نظرية المجموعات البنائية

مع ظهور قضايا غير قابلة للحسم حسابيًا في حساب روبنسون ، فإن مجرد الفصل التنبؤي يسمح بتعريف المجموعات الجزئية المراوغة بسهولة. وعلى النقيض تمامًا من الإطار الكلاسيكي، يمكن إغلاق نظريات المجموعات البنائية بموجب قاعدة أن أي خاصية قابلة للحسم لجميع المجموعات هي مكافئة بالفعل لإحدى الخاصيتين التافهتين.${\displaystyle \top }$أو${\displaystyle \bot }$كذلك، يمكن اعتبار خط الأعداد الحقيقية غير قابل للتحليل بهذا المعنى. كما يؤثر عدم قابلية الحسم في عمليات الفصل على الادعاءات المتعلقة بالترتيب الكلي، مثل ترتيب جميع الأعداد الترتيبية ، والذي يُعبَّر عنه بإمكانية إثبات ورفض العبارات في الترتيب الذي يُحدد الفصل.${\displaystyle (\alpha \in \beta )\lor (\alpha =\beta )\lor (\beta \in \alpha )}$يُحدد هذا ما إذا كانت العلاقة ثلاثية التفرع . ويؤثر ضعف نظرية الأعداد الترتيبية بدوره على قوة البرهان النظري المُحددة في تحليل الأعداد الترتيبية .

في المقابل، يمكن لنظريات المجموعات البنائية أن تُظهر خصائص فصل ووجود جذابة ، كما هو معروف من دراسة نظريات الحساب البنائية. هذه سمات لنظرية ثابتة تربط منطقيًا أحكام القضايا القابلة للإثبات في النظرية. وقد حظيت هذه السمات بدراسة وافية، لا سيما تلك التي يمكن التعبير عنها في حساب هيتينغ ، باستخدام مُكمِّمات على الأعداد، والتي غالبًا ما يمكن تحقيقها بالأعداد، كما هو مُصاغ في نظرية الإثبات . وعلى وجه الخصوص، هذه هي خاصية الوجود العددي وخاصية الفصل المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا، بالإضافة إلى كونها مغلقة بموجب قاعدة تشرش ، مما يشهد على أن أي دالة معينة قابلة للحساب . ^{[ 2 ]}

لا تقتصر نظرية المجموعات على التعبير عن نظريات الأعداد فحسب، ولذا يمكن النظر في خاصية وجود قوية أكثر عمومية، وهي خاصية يصعب إثباتها، كما سيتم توضيحه. تتمتع النظرية بهذه الخاصية إذا أمكن إثبات ما يلي: لأي خاصية${\displaystyle \phi }$إذا أثبتت النظرية وجود مجموعة تتمتع بتلك الخاصية، أي إذا ادعت النظرية وجود مجموعة، فإن هذه الخاصية موجودة أيضاً.${\displaystyle \psi }$وهذا يصف بشكل فريد حالة مجموعة كهذه. وبشكل أكثر رسمية، لأي مسند${\displaystyle \phi }$يوجد مسند${\displaystyle \psi }$لهذا السبب.

${\displaystyle {\mathsf {T}}\vdash \exists x.\phi (x)\implies {\mathsf {T}}\vdash \exists !x.\phi (x)\land \psi (x)}$

تؤدي المجموعات المُعرَّفة، التي ثبت وجودها من خلال النظرية أو وفقًا لها، دورًا مشابهًا لدور الأعداد المُتحققة في الحساب. وتُعدّ المسائل المتعلقة بقوة نظرية المجموعات البديهية وعلاقتها ببناء الحدود دقيقة. فبينما تميل العديد من النظريات التي نُوقشت إلى امتلاك جميع الخصائص العددية المختلفة، إلا أن خاصية الوجود قد تُفقد بسهولة، كما سيُناقش لاحقًا. وقد صِيغت أشكال أضعف لخصائص الوجود.

يمكن تقييد بعض النظريات ذات القراءة الكلاسيكية للوجود بحيث تُظهر خاصية الوجود القوي. في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، حيث تُعتبر جميع المجموعات قابلة للتعريف الترتيبي ، تُسمى هذه النظرية بـ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+({\mathrm {V} }={\mathrm {HOD} })}$لا توجد مجموعات بدون هذه الخاصية القابلة للتعريف. كما يتم فرض هذه الخاصية من خلال مسلمة الكون القابل للبناء في${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+({\mathrm {V} }={\mathrm {L} })}$وللمقارنة، انظر إلى النظرية${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$مقدم من${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$بالإضافة إلى مسلمة وجود الاختيار الكاملة : تذكر أن هذه المجموعة من المسلمات تثبت نظرية الترتيب الجيد ، مما يعني وجود ترتيبات جيدة لأي مجموعة. على وجه الخصوص، هذا يعني أن العلاقات${\displaystyle W\subset {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }}$توجد رسمياً تلك التي تثبت الترتيب الجيد لـ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$(أي أن النظرية تدعي وجود عنصر أصغر لجميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle {\mathbb {R} }}$(فيما يتعلق بتلك العلاقات). هذا على الرغم من حقيقة أن قابلية تعريف مثل هذا الترتيب معروفة بأنها مستقلة عن${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$وهذا يعني أنه لا توجد صيغة محددة${\displaystyle \psi }$بلغة النظرية، هل تثبت النظرية أن المجموعة المقابلة هي علاقة ترتيب جيدة للأعداد الحقيقية؟${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$يثبت رسميًا وجود مجموعة جزئية${\displaystyle W\subset {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }}$مع خاصية كونها علاقة ترتيب جيدة، ولكن في الوقت نفسه لا توجد مجموعة معينة${\displaystyle W}$يمكن تحديد الخصائص التي يمكن التحقق من صحتها.

كما ذكرنا أعلاه، نظرية بناءة${\displaystyle {\mathsf {T}}}$قد تُظهر خاصية الوجود العددي،${\displaystyle {\mathsf {T}}\vdash \exists e.\psi (e)\implies {\mathsf {T}}\vdash \psi ({\underline {\mathrm {e} }})}$، لعدد ما${\displaystyle {\mathrm {e} }}$وأين${\displaystyle {\underline {\mathrm {e} }}}$يشير إلى الرقم المقابل في النظرية الصورية. هنا يجب التمييز بدقة بين الاستلزام القابل للإثبات بين قضيتين.${\displaystyle {\mathsf {T}}\vdash P\to Q}$وخصائص النظرية من الشكل${\displaystyle {\mathsf {T}}\vdash P\implies {\mathsf {T}}\vdash Q}$عند اعتماد مخطط مُثبت ميتافيزيقيًا من النوع الأخير كقاعدة استدلال في حساب البرهان، وعدم إمكانية إثبات أي شيء جديد، يُقال إن النظرية${\displaystyle {\mathsf {T}}}$مغلق بموجب تلك القاعدة.

يمكن للمرء بدلاً من ذلك اعتبار إلحاق القاعدة المقابلة للخاصية ما وراء النظرية بمثابة استلزام (بمعنى "${\displaystyle \to }$") ل${\displaystyle {\mathsf {T}}}$، كنموذج بديهي أو في شكل كمي. ومن الحالات التي تُدرس عادةً حالة ثابتة${\displaystyle {\mathsf {T}}}$يُظهر الخاصية الميتا-نظرية من النوع التالي: على سبيل المثال، من مجموعة من الصيغ ذات شكل معين، والتي تم التقاطها هنا عبر${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi }$، أثبت أحدهم وجود عدد${\displaystyle {\mathrm {e} }}$لهذا السبب.${\displaystyle {\mathsf {T}}\vdash \phi \implies {\mathsf {T}}\vdash \psi ({\underline {\mathrm {e} }})}$وهنا يمكن للمرء أن يفترض${\displaystyle \phi \to \exists (e\in {\mathbb {N} }).\psi (e)}$، حيث الحدود${\displaystyle e}$هو متغير عددي في لغة النظرية. على سبيل المثال، قاعدة تشرش هي قاعدة مقبولة في حساب هايتينغ من الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathsf {HA}}}$وعلاوة على ذلك، مبدأ أطروحة الكنيسة المقابل${\displaystyle {\mathrm {CT} }_{0}}$قد يتم اعتمادها باستمرار كمسلّمة. النظرية الجديدة مع إضافة المبدأ هي نظرية مناهضة للتقليدية، حيث قد لا يكون من المتسق اعتمادها أيضًا.${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$وبالمثل، فإن تطبيق مبدأ الوسط المرفوع${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$إلى بعض النظريات${\displaystyle {\mathsf {T}}}$قد تُثبت النظرية التي تم التوصل إليها بهذه الطريقة عبارات جديدة وكلاسيكية بحتة، وقد يؤدي ذلك إلى إفساد بعض الخصائص ما وراء النظرية التي تم إثباتها سابقًا لـ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$وبهذه الطريقة،${\displaystyle {\mathrm {CT} }_{0}}$قد لا يتم اعتمادها في${\displaystyle {\mathsf {HA}}+{\mathrm {PEM} }}$، والمعروفة أيضًا باسم حساب بيانو${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$.

سيركز هذا القسم الفرعي على نظريات المجموعات مع التكميم على مفهوم رسمي كامل لفضاء المتتاليات اللانهائية، أي فضاء الدوال، كما سيتم تقديمه لاحقًا. ويمكن هنا ترجمة قاعدة تشرش إلى لغة النظرية نفسها على النحو التالي:

${\displaystyle \forall (f\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }).\exists (e\in {\mathbb {N} }).{\Big (}\forall (n\in {\mathbb {N} }).\exists (w\in {\mathbb {N} }).T(e,n,w)\land U(w,f(n)){\Big )}}$

تُعبّر دالة كلين T، بالإضافة إلى استخراج النتائج، عن أن أي رقم مُدخل${\displaystyle n}$يتم ربطها بالرقم${\displaystyle f(n)}$من خلال${\displaystyle w}$، وقد ثبت أنها عملية حسابية. هنا${\displaystyle {\mathbb {N} }}$يشير الآن إلى نموذج نظرية المجموعات للأعداد الطبيعية القياسية و${\displaystyle e}$هو فهرس بالنسبة إلى تعداد برنامج ثابت. وقد استُخدمت صيغ أقوى تُوسّع هذا المبدأ ليشمل الدوال.${\displaystyle f\in {\mathbb {N} }^{X}}$مُعرّفة على نطاقات${\displaystyle X\subset {\mathbb {N} }}$ذات تعقيد منخفض. يرفض المبدأ قابلية الحسم بالنسبة للمسند.${\displaystyle Q(e)}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \exists (w\in {\mathbb {N} }).T(e,e,w)}$معبراً عن ذلك${\displaystyle e}$هو فهرس دالة قابلة للحساب تتوقف عند فهرسها الخاص. يمكن أيضًا النظر في أشكال أضعف، ذات نفي مزدوج، من المبدأ، والتي لا تتطلب وجود تطبيق تكراري لكل${\displaystyle f}$لكن هذا لا يزال يجعل المبادئ التي تدّعي وجود دوال ثبت عدم وجود تحقق تكراري لها غير متسقة. بل إن بعض أشكال أطروحة الكنيسة كمبدأ تتسق مع نظرية الحساب الكلاسيكية الضعيفة التي تُسمى نظرية الحساب من الدرجة الثانية.${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$، نظام فرعي من نظرية الرتبة الأولى المصنفة إلى نوعين${\displaystyle {\mathsf {Z}}_{2}}$.

تُعتبر مجموعة الدوال القابلة للحساب مجموعة فرعية قابلة للعد كلاسيكيًا ، وهو ما يُعادل كونها قابلة للعد كلاسيكيًا. لكن نظريات المجموعات الكلاسيكية ستدّعي عمومًا أن${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$يحتوي أيضًا على وظائف أخرى غير الوظائف القابلة للحساب. على سبيل المثال، يوجد برهان في${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$أن الدوال الكلية (بمعنى نظرية المجموعات) موجودة بالفعل ولا يمكن لآلة تورينج أن تستوعبها . وبالنظر إلى العالم القابل للحساب على أنه أنطولوجيا، فإن أحد الأمثلة الرئيسية على مفهوم غير كلاسيكي مرتبط بالمدرسة الماركوفية هو إمكانية عدّ المجموعات غير القابلة للعد جزئيًا. فعند اعتماد إمكانية عدّ مجموعة جميع المتتاليات غير المنتهية من الأعداد الطبيعية (${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$كبديهية في نظرية بنائية، فإن "صغر" هذه المجموعة (بالمصطلحات الكلاسيكية)، في بعض تطبيقات نظرية المجموعات، يكون مُجسَّدًا بالفعل في النظرية نفسها. وقد لا تتبنى النظرية البنائية بديهيات كلاسيكية أو مضادة للكلاسيكية، وبالتالي تبقى محايدة تجاه أيٍّ من الاحتمالين.

تُثبت المبادئ البنّاءة بالفعل${\displaystyle \forall (x\in X).\neg \neg {\big (}Q(x)\lor \neg Q(x){\big )}}$لأي${\displaystyle Q}$وهكذا بالنسبة لأي عنصر معين${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X}$، وبالتالي لا يمكن نفي العبارة الوسطى المستبعدة المقابلة للمقولة. في الواقع، لأي قيمة معطاة${\displaystyle x}$، وبسبب عدم التناقض، يستحيل استبعاد${\displaystyle Q(x)}$وإذا استبعدنا نفيها معًا، فإن قاعدة دي مورغان ذات الصلة تُطبق كما سبق. ولكن قد تسمح النظرية في بعض الحالات أيضًا بادعاء الرفض.${\displaystyle \neg \forall (x\in X).{\big (}Q(x)\lor \neg Q(x){\big )}}$لا يستلزم تبني هذا الأمر تقديم شيء معين${\displaystyle t\in X}$يشهد فشل نظرية الوسط المرفوع في هذا الاقتراح المحدد${\displaystyle Q(t)}$أي مشاهدة التناقض${\displaystyle \neg {\big (}Q(t)\lor \neg Q(t){\big )}}$. المسندات${\displaystyle Q(x)}$في نطاق لانهائي${\displaystyle X}$تتوافق مع مشاكل القرار . انطلاقًا من المشاكل التي ثبت عدم إمكانية حلها حسابيًا ، يمكن للمرء أن يرفض إمكانية حل محمول دون تقديم أي ادعاء بالوجود في${\displaystyle X}$كمثال آخر، يتم فرض مثل هذا الوضع في التحليل الحدسي لبروير ، في حالة يكون فيها المُكمِّم يمتد على عدد لا نهائي من المتتاليات الثنائية غير المنتهية و${\displaystyle Q(x)}$ينص على أن التسلسل${\displaystyle x}$تكون صفرًا في كل مكان. وفيما يتعلق بهذه الخاصية، المتمثلة في كونها محددة بشكل قاطع على أنها متتالية ثابتة إلى الأبد، فإن اعتماد مبدأ براور للاستمرارية يستبعد تمامًا إمكانية إثبات قابلية هذا الأمر للتقرير لجميع المتتاليات.

لذا، في سياق بنائي باستخدام ما يُسمى بالمنطق غير الكلاسيكي كما هو مُستخدم هنا، يُمكن اعتماد بديهيات تتعارض مع الصيغ الكمية للوسط المرفوع، ولكنها في الوقت نفسه غير بنائية بالمعنى الحسابي أو وفقًا لخصائص الوجود الميتافيزيقية التي نوقشت سابقًا. وبهذه الطريقة، يُمكن لنظرية المجموعات البنائية أن تُوفر إطارًا لدراسة النظريات غير الكلاسيكية، كالحلقات التي تُنمذج التحليل اللامتناهي السلس .

العديد من النظريات التي تمت دراستها في نظرية المجموعات البنائية ليست سوى قيود على نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$) فيما يتعلق ببديهياتها ومنطقها الأساسي. ويمكن تفسير هذه النظريات أيضًا في أي نموذج من نماذج${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$.

بمقارنة الحساب بنظريات لغة نظرية المجموعات من جهة، فإن حساب بيانو الكلاسيكي${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$يمكن تفسيرها تفسيراً مزدوجاً وفقاً للنظرية التي قدمها${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ناقص اللانهاية وبدون مجموعات لانهائية، بالإضافة إلى وجود جميع الإغلاقات المتعدية . (يُستنتج هذا الأخير أيضًا بعد ترقية الانتظام إلى مخطط استقراء المجموعات ، والذي سيتم مناقشته أدناه). وبالمثل، يمكن اعتبار الحساب البنّاء بمثابة تبرير لمعظم البديهيات المعتمدة في${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$حساب هيتينغ${\displaystyle {\mathsf {HA}}}$قابلة للتفسير الثنائي باستخدام نظرية مجموعات بناءة ضعيفة، ^{[ 8 ] [ 9 ]} كما هو موضح أيضًا في المقالة حول${\displaystyle {\mathsf {HA}}}$يمكن للمرء أن يصف علاقة العضوية حسابيًا.${\displaystyle \in }$"وبذلك أثبت - بدلاً من وجود مجموعة من الأعداد الطبيعية${\displaystyle \omega }$- أن جميع المجموعات في نظريتها في تقابل مع مجموعة فون نيومان الطبيعية (المحدودة) ، وهو مبدأ يُرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathrm {V} }={\mathrm {Fin} }}$يؤكد هذا السياق صحة مفاهيم الامتداد، والاقتران، والاتحاد، والتقاطع الثنائي (المرتبط بمخطط بديهيات الفصل التنبؤي )، ومخطط استقراء المجموعات. وباعتبارها بديهيات، تشكل المبادئ المذكورة نظرية مجموعات مطابقة بالفعل للنظرية التي قدمها${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$باستثناء وجود${\displaystyle \omega }$لكن بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle {\mathrm {V} }={\mathrm {Fin} }}$كمسلّمة. جميع هذه المسلّمات مُفصّلة أدناه. وفي هذا السياق،${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$يثبت ذلك أيضًا أن المجموعات المنتهية وراثيًا تحقق جميع البديهيات السابقة. وهذه نتيجة تبقى قائمة عند الانتقال إلى${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$و${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ناقص اللانهاية. على الطرف الآخر،${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$بالإضافة إلى أن الفصل الكامل ليس أقوى من الحساب الكلاسيكي من الدرجة الثانية.

فيما يتعلق بالتحقيقات البنّاءة، توجد نظرية تحقيق ذات صلة . وفي هذا السياق، نظرية أكسل البنّاءة زيرميلو-فرانكل${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$تم تفسير ذلك في نظريات من نوع مارتن-لوف ، كما هو موضح في القسم الخاص بـ${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$وبهذه الطريقة، فإن النظريات القابلة للإثبات في هذه النظريات والنظريات الأضعف هي مرشحة للتنفيذ الحاسوبي.

تم أيضًا تقديم نماذج ما قبل الحزم لنظريات المجموعات البنائية. وهي مماثلة لنماذج ما قبل الحزم لنظرية المجموعات الحدسية التي طورها دانا سكوت في ثمانينيات القرن الماضي. ^{[ 10 ] [ 11 ]} نماذج قابلية التحقق لـ${\displaystyle {\mathsf {CZF}}}$تم تحديد بعض العناصر ضمن النطاق الفعال ، والتي، على سبيل المثال، تؤكد في آن واحد على الفصل الكامل، والاختيار التابع النسبي${\displaystyle {\mathrm {RDC} }}$استقلالية الفرضية${\displaystyle {\mathrm {IP} }}$بالنسبة للمجموعات، ولكن أيضًا بالنسبة لإمكانية عد المجموعات الفرعية، مبدأ ماركوف${\displaystyle {\mathrm {MP} }}$وأطروحة تشيرش${\displaystyle {\mathrm {CT} _{0}}}$في صياغة جميع المسندات. ^{[ 12 ]}

تُعدّ رموز الربط المنطقية المستخدمة في تكوين الصيغ النحوية قياسية. وتُتيح بديهيات نظرية المجموعات وسيلةً لإثبات المساواة .${\displaystyle =}$"من المجموعات، ويمكن استخدام هذا الرمز، عن طريق إساءة استخدام الترميز ، للدلالة على الفئات. تُسمى المجموعة التي يكون فيها مسند المساواة قابلاً للتقرير مجموعة منفصلة . النفي "${\displaystyle \neg }$يُطلق على "عدم المساواة" أحيانًا اسم "إنكار المساواة"، ويُكتب عادةً على النحو التالي:${\displaystyle \neq }$". ومع ذلك، في سياق علاقات الانفصال ، على سبيل المثال عند التعامل مع التسلسلات، يتم استخدام الرمز الأخير أحيانًا لشيء مختلف.

إن المعالجة الشائعة، كما تم اعتمادها هنا أيضاً، لا توسع المنطق الأساسي إلا من خلال محمول ثنائي بدائي واحد لنظرية المجموعات، "${\displaystyle \in }$"كما هو الحال مع المساواة، فإن نفي العنصرية هو "${\displaystyle \in }$"غالباً ما تُكتب "${\displaystyle \notin }$".

أسفل اليونان${\displaystyle \phi }$يشير إلى متغير اقتراح أو مسند في مخططات البديهيات و${\displaystyle P}$أو${\displaystyle Q}$يُستخدم هذا المصطلح لوصف هذه المسندات تحديدًا. كما تُستخدم كلمة "مسند" أحيانًا بشكل متبادل مع كلمة "صيغ"، حتى في حالة المسند الأحادي .

لا تشمل المحددات الكمية إلا المجموعات، ويُرمز لهذه المجموعات بأحرف صغيرة. وكما هو شائع، يمكن استخدام أقواس الوسائط للتعبير عن المسندات، وذلك لتسليط الضوء على متغيرات حرة معينة في صياغتها النحوية، كما في "${\displaystyle Q(z)}$وجود فريد ${\displaystyle \exists !x.Q(x)}$هنا تعني${\displaystyle \exists x.\forall y.{\big (}y=x\leftrightarrow Q(y){\big )}}$.

وكما هو شائع، يتم استخدام تدوين بناء المجموعات للفئات ، والتي لا تُعد في معظم السياقات جزءًا من لغة الكائنات، ولكنها تُستخدم للمناقشة الموجزة. على وجه الخصوص، يمكن إدخال تعريفات التدوين للفئة المقابلة عبر "${\displaystyle A=\{z\mid Q(z)\}}$"، لغرض التعبير عن أي${\displaystyle Q(a)}$مثل${\displaystyle a\in A}$يمكن استخدام المسندات المتكافئة منطقيًا لتقديم نفس الفئة. ويكتب المرء أيضًا${\displaystyle \{z\in B\mid Q(z)\}}$كاختصار لـ${\displaystyle \{z\mid z\in B\land Q(z)\}}$على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يفكر${\displaystyle \{z\in B\mid z\notin C\}}$ويُشار إلى ذلك أيضاً بـ${\displaystyle B\setminus C}$.

يختصر المرء${\displaystyle \forall z.{\big (}z\in A\to Q(z){\big )}}$بواسطة${\displaystyle \forall (z\in A).Q(z)}$و${\displaystyle \exists z.{\big (}z\in A\land Q(z){\big )}}$بواسطة${\displaystyle \exists (z\in A).Q(z)}$يمكن للمفهوم النحوي للكمية المحدودة بهذا المعنى أن يلعب دورًا في صياغة مخططات البديهيات، كما يتضح من مناقشة البديهيات أدناه. عبّر عن ادعاء الفئة الفرعية${\displaystyle \forall (z\in A).z\in B}$، أي${\displaystyle \forall z.(z\in A\to z\in B)}$، بواسطة${\displaystyle A\subset B}$. بالنسبة للمسند${\displaystyle Q}$، بشكل تافه${\displaystyle \forall z.{\big (}(z\in B\land Q(z))\to z\in B{\big )}}$وبالتالي فإن ذلك${\displaystyle \{z\in B\mid Q(z)\}\subset B}$مفهوم الكميات المحدودة بمجموعات فرعية، كما في${\displaystyle \forall (z\subset A).z\in B}$وقد تم استخدامها أيضًا في البحث النظري للمجموعات، ولكن لن يتم تسليط الضوء عليها هنا.

إذا ثبت وجود مجموعة داخل فئة، أي${\displaystyle \exists z.(z\in A)}$ثم يُطلق عليه اسم مأهول . ويمكن أيضًا استخدام التحديد الكمي في${\displaystyle A}$للتعبير عن ذلك على النحو التالي:${\displaystyle \exists (z\in A).(z=z)}$الفصل${\displaystyle A}$إذن، من المؤكد أن المجموعة ليست فارغة، كما سيتم تقديمه لاحقًا. في حين أن مصطلح " غير فارغة بنّاءة" مكافئ له في الرياضيات الكلاسيكية، إلا أنه مفهوم أضعف يتضمن نفيين، ويُفضل تسميته " غير خالية من السكان ". لسوء الحظ، نادرًا ما يُستخدم مصطلح "مأهولة" في الرياضيات الكلاسيكية، وهو المصطلح الأكثر فائدة.

إن وجود طريقتين للتعبير عن أن الفئات منفصلة يجسد العديد من قواعد النفي الصحيحة حدسياً:${\displaystyle {\big (}\forall (x\in A).x\notin B{\big )}\leftrightarrow \neg \exists (x\in A).x\in B}$باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، يُعد هذا تكافؤًا منطقيًا بحتًا، وفي هذه المقالة، يمكن التعبير عن القضية أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle A\cap B=\{\}}$.

فئة فرعية${\displaystyle A\subset B}$يُطلق عليه اسم قابل للفصل من${\displaystyle B}$إذا كانت خاصية العضوية النسبية قابلة للتقرير، أي إذا${\displaystyle \forall (x\in B).x\in A\lor x\notin A}$يُعتبر قابلاً للتقرير أيضاً إذا كانت الفئة العليا واضحة من السياق - وغالباً ما تكون هذه مجموعة الأعداد الطبيعية.

يرمز بـ${\displaystyle A\simeq B}$العبارة التي تعبر عن أن فئتين لهما نفس العناصر تمامًا، أي${\displaystyle \forall z.(z\in A\leftrightarrow z\in B)}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle (A\subset B)\land (B\subset A)}$. لا ينبغي الخلط بين هذا ومفهوم التساوي في العدد المستخدم أدناه.

مع${\displaystyle A}$يرمز إلى${\displaystyle \{z\mid Q(z)\}}$العلاقة الرمزية الملائمة بين${\displaystyle x\in A}$و${\displaystyle Q(x)}$، بديهيات من الشكل${\displaystyle \exists a.\forall z.{\big (}z\in a\leftrightarrow Q(z){\big )}}$نفترض أن فئة جميع المجموعات التي${\displaystyle Q}$يشكل العنصر `holds` في الواقع مجموعة . ويمكن التعبير عن ذلك بشكل أقل رسمية على النحو التالي:${\displaystyle \exists a.a\simeq A}$وبالمثل، فإن الاقتراح${\displaystyle \forall a.(a\simeq A)\to P(a)}$ينقل "${\displaystyle P(A)}$متى${\displaystyle A}$"من بين مجموعات النظرية." في الحالة التي${\displaystyle P}$إذا كان هذا المسند خاطئًا بشكل بديهي، فإن القضية تعادل نفي ادعاء الوجود السابق، معبرة عن عدم وجود${\displaystyle A}$كمجموعة.

تُستخدم امتدادات أخرى لترميز فهم الفئات كما هو مذكور أعلاه بشكل شائع في نظرية المجموعات، مما يعطي معنى لعبارات مثل "${\displaystyle \{f(z)\mid Q(z)\}\simeq \{\langle x,y,z\rangle \mid T(x,y,z)\}}$وهكذا دواليك.

بشكل أكثر عمومية من الناحية التركيبية، مجموعة${\displaystyle w}$ويمكن أيضًا وصفها باستخدام مسند ثنائي آخر${\displaystyle R}$حوض${\displaystyle \forall x.x\in w\leftrightarrow R(x,w)}$، حيث قد يعتمد الجانب الأيمن على المتغير الفعلي${\displaystyle w}$وربما حتى على أساس العضوية في${\displaystyle w}$نفسها.

على الرغم من اعتمادها في كثير من الأحيان، فقد تعرضت هذه البديهية لانتقادات في الفكر البنّاء، لأنها تدمج بشكل فعال الخصائص المختلفة التعريف، أو على الأقل المجموعات التي يُنظر إليها على أنها امتداد لهذه الخصائص، وهو مفهوم فريجي .

قد تهدف نظريات الأنواع الحديثة بدلاً من ذلك إلى تحديد التكافؤ المطلوب.${\displaystyle \simeq }$فيما يتعلق بالوظائف، انظر على سبيل المثال تكافؤ الأنواع . غالبًا ما لا يتم اعتماد المفهوم ذي الصلة بامتداد الوظائف في نظرية الأنواع.

قد تتطلب أطر أخرى للرياضيات البنائية بدلاً من ذلك قاعدة معينة للمساواة أو الانفصال تأتي من العناصر${\displaystyle z\in x}$من كل مجموعة${\displaystyle x}$تمت مناقشته. ولكن أيضاً في نهج المجموعات الذي يؤكد على التباعد، هل يمكن استخدام التعريف أعلاه من حيث المجموعات الجزئية لتوصيف مفهوم المساواة؟${\displaystyle \simeq }$من تلك المجموعات الفرعية. وبالمثل، مفهوم فضفاض لتتميم مجموعتين فرعيتين${\displaystyle u\subset x}$و${\displaystyle v\subset x}$يُمنح عندما يكون أي عضوين${\displaystyle s\in u}$و${\displaystyle t\in v}$من المؤكد أنهما منفصلان عن بعضهما البعض. مجموعة الأزواج المتكاملة${\displaystyle \langle u,v\rangle }$يتصرف بشكل جيد من الناحية الجبرية .

يكتب${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle S0}$، وهو ما يساوي${\displaystyle \{\{\}\}}$، أي${\displaystyle \{0\}}$وبالمثل، اكتب${\displaystyle 2}$ل${\displaystyle S1}$، وهو ما يساوي${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\}}$، أي${\displaystyle \{0,1\}}$ومن الأمثلة على ذلك، على سبيل المثال، قضية بسيطة وثبت خطؤها.${\displaystyle \{\}\in \{\}}$، بما يتوافق مع${\displaystyle 0<0}$في النموذج الحسابي القياسي. ومرة ​​أخرى، هنا رموز مثل${\displaystyle \{\}}$تُعامل هذه الرموز على أنها رموز ملائمة، وأي قضية تُترجم فعليًا إلى تعبير باستخدام "${\displaystyle \in }$والرموز المنطقية، بما في ذلك المحددات الكمية. مصحوبة بتحليل ما وراء رياضي يُبين أن قدرات النظريات الجديدة متكافئة بطريقة فعالة، وامتدادات رسمية بواسطة رموز مثل${\displaystyle 0}$قد يتم النظر في ذلك أيضاً.

وبشكل أعم، بالنسبة لمجموعة${\displaystyle x}$، حدد مجموعة الخلفاء${\displaystyle Sx}$مثل${\displaystyle x\cup \{x\}}$إن التفاعل بين عملية الخلف وعلاقة العضوية يتضمن عبارة تكرارية، بمعنى أن${\displaystyle (y\in Sx)\leftrightarrow (y\in x\lor y=x)}$. من خلال انعكاسية المساواة،${\displaystyle x\in Sx}$وعلى وجه الخصوص${\displaystyle Sx}$مأهولة بالسكان دائماً.

نظرية المجموعات البنائية الأساسية${\displaystyle {\mathsf {BCST}}}$يتألف من عدة بديهيات تُعدّ جزءًا من نظرية المجموعات القياسية، باستثناء بديهية الفصل "الكامل" التي تم إضعافها. وبالإضافة إلى البديهيات الأربع المذكورة أعلاه، فإنه يفترض الفصل التنبؤي ومخطط الاستبدال.

تُعتبر هذه البديهية بمثابة افتراض وجود مجموعة${\displaystyle s}$يتم الحصول عليها من خلال تقاطع أي مجموعة${\displaystyle y}$وأي فئة موصوفة بشكل تنبؤي${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$لأي${\displaystyle z}$ثبت أنها مجموعة، عندما يتم اعتبار المسند${\displaystyle \phi (x):=x\in z}$، يحصل المرء على التقاطع الثنائي للمجموعات ويكتب${\displaystyle s=y\cap z}$. يتطابق التقاطع مع الاقتران بطريقة مماثلة لكيفية تطابق الاتحاد مع الانفصال.

عندما يُؤخذ المسند على أنه النفي${\displaystyle \phi (x):=x\notin z}$وبذلك نحصل على مبدأ الفرق، الذي يضمن وجود أي مجموعة${\displaystyle y\setminus z}$لاحظ أن المجموعات مثل${\displaystyle y\setminus y}$أو${\displaystyle \{x\in y\mid \neg (x=x)\}}$تكون المجموعات فارغة دائمًا. لذا، كما ذُكر، من مبدأ الفصل ووجود مجموعة واحدة على الأقل (مثل اللانهاية أدناه) سيترتب وجود المجموعة الفارغة.${\displaystyle \{\}}$(يشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle 0}$). ضمن هذا السياق المحافظ لـ${\displaystyle {\mathsf {BCST}}}$إنّ مخطط الفصل التنبؤي يُعادل في الواقع المجموعة الفارغة بالإضافة إلى وجود التقاطع الثنائي لأي مجموعتين. ولا يستخدم هذا النوع الأخير من البديهيات مخططًا للصيغ.

الفصل الإسنادي هو مخطط يأخذ في الاعتبار الجوانب النحوية للمسندات المُعرِّفة للمجموعات، وصولاً إلى التكافؤ القابل للإثبات. ويُرمز إلى الصيغ المسموح بها بـ${\displaystyle \Delta _{0}}$، وهو أدنى مستوى في التسلسل الهرمي لـ ليفي في نظرية المجموعات . ^{[ 13 ]} لا تُقيّد المسندات العامة في نظرية المجموعات نحويًا بهذه الطريقة، ولذلك، عمليًا، تظل الفئات الفرعية العامة للمجموعات جزءًا من اللغة الرياضية. وبما أن نطاق الفئات الفرعية التي يمكن إثبات أنها مجموعات يتأثر بالمجموعات الموجودة بالفعل، فإن هذا النطاق يتسع عند إضافة مسلمات أخرى لوجود المجموعات.

يُطلق على الفئة التي تحتوي على عنصر واحد على الأكثر اسم فئة فرعية أحادية. بالنسبة لقضية${\displaystyle P}$من الأساليب المتكررة في التحليل البنّاء لنظرية المجموعات النظر إلى المسند${\displaystyle x=0\land P}$باعتباره العنصر الفرعي المنفرد${\displaystyle B:=\{x\in 1\mid P\}}$، وهو فئة فرعية من الترتيب الثاني${\displaystyle 1:=S0=\{0\}}$إذا كان من الممكن إثبات ذلك${\displaystyle P}$يحجز، أو${\displaystyle \neg P}$، أو${\displaystyle \neg \neg P}$، ثم${\displaystyle B}$مأهولة، أو فارغة (غير مأهولة)، أو غير فارغة (غير غير مأهولة)، على التوالي. من الواضح،${\displaystyle P}$يكافئ كلا الاقتراحين${\displaystyle 0\in B}$وأيضًا${\displaystyle B=1}$. على نفس المنوال،${\displaystyle \neg P}$يعادل${\displaystyle B=0}$وبالمثل، كذلك${\displaystyle \neg (0\in B)}$إذن، هنا،${\displaystyle B}$قابل للفصل من${\displaystyle 1}$بالضبط يعني${\displaystyle P\lor \neg P}$في نموذج الأعداد الطبيعية، إذا${\displaystyle B}$هو رقم،${\displaystyle 0\in B}$ويعبر أيضاً عن ذلك${\displaystyle 0}$أصغر من${\displaystyle B}$يمكن استخدام الاتحاد الذي يُعد جزءًا من تعريف عملية الخلف أعلاه للتعبير عن عبارة الوسط المستبعد على النحو التالي:${\displaystyle 0\in SB}$بكلمات أخرى،${\displaystyle P}$يكون القرار قابلاً للبت فيه إذا وفقط إذا كان خليفة${\displaystyle B}$أكبر من أصغر عدد ترتيبي${\displaystyle 0}$الاقتراح ${\displaystyle P}$يتم تحديد ذلك في كلا الاتجاهين من خلال تحديد كيفية${\displaystyle 0}$أصغر: بواسطة${\displaystyle 0}$أصغر بالفعل من${\displaystyle B}$أو عن طريق${\displaystyle 0}$كون${\displaystyle SB}$سلفها المباشر. طريقة أخرى للتعبير عن مفهوم الوسط المرفوع لـ${\displaystyle P}$يتمثل ذلك في وجود أقل عدد من أفراد الفئة المأهولة${\displaystyle b:=B\cup \{1\}}$.

إذا سمحت بديهية الفصل الخاصة بالفرد بالفصل مع${\displaystyle P}$، ثم${\displaystyle B}$هي مجموعة فرعية ، والتي يمكن تسميتها قيمة الصواب المرتبطة بـ${\displaystyle P}$يمكن إثبات تساوي قيمتين صحيحتين، كمجموعتين، بإثبات تكافؤهما. وبناءً على هذا المصطلح، يمكن فهم مجموعة قيم الإثبات مسبقًا على أنها غنية. ومن غير المستغرب أن القضايا القابلة للتقرير لها إحدى مجموعتين من القيم الصحيحة. ويُعدّ الفصل الأوسط المستبعد مثالًا على ذلك.${\displaystyle P}$ويتضح ذلك أيضاً من البيان العالمي${\displaystyle \forall b.(0\in b)\lor (0\notin b)}$.

عند استخدام مصطلحات الأصناف غير الرسمية، تُعتبر أي مجموعة صنفًا أيضًا. في الوقت نفسه، توجد ما يُسمى بالأصناف الحقيقية التي لا يمكن أن يكون لها امتداد كمجموعة. عندما يكون هناك برهان في نظرية ما لـ${\displaystyle \neg \exists x.A\subset x}$، ثم${\displaystyle A}$يجب أن يكون ذلك مناسبًا. (عند اتخاذ منظور${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$في نظرية المجموعات، التي تتميز بالفصل التام، تُعتبر الفئات المناسبة عمومًا تلك التي "أكبر من أن تُشكّل مجموعة". وبشكل أدق، هي فئات فرعية من التسلسل الهرمي التراكمي تتجاوز أي حد ترتيبي.

بحسب ملاحظة في قسم دمج المجموعات، لا يمكن استبعاد مجموعة ما بشكل قاطع من كونها عضوًا في فئة من الشكل${\displaystyle A\cup \{x\mid x\notin A\}}$البرهان البنّاء على انتمائه لتلك الفئة يتضمن معلومات. الآن إذا${\displaystyle A}$إذا كانت مجموعة، فإن الفئة${\displaystyle \{x\mid x\notin A\}}$من الممكن إثبات صحة ذلك. يوضح ما يلي ذلك في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle A}$تكون فارغة، أي عندما يكون الجانب الأيمن هو الفئة الشاملة. وبما أنها نتائج سلبية، فإنها تُقرأ كما في النظرية الكلاسيكية.

ينطبق ما يلي على أي علاقة${\displaystyle E}$. إنه يعطي شرطًا منطقيًا بحتًا بحيث يكون هناك حدان${\displaystyle s}$و${\displaystyle y}$لا يمكن أن يكون${\displaystyle E}$-مرتبطة ببعضها البعض.

${\displaystyle {\big (}\forall x.xEs\leftrightarrow (xEy\land \neg xEx){\big )}\to \neg (yEs\lor sEs\lor sEy)}$

الأهم هنا هو رفض الجزء الأخير من الجملة المنفصلة،${\displaystyle \neg sEy}$التعبير${\displaystyle \neg (x\in x)}$لا يتضمن ذلك تحديدًا كميًا غير محدود، وبالتالي فهو مسموح به في الفصل. ويُظهر بناء راسل بدوره أن${\displaystyle \{x\in y\mid x\notin x\}\notin y}$لذلك بالنسبة لأي مجموعة${\displaystyle y}$الفصل التنبؤي وحده يعني وجود مجموعة ليست عضوًا في${\displaystyle y}$. على وجه الخصوص، لا يمكن أن توجد مجموعة شاملة في هذه النظرية.

وفي نظرية أخرى تتبنى بديهية الانتظام ، مثل${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$، مثبت${\displaystyle x\in x}$خطأ لأي مجموعة${\displaystyle x}$إذن، هذا يعني أن المجموعة الفرعية${\displaystyle \{x\in y\mid x\notin x\}}$يساوي${\displaystyle y}$نفسها، وأن الفصل${\displaystyle \{x\mid x\in x\}}$هي المجموعة الفارغة.

لأي${\displaystyle E}$و${\displaystyle y}$الحالة الخاصة${\displaystyle s=y}$الصيغة أعلاه تعطي

${\displaystyle \neg {\big (}\forall x.xEy\leftrightarrow \neg xEx{\big )}}$

هذا يعني ضمناً أنه لا توجد مجموعة${\displaystyle y}$يساوي الفئة الفرعية${\displaystyle \{x\mid x\notin x\}}$من الفئة العامة، أي أن تلك الفئة الفرعية هي فئة مناسبة أيضًا. ولكن حتى في${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$بدون الانتظام، من المتسق أن يكون هناك فئة مناسبة من العناصر الفردية التي تحتوي كل منها على نفسها تمامًا.

على سبيل المثال، في نظرية ذات طبقات مثل "الأسس الجديدة الحدسية" ، التعبير النحوي${\displaystyle x\in x}$قد يُمنع ذلك في نظرية الفصل. وبالتالي، لا يمكن إجراء البرهان المذكور أعلاه لنفي وجود مجموعة شاملة، في تلك النظرية.

يُطلق على مخطط البديهيات الخاص بالفصل التنبؤي أيضًا اسم${\displaystyle \Delta _{0}}$الفصل أو الفصل المحدود، كما في الفصل الخاص بالمحددات الكمية المحدودة بالمجموعة فقط. (ملاحظة تحذيرية: تسمية التسلسل الهرمي لليفي هي قياسًا على${\displaystyle \Delta _{0}^{0}}$في التسلسل الهرمي الحسابي ، على الرغم من أن المقارنة قد تكون دقيقة: يُعبَّر عن التصنيف الحسابي أحيانًا ليس نحويًا، بل من حيث الفئات الفرعية للأعداد الطبيعية. كذلك، فإن المستوى الأدنى من التسلسل الهرمي الحسابي له عدة تعريفات مشتركة، بعضها لا يسمح باستخدام بعض الدوال الكلية. ولا ينطبق تمييز مماثل على المستوى${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$أو أعلى. وأخيرًا، لاحظ أن أ${\displaystyle \Delta _{0}}$يمكن التعبير عن تصنيف الصيغة حتى التكافؤ في النظرية.

يُعد هذا المخطط أيضًا الطريقة التي يُضعف بها ماك لين نظامًا قريبًا من نظرية مجموعة زيرميلو${\displaystyle {\mathsf {Z}}}$، وذلك للأسس الرياضية المتعلقة بنظرية التوبوس . كما يُستخدم أيضًا في دراسة المطلقية ، وهو جزء من صياغة نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك .

يُقيّد القيد الوارد في البديهية أيضًا التعريفات غير التنبؤية : لا ينبغي، في أحسن الأحوال، الادعاء بوجود كائنات لا يمكن وصفها صراحةً، أو التي يتضمن تعريفها ذاتها أو الإشارة إلى فئة مناسبة، كما هو الحال عندما تتضمن خاصيةٌ ما مُكمِّمًا كليًا. لذا، في نظرية بنائية بدون بديهية مجموعة القوى ، عندما${\displaystyle R}$يشير إلى بعض المسندات الثنائية، ولا ينبغي عمومًا توقع وجود فئة فرعية${\displaystyle s}$ل${\displaystyle y}$أن تكون مجموعة، في حالة تعريفها، على سبيل المثال، كما في

${\displaystyle \{x\in y\mid \forall t.{\big (}(t\subset y)\to R(x,t){\big )}\}}$،

أو عبر تعريفات مماثلة تتضمن أي عملية تحديد كمي للمجموعات${\displaystyle t\subset y}$لاحظ أنه إذا كانت هذه الفئة الفرعية${\displaystyle s}$ل${\displaystyle y}$إذا ثبت أن هذه المجموعة الجزئية هي مجموعة، فإن هذه المجموعة الجزئية نفسها تقع أيضًا ضمن النطاق غير المحدود لمتغير المجموعة.${\displaystyle t}$بمعنى آخر، كخاصية الفئة الفرعية${\displaystyle s\subset y}$إذا تحققت هذه المجموعة بالضبط${\displaystyle s}$، مُعرَّف باستخدام التعبير${\displaystyle R(x,s)}$، سيلعب دوراً في تحديد خصائصه.

بينما يؤدي الفصل التنبؤي إلى تقليل عدد تعريفات الفئات المعطاة التي تُعتبر مجموعات، تجدر الإشارة إلى أن العديد من تعريفات الفئات المتكافئة كلاسيكيًا لا تكون كذلك عند الاقتصار على المنطق الأضعف. ونظرًا لاحتمالية عدم قابلية الحسم للمسندات العامة، فإن مفهوم المجموعة الجزئية والفئة الجزئية يكون تلقائيًا أكثر تفصيلًا في نظريات المجموعات البنائية منه في النظريات الكلاسيكية. وبالتالي، نحصل على نظرية أوسع. ويبقى هذا صحيحًا حتى في حال اعتماد الفصل الكامل، كما هو الحال في النظرية${\displaystyle {\mathsf {IZF}}}$إلا أن ذلك يُفسد خاصية الوجود، فضلاً عن التفسيرات النظرية النوعية القياسية، وبالتالي يُفسد النظرة التصاعدية للمجموعات البنائية. وبالمناسبة، بما أن التنميط الفرعي ليس سمة ضرورية لنظرية الأنواع البنائية ، فيمكن القول إن نظرية المجموعات البنائية تختلف تماماً عن هذا الإطار.

ثم لننظر في

يُقرّ هذا المفهوم بوجود نطاق من المسندات الشبيهة بالدوال، المُستمدة من مجالاتها، كمجموعات. في الصيغة المذكورة أعلاه، لا يُقيّد المسند كما هو الحال في مخطط الفصل، ولكن هذه البديهية تتضمن بالفعل مُكمِّمًا وجوديًا في المقدمة. بالطبع، يمكن النظر في مخططات أضعف أيضًا.

عن طريق الاستبدال، وجود أي زوج${\displaystyle \{x,y\}}$وينطبق هذا أيضاً على أي زوج آخر معين، مثل${\displaystyle \{0,1\}=2=SS0}$لكن الاتحاد الثنائي المستخدم في${\displaystyle S}$وبالاستناد إلى مبدأ الاقتران، فإن هذا النهج يستلزم افتراض وجود${\displaystyle 2}$مقارنة بـ${\displaystyle 0}$في نظرية تتضمن بديهية مجموعة القوى غير التنبؤية، فإن وجود${\displaystyle 2\subset {\mathcal {P}}{\mathcal {P}}0}$ويمكن أيضًا توضيح ذلك باستخدام الفصل.

باستخدام مخطط الاستبدال، تُثبت النظرية الموضحة حتى الآن أن فئات التكافؤ أو المجاميع المفهرسة هي مجموعات. على وجه الخصوص، فإن حاصل الضرب الديكارتي ، الذي يضم جميع أزواج عناصر مجموعتين، هو مجموعة. وبدوره، لأي عدد ثابت (في النظرية الفوقية)، فإن تعبير الضرب المقابل، على سبيل المثال،${\displaystyle x\times x\times x\times x}$يمكن بناء ، كمجموعة. سيتم مناقشة المتطلبات البديهية للمجموعات المعرفة بشكل متكرر في اللغة بمزيد من التفصيل أدناه. مجموعة${\displaystyle x}$منفصلة، ​​أي تساوي العناصر داخل المجموعة${\displaystyle x}$تكون قابلة للتقرير، إذا كانت العلاقة المقابلة كمجموعة جزئية من${\displaystyle x\times x}$قابل للحسم.

يُعدّ الاستبدال ذا صلة بفهم الدوال ، ويمكن اعتباره شكلاً من أشكال الفهم بشكل عام. فقط عند افتراض${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$هل يعني الاستبدال بالضرورة الفصل التام؟${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$يُعدّ الاستبدال مهمًا في الغالب لإثبات وجود مجموعات ذات رتبة عالية ، وتحديدًا من خلال أمثلة لمخطط البديهية حيث${\displaystyle \phi (x,y)}$يتعلق بمجموعة صغيرة نسبياً${\displaystyle x}$إلى الأكبر حجماً،${\displaystyle y}$.

تتميز نظريات المجموعات البنائية عادةً بمخطط استبدال بديهيات، يقتصر أحيانًا على صيغ محدودة. ومع ذلك، عند حذف بديهيات أخرى، غالبًا ما يتعزز هذا المخطط - ليس بشكل مفرط.${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$بل إن الهدف هو استعادة بعض قوة الإثبات فحسب. توجد بديهيات أقوى من هذا القبيل لا تُفسد خصائص الوجود القوي للنظرية، كما سيتم توضيحه لاحقًا.

لو${\displaystyle i_{X}}$ثبت أنها دالة على${\displaystyle X}$وهو مزود بنطاق مشترك${\displaystyle Y}$(سيتم مناقشة كل ذلك بالتفصيل أدناه)، ثم صورة${\displaystyle i_{X}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle Y}$. في مناهج أخرى لمفهوم المجموعة، يتم تعريف مفهوم المجموعات الجزئية من حيث "العمليات"، على هذا النحو.

مُعلقات عناصر فئة المجموعات المنتهية وراثيًا${\displaystyle H_{\aleph _{0}}}$يمكن تطبيقها في أي لغة برمجة شائعة. تجرّد البديهيات المذكورة أعلاه العمليات الشائعة على نوع بيانات المجموعة : يرتبط الاقتران والاتحاد بالتداخل والتسطيح ، أو معًا بالتسلسل. يرتبط الاستبدال بالفهم ، ويرتبط الفصل بالتصفية التي غالبًا ما تكون أبسط . يكفي الاستبدال مع استقراء المجموعة (المُقدّم أدناه) لوضع البديهيات${\displaystyle H_{\aleph _{0}}}$بشكل بنّاء، وتُدرس هذه النظرية أيضاً بدون اللانهاية.

يُعدّ مبدأ الاقتران مزيجًا بين مبدأي الاقتران والاتحاد، وهو مبدأ يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمبدأ التالي . [ ^{14 ] [ 15 ] وتُعدّ} هذه المبادئ ذات صلة بالنمذجة القياسية للأعداد الترتيبية الفردية لنيومان . كما توجد صيغ بديهية تجمع بين الاتحاد والاستبدال في صيغة واحدة. مع ذلك، فإن افتراض الاستبدال ليس ضروريًا في تصميم نظرية مجموعات بنائية ضعيفة قابلة للتفسير الثنائي باستخدام حساب هيتينغ.${\displaystyle {\mathsf {HA}}}$، وهو شكل من أشكال الاستقراء. وللمقارنة، لننظر إلى النظرية الكلاسيكية الضعيفة للغاية المسماة نظرية المجموعات العامة ، والتي تفسر فئة الأعداد الطبيعية وحساباتها من خلال التمديد والاقتران والفصل الكامل فقط.

ينتقل النقاش الآن إلى البديهيات التي تُقرّ بوجود كائنات، والتي توجد أيضًا، بأشكال مختلفة ولكنها مترابطة، في نظريات الأنواع التابعة ، وتحديدًا الضرب ومجموعة الأعداد الطبيعية كمجموعة كاملة. تُعدّ المجموعات اللانهائية مفيدة بشكل خاص للاستدلال على العمليات المُطبقة على المتتاليات المُعرّفة على مجالات فهرسة غير محدودة ، مثل التفاضل الرسمي لدالة مولدة أو جمع متتاليتين من نوع كوشي.

إذا ما دعت الحاجة إلى تبرير، فإن فائدة افتراض وجود مجموعة أعداد غير محدودة في علاقتها بخصائص استقرائية أخرى تتضح في مناقشة الحساب في نظرية المجموعات لاحقًا. ولكن كما هو معروف في نظرية المجموعات الكلاسيكية، يمكن أيضًا صياغة أشكال ضعيفة للانهائية. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يفترض ببساطة وجود مجموعة استقرائية ما.${\displaystyle \exists y.\mathrm {Ind} _{y}}$- يكفي مثل هذا الافتراض الوجودي عندما يمكن استخدام الفصل الكامل لاستخلاص المجموعة الفرعية الاستقرائية${\displaystyle w}$من الأعداد الطبيعية، وهي المجموعة الفرعية المشتركة لجميع الفئات الاستقرائية. بدلاً من ذلك، يمكن اعتماد مسلمات وجودية أكثر تحديدًا. في كلتا الحالتين، تحقق المجموعة الاستقرائية ما يلي:${\displaystyle \Delta _{0}}$خاصية وجود السلف بمعنى نموذج فون نيومان :

${\displaystyle \forall m.(m\in w)\leftrightarrow {\big (}m=0\lor \exists (p\in w).Sp=m{\big )}}$

دون استخدام الترميز الخاص بالترميز اللاحق المحدد سابقًا، فإن المساواة الامتدادية مع الخلف${\displaystyle Sp=m}$يتم التقاطها بواسطة${\displaystyle \forall n.(n\in m)\leftrightarrow (n=p\lor n\in p)}$وهذا يعبر عن أن جميع العناصر${\displaystyle m}$إما أن تكون مساوية لـ${\displaystyle 0}$أو يمتلكون مجموعة سابقة${\displaystyle p\in w}$والتي تشترك في جميع الأعضاء الآخرين مع${\displaystyle m}$.

لاحظ ذلك من خلال التعبير "${\displaystyle \exists (p\in w)}$"على الجانب الأيمن، الخاصية التي تميز${\displaystyle w}$من قبل طلابها${\displaystyle m}$يحتوي هنا أيضًا من الناحية التركيبية على الرمز${\displaystyle w}$بحد ذاتها. ونظرًا لطبيعة الأعداد الطبيعية التصاعدية، فإن هذا الأمر لا يُشكل عائقًا هنا. بافتراض${\displaystyle \Delta _{0}}$- ضع جهاز الحث فوق${\displaystyle {\mathsf {ECST}}}$لا توجد مجموعتان مختلفتان تمتلكان هذه الخاصية. تجدر الإشارة أيضًا إلى وجود صيغ أطول لهذه الخاصية، تتجنب استخدام "${\displaystyle \exists (p\in w)}$"مؤيداً للمحددات الكمية غير المحدودة".

باعتماد بديهية اللانهاية، فإن التحديد الكمي المحدود بالمجموعة قانوني في المسندات المستخدمة في${\displaystyle \Delta _{0}}$يسمح الفصل صراحةً باستخدام المحددات الكمية غير المحدودة عدديًا - يجب عدم الخلط بين المعنيين لكلمة "محدود".${\displaystyle \omega }$في متناول اليد، اتصل بفئة من الأرقام${\displaystyle I\subset \omega }$تكون محدودة إذا تحققت عبارة الوجود التالية

${\displaystyle \exists (m\in \omega ).\forall (n\in \omega ).(n\in I\to n<m)}$

هذا بيانٌ عن التناهي، ويمكن صياغته أيضاً بشكل مكافئ عبر${\displaystyle m\leq n\to n\notin I}$وبالمثل، لكي تعكس مناقشة الدوال أدناه بشكل أدق، ضع في اعتبارك الشرط أعلاه بالشكل التالي${\displaystyle \exists (m\in \omega ).\forall (n\in I).(n<m)}$أما بالنسبة للخصائص القابلة للتقرير، فهذه هي${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$-العبارات في الحساب، ولكن مع بديهية اللانهاية، يكون المحددان الكميان مرتبطين بمجموعة.

لفصل دراسي${\displaystyle C}$، عبارة اللاحدودية الإيجابية منطقياً

${\displaystyle \forall (k\in \omega ).\exists (j\in \omega ).(k\leq j\land j\in C)}$

أصبح الآن أيضاً أحد اللانهاية.${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$في حالة الحساب القابل للتقرير. للتحقق من لانهائية مجموعة، تعمل هذه الخاصية حتى لو احتوت المجموعة على عناصر أخرى بالإضافة إلى عدد لانهائي من عناصرها.${\displaystyle \omega }$.

فيما يلي، جزء أولي من الأعداد الطبيعية، أي${\displaystyle \{n\in \omega \mid n<m\}}$لأي${\displaystyle m\in \omega }$ويُرمز إلى المجموعة الفارغة، بما في ذلك، بـ${\displaystyle \{0,1,\dots ,m-1\}}$هذه المجموعة تساوي${\displaystyle m}$وهكذا عند هذه النقطة "${\displaystyle m-1}$" هو مجرد رمز للسابق (أي لا يتضمن دالة الطرح).