التليف الكاني

لكل قيمة n  ≥  0، تذكر أن المعيار${\displaystyle n}$-simplex ,${\displaystyle \Delta ^{n}}$، هي المجموعة التبسيطية القابلة للتمثيل

${\displaystyle \Delta ^{n}(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\Delta } }([i],[n])}$

بتطبيق دالة التحقيق الهندسي على هذه المجموعة التبسيطية، نحصل على فضاء متماثل مع المعيار الطوبولوجي${\displaystyle n}$-simplex : الفضاء الجزئي المحدب من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$تتكون من جميع النقاط${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$بحيث تكون الإحداثيات غير سالبة ومجموعها يساوي 1.

لكل k  ≤ n ، يكون لهذا مُركب فرعي ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$، القرن رقم k في الداخل${\displaystyle \Delta ^{n}}$، وهو ما يتوافق مع حدود المجسم البسيط ذي البعد n ، مع إزالة الوجه رقم k . ويمكن تعريف هذا رسميًا بطرق مختلفة، مثل اتحاد صور الخرائط n .${\displaystyle \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$بما يتوافق مع جميع الأوجه الأخرى لـ${\displaystyle \Delta ^{n}}$[ ^{1 ] قرون} من الشكل${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$جالساً في الداخل${\displaystyle \Delta ^{2}}$تبدو مثل حرف V الأسود الموجود أعلى الصورة المجاورة. إذا${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة تبسيطية، فإن الخرائط

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

تتوافق مع مجموعات من${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$- عناصر بسيطة تحقق شرط التوافق، عنصر واحد لكل${\displaystyle 0\leq k\leq n}$. يمكن كتابة هذا الشرط صراحةً على النحو التالي. اكتب${\displaystyle (n-1)}$-العناصر البسيطة كقائمة${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$ويشترط ذلك

${\displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1}s_{i}\,}$للجميع${\displaystyle i<j}$مع${\displaystyle i,j\neq k}$[ ^{2 ]​}

هذه الشروط مستوفاة لـ${\displaystyle (n-1)}$-مبسطات من${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$جالساً في الداخل${\displaystyle \Delta ^{n}}$.

خريطة للمجموعات التبسيطية${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$يكون التليف من نوع كان إذا، لأي${\displaystyle n\geq 1}$و${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ولأي خرائط${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$و${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$بحيث${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$(أين${\displaystyle i}$يشمل ذلك تضمين${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$في${\displaystyle \Delta ^{n}}$توجد خريطة${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$بحيث${\displaystyle s=x\circ i}$و ${\displaystyle y=f\circ x}$. بهذه الطريقة، يكون التعريف مشابهًا جدًا لتعريف التليف في الطوبولوجيا (انظر أيضًا خاصية رفع التماثل )، ومن هنا جاء اسم "التليف".

يأتي مثال مهم من بناء المجسمات البسيطة المفردة المستخدمة لتعريف علم التماثل المفرد ، والذي يسمى الدالة المفردة ^{[ 4 ] صفحة 7}

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$.

مساحة معينة${\displaystyle X}$، تعريف المفرد${\displaystyle n}$-simplex لـ X ليكون تطبيقًا متصلًا من الطوبولوجيا القياسية${\displaystyle n}$-simplex (كما هو موضح أعلاه) إلى${\displaystyle X}$،

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

بأخذ مجموعة هذه الخرائط لجميع القيم غير السالبة${\displaystyle n}$يُقدّم مجموعة مُصنّفة،

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$.

لتحويل هذا إلى مجموعة تبسيطية، حدد خرائط الوجه${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$بواسطة

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

وخرائط الانحطاط${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$بواسطة

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$.

منذ اتحاد أي${\displaystyle n+1}$وجوه${\displaystyle \Delta _{n+1}}$هو انكماش تشوه قوي لـ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$يمكن تمديد أي دالة متصلة معرفة على هذه الوجوه إلى${\displaystyle \Delta _{n+1}}$مما يدل على أن${\displaystyle S(X)}$هو مركب كان. ^{[ 5 ]}

يمكن إثبات أن المجموعة التبسيطية التي تقوم عليها زمرة تبسيطية تكون دائمًا ليفية ^{[ 4 ]، صفحة 12.} وبالتحديد، بالنسبة لزمرة أبيلية تبسيطية ، فإن تمثيلها الهندسي مكافئ تماثليًا لحاصل ضرب فضاءات إيلنبرغ-ماكلين.

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

ويشمل ذلك على وجه الخصوص تصنيف المساحات . لذا فإن المساحات${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$،${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$والفضاءات العدسية اللانهائية${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$تُقابل هذه المجموعات مُركبات كان لمجموعة تبسيطية ما. في الواقع، يُمكن إنشاء هذه المجموعة صراحةً باستخدام تناظر دولد-كان لمركب سلسلة، مع أخذ المجموعة التبسيطية الأساسية للمجموعة التبسيطية الأبيلية.

