نموذج تسعير الأصول الرأسمالية بين الفترات الزمنية

في مجال التمويل الرياضي ، يُعد نموذج تسعير الأصول الرأسمالية بين الفترات الزمنية ( ICAPM ) ، الذي ابتكره روبرت سي. ميرتون ، ^{[ 1 ]} بديلاً لنموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM). وهو نموذج خطي يعتمد على عوامل مختلفة، حيث تُعتبر الثروة متغيرًا أساسيًا ، ويتنبأ بالتغيرات في توزيع العوائد أو الدخل المستقبلي .

في نموذج تسعير الأصول الرأسمالية المتكامل (ICAPM)، يتخذ المستثمرون قرارات استهلاكية طويلة الأجل في ظل وجود أكثر من عامل عدم يقين. ويكمن الاختلاف الرئيسي بين نموذج ICAPM ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية القياسي (CAPM) في متغيرات الحالة الإضافية التي تُراعي حقيقة أن المستثمرين يتحوطون ضد النقص في الاستهلاك أو ضد التغيرات في مجموعة فرص الاستثمار المستقبلية .

يدرس ميرتون سوقًا مستمرًا زمنيًا في حالة توازن. ويتبع متغير الحالة (X) حركة براونية :

${\displaystyle dX=\mu dt+sdZ}$

يُعظّم المستثمر منفعته وفقًا لنظرية فون نيومان-مورجنسترن :

${\displaystyle E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}}$

حيث T هو الأفق الزمني و B[W(T),T] هي المنفعة من الثروة (W).

يواجه المستثمر القