مجموعة مأهولة

حدد مجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq \{0,1\}}$عبر

${\displaystyle A:=\{n\in \{0,1\}\mid (P\land n=0)\lor (\neg P\land n=1)\}}$

بوضوح${\displaystyle P\leftrightarrow 0\in A}$و${\displaystyle (\neg P)\leftrightarrow 1\in A}$ومن مبدأ عدم التناقض يستنتج المرء${\displaystyle \neg (0\in A\land 1\in A)}$. إضافي،${\displaystyle (P\lor \neg P)\leftrightarrow (0\in A\lor 1\in A)}$وبدوره

${\displaystyle (P\lor \neg P)\to \exists$ !(n\in \{0,1\})\ n\in A}

يثبت المنطق الأدنى بالفعل${\displaystyle \neg \neg (P\lor \neg P)}$، النفي المزدوج لأي عبارة وسطية مستبعدة، وهو ما يعادل هنا${\displaystyle \neg (0\notin A\land 1\notin A)}$وبذلك، من خلال إجراء عمليتيّ عكس على الاستلزام السابق، يتم إثبات${\displaystyle \neg \neg \exists$ !(n\in \{0,1\})\ n\in A} . بعبارة أخرى: لا يمكن استبعاد أن يكون أحد الأعداد فقط${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$يسكن${\displaystyle A}$وعلى وجه الخصوص، يمكن إضعاف الأخير إلى${\displaystyle \neg \neg \exists n\ n\in A}$، قائلاً${\displaystyle A}$ثبت أنها غير فارغة.

كمثال على عبارات لـ${\displaystyle P}$لنأخذ على سبيل المثال العبارات الشهيرة التي ثبت استقلالها عن النظرية، مثل فرضية الاستمرارية ، واتساق النظرية السليمة قيد الدراسة، أو، بشكل غير رسمي، ادعاء غير قابل للمعرفة حول الماضي أو المستقبل. وقد تم اختيار هذه العبارات عمدًا لتكون غير قابلة للإثبات. ويتمثل أحد أشكال هذا في النظر في القضايا الرياضية التي لم يتم إثباتها بعد - انظر أيضًا الأمثلة المضادة لبروير . إن معرفة صحة أي من هذه العبارات أمر ضروري.${\displaystyle 0\in A}$أو${\displaystyle 1\in A}$يعادل معرفة حول${\displaystyle P}$كما سبق، ولا يمكن الحصول عليه. بالنظر إلى أي منهما${\displaystyle P}$ولا${\displaystyle \neg P}$يمكن إثبات ذلك نظرياً، لكنه لن يثبت أيضاً${\displaystyle A}$أن يسكنها عدد معين. علاوة على ذلك، لا يمكن لإطار بناء يتمتع بخاصية الفصل أن يثبت${\displaystyle P\lor \neg P}$ولا يوجد أي دليل.${\displaystyle 0\in A}$ولا لـ${\displaystyle 1\in A}$ويعكس عدم إمكانية إثبات انفصالهما هذا الأمر. ومع ذلك، بما أن استبعاد الوسط المرفوع غير متسق دائمًا، فقد ثبت أيضًا أن${\displaystyle A}$ليست فارغة. يعتمد المنطق الكلاسيكي${\displaystyle P\lor \neg P}$بشكل بديهي، مما يفسد القراءة البناءة.

توجد مجموعات متنوعة يسهل وصفها، ولا يمكن إثبات وجودها في${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$، ولكن يُفترض وجودها ضمنيًا من خلال بديهية الاختيار الكاملة${\displaystyle {\mathrm {AC} }}$وبالتالي، فإن هذه البديهية مستقلة في حد ذاتها عن${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$بل إنها تتعارض في الواقع مع بديهيات أخرى محتملة لنظرية المجموعات. علاوة على ذلك، فهي تتعارض أيضًا مع المبادئ البنائية في سياق نظرية المجموعات. كما أن النظرية التي لا تسمح بمبدأ الوسط المرفوع لا تُثبت صحة مبدأ وجود الدالة.${\displaystyle {\mathrm {AC} }}$.

في${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$، ال${\displaystyle {\mathrm {AC} }}$يكافئ هذا القول أن لكل فضاء متجهي أساسًا . لذا ، بتعبير أدق، لننظر في مسألة وجود أساس هامل للأعداد الحقيقية فوق الأعداد النسبية . هذا الأمر صعب المنال بمعنى وجود احتمالات مختلفة.${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$النماذج التي تنفي وجودها وتؤكده. لذا، من المنطقي أيضًا افتراض أن الوجود لا يمكن استبعاده هنا، بمعنى أنه لا يمكن نفيه بشكل متسق. مرة أخرى، يمكن التعبير عن هذا الافتراض بأن مجموعة قواعد هاميل هذه غير فارغة. في نظرية بنائية، يكون هذا الافتراض أضعف من افتراض الوجود الصريح، ولكنه (بحكم التصميم) لا يزال قويًا بما يكفي لنفي جميع القضايا التي من شأنها أن تستلزم عدم وجود قاعدة هاميل.