ومن المصادر المهمة الأخرى للأمثلة المجموعات التبسيطية المرتبطة بزمرة صغيرة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يُعرَّف هذا بأنه التحقيق الهندسي للمجموعة التبسيطية${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$ويُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$كان بإمكاننا أيضًا استبدال${\displaystyle {\mathcal {G}}}$مع زمرة لانهائية. يُفترض أن فئة التماثل الهندسي للزمر اللانهائية مكافئة لفئة التماثل لأنواع التماثل. يُطلق على هذا اسم فرضية التماثل .

يترك${\displaystyle X}$لتكن فئة لانهائية. ثم لكل عنصر${\displaystyle x,y}$، يترك${\displaystyle \operatorname {Map} _{X}(x,y)}$كن ألياف${\displaystyle (s,t):{\underline {\operatorname {Hom} }}(\Delta ^{1},X)\to X^{2}}$تجاوز النقطة${\displaystyle (x,y)}$. ثم${\displaystyle \operatorname {Map} _{X}(x,y)}$هو مركب كان. ^{[ 6 ]}

ليكن X مركب كان. عندئذٍ المقطع النوني لبوستنيكوف${\displaystyle P_{n}X}$هي مجموعة تبسيطية بحيث${\displaystyle P_{n}X_{m}}$هو المُعادل المُشارك لـ${\displaystyle X_{m}\rightrightarrows \operatorname {cosk} _{n}X_{m}}$[ ^{7 ] عندئذٍ يمكن التحقق} من التالي مباشرة:

• ${\displaystyle P_{n}X}$هو مُركّب كان و${\displaystyle X\to P_{n}X}$هو تليف كان.
• الخريطة المستحثة${\displaystyle \pi _{i}X\to \pi _{i}P_{n}X}$هو تماثل لـ${\displaystyle i=0}$ولكل${\displaystyle 0<i\leq n}$واختيار نقطة أساسية على X.
• ${\displaystyle \pi _{i}X=0}$لكل${\displaystyle i>n}$واختيار نقطة أساسية على X.

بالنسبة لمجموعة تبسيطية X ، نفرض بعد ذلك${\displaystyle P_{n}X=P_{n}\operatorname {Ex} ^{\infty }X}$أين${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }}$هو دالة Ex∞ .

اتضح أن المعيار${\displaystyle n}$-simplex${\displaystyle \Delta ^{n}}$ليس مُركب كان ^{[ 8 ] صفحة 38.} يمكن إيجاد بناء مثال مضاد بشكل عام من خلال النظر إلى مثال منخفض الأبعاد، على سبيل المثال${\displaystyle \Delta ^{1}}$أخذ الخريطة${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$إرسال

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

يقدم مثالاً مضاداً لأنه لا يمكن تعميمه على الخريطة${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$لأن الخرائط يجب أن تحافظ على الترتيب. إذا كانت هناك خريطة، فسيتعين عليها إرسال

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

لكن هذه ليست خريطة للمجموعات التبسيطية.

للمجموعات التبسيطية${\displaystyle X,Y}$توجد مجموعة تبسيطية مرتبطة تسمى مجموعة الدوال${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$حيث تُعرَّف العناصر البسيطة على النحو التالي:

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

ولخريطة ترتيبية${\displaystyle \theta$ يوجد تطبيق مستحث :[m]\to [n]

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

(بما أن العامل الأول في Hom متغاير عكسيًا) مُعرَّف عن طريق إرسال خريطة${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$للتكوين

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta ^{n}\xrightarrow {f} Y}$

بافتراض وجود تليف (كان)${\displaystyle p:X\to Y}$وإدراج المجموعات التبسيطية${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$، هناك تليف ^{[ 4 ] صفحة 21}

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

(أين${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$(في مجموعة الدوال في فئة المجموعات التبسيطية) المستحثة من المخطط التبادلي

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

أين${\displaystyle i^{*}}$هي خريطة السحب العكسي التي تم الحصول عليها من خلال التركيب المسبق و${\displaystyle p_{*}}$هي خريطة الدفع الأمامي المُعطاة بواسطة التركيب اللاحق. وعلى وجه الخصوص، فإن التليف السابق يستلزم${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$و${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$هي تليفات.

ما سبق هو نتيجة لنظرية غابرييل وزيسمان .

باستخدام فئات النموذج، أي مجموعة تبسيطية${\displaystyle X}$يحتوي على بديل ليفي${\displaystyle {\hat {X}}}$وهو ما يكافئ تماثليًا لـ${\displaystyle X}$في فئة التماثل للمجموعات التبسيطية. ثم، مجموعات التماثل لـ${\displaystyle X}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

أين${\displaystyle {\hat {x}}}$هو مصعد من${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ل${\displaystyle {\hat {X}}}$. يمكن اعتبار هذه البدائل الليفية بمثابة نظير طوبولوجي لحلول معقد السلسلة (مثل الحل الإسقاطي أو الحل المسطح ).