إكمال المربع

الصيغة في الجبر الابتدائي لحساب مربع ذات الحدين هي: $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

في أي مربع كامل، يكون معامل x ضعف العدد p ، والحد الثابت يساوي p ² .

لنفترض وجود متعددة حدود تربيعية كما يلي : $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

هذه المعادلة التربيعية ليست مربعًا كاملاً، لأن 28 ليس مربع العدد 5: $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

ومع ذلك، من الممكن كتابة المعادلة التربيعية الأصلية على شكل مجموع هذا المربع وثابت: $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

يُطلق على هذا اسم إكمال المربع .

بفرض أي دالة تربيعية أحادية المعامل$${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$ من الممكن تكوين مربع له نفس الحدين الأولين: $${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

يختلف هذا المربع عن المعادلة التربيعية الأصلية فقط في قيمة الحد الثابت. لذلك، يمكننا كتابة $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$ أين${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$تُعرف هذه العملية بإكمال المربع . على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

بفرض وجود متعددة حدود تربيعية على الصورة $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$ من الممكن استخراج المعامل a ، ثم إكمال المربع للحصول على متعددة الحدود أحادية المعامل الناتجة .

مثال: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$ يمكن تبسيط عملية استخراج العامل a بشكل أكبر باستخراجه فقط من الحدين الأولين. ولا داعي لإدراج الحد الثابت في نهاية كثيرة الحدود.

مثال: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

وهذا يسمح بكتابة أي متعددة حدود تربيعية على الصورة $${\displaystyle a(xh)^{2}+k.}$$

بخلاف الطرق التي تتضمن تحليل المعادلة، والتي لا تكون موثوقة إلا إذا كانت الجذور نسبية ، فإن إكمال المربع سيجد جذور المعادلة التربيعية حتى عندما تكون تلك الجذور غير نسبية أو مركبة . على سبيل المثال، لنفترض المعادلة التالية: $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

إكمال المربع يعطي $${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$ لذا $${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$ ثم إما $${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

باختصار أكثر: $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$ لذا $${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

يمكن التعامل مع المعادلات ذات الجذور المركبة بنفس الطريقة. على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام إكمال المربع لتقييم أي تكامل من الشكل $${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$ باستخدام التكاملات الأساسية $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التكامل $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

بإكمال المربع في المقام نحصل على: $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

يمكن الآن تقييم ذلك باستخدام التعويض u  = x + 3، مما ينتج عنه    $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

ضع في اعتبارك التعبير $${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$ حيث z و b عددان مركبان ، و z ^* و b ^* هما المرافقان المركبان لـ z و b على التوالي، و c عدد حقيقي . باستخدام المتطابقة | u | ^² = uu ^*، يمكننا إعادة كتابة هذا على النحو التالي: $${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$ وهي كمية حقيقية بوضوح. وذلك لأن $${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

كمثال آخر، التعبير $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$ حيث a و b و c و x و y أعداد حقيقية، مع a > 0 و b > 0، يمكن التعبير عنها بدلالة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب. عرّف     $${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$ لذا $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

تكون المصفوفة M متماثلة القوة عندما ^يكون M² = M. تعمم المصفوفات متماثلة القوة خصائص التماثل للصفر والواحد . تُستخدم طريقة إكمال المربع لمعالجة المعادلة $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$ يوضح أن بعض المصفوفات المتساوية القوة 2×2 يتم تحديدها بواسطة دائرة في المستوى ( أ ، ب ):

المصفوفة${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$سيكون متطابقًا بشرط${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$والتي، عند إكمال المربع، تصبح $${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$ في المستوى ( أ ، ب )، هذه هي معادلة دائرة مركزها (1/2، 0) ونصف قطرها 1/2.

عن طريق الكتابة $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$ نبين أن مجموع عدد موجب x ومقلوبه يكون دائمًا أكبر من أو يساوي 2. مربع التعبير الحقيقي يكون دائمًا أكبر من أو يساوي صفرًا، مما يعطي الحد المذكور؛ وهنا نصل إلى 2 عندما يكون x يساوي 1، مما يؤدي إلى تلاشي المربع.

لننظر في مسألة تحليل كثير الحدود $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

هذا هو $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$^{إذن ،} الحد الأوسط هو 2( x² ) ( 18) = 36x² ^. وبالتالي نحصل على   $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$ (تمت إضافة السطر الأخير لمجرد اتباع اصطلاح تناقص درجات الحدود).

تُظهر الحجة نفسها أن${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$يمكن تحليلها دائمًا إلى عواملها الأولية كما يلي: $${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$ (المعروفة أيضاً بهوية صوفي جيرمان ).