ 1 ] صفحة 42. وباختصار، يجب أن تكون فئات الاختبار فئات.م{\displaystyle M}مع فئة من التكافؤات الضعيفةدبليو{\displaystyle W}بحيث يوجد دالة تحقيق هندسية

|⋅|:م→مساحات{\displaystyle |\cdot |:M\to {\text{Spaces}}}

وتكافؤ ضعيف

م[دبليو-1]≃حار{\displaystyle M[W^{-1}]\simeq {\text{Hot}}}

where Hot denotes the homotopy category.

See also

References

  1. 1234Grothendieck. "Pursuing Stacks". thescrivener.github.io. Archived(PDF) from the original on 30 Jul 2020. Retrieved 2020-09-17.
  2. ↑Quillen, Daniel G. (1967). Homotopical Algebra. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 43. doi:10.1007/bfb0097438. ISBN 978-3-540-03914-3. ISSN 0075-8434.
  3. ↑Maltsiniotis, Georges. "Grothendieck infinity groupoids and still another definition of infinity categories"(PDF). Archived(PDF) from the original on 3 Sep 2020.
  4. ↑Raynaud, Michèle (1974). "Théorèmes de Lefschetz en cohomologie des faisceaux cohérents et en cohomologie étale. Application au groupe fondamental". Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. 7 (1): 29–52. doi:10.24033/asens.1260.