معادلة تكاملية تفاضلية

لنفترض المسألة التالية من الدرجة الثانية،

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{مع}}\qquad u(0)=0,}$

أين

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

هي دالة هيفسايد المتدرجة . ويُعرَّف تحويل لابلاس كما يلي:

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

بإجراء تحويلات لابلاس حدًا حدًا، وباستخدام قواعد المشتقات والتكاملات، يتم تحويل المعادلة التكاملية التفاضلية إلى المعادلة الجبرية التالية،

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

هكذا،

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

ثم يؤدي عكس تحويل لابلاس باستخدام طرق التكامل الكفافي إلى

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

بدلاً من ذلك، يمكن للمرء إكمال المربع واستخدام جدول تحويلات لابلاس ("موجة جيبية متناقصة أُسّيًا") أو الاستذكار من الذاكرة للمتابعة:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Integro-differential equations have found applications in epidemiology, the mathematical modeling of epidemics, particularly when the models contain age-structure^[3] or describe spatial epidemics.^[4] The Kermack-McKendrick theory of infectious disease transmission is one particular example where age-structure in the population is incorporated into the modeling framework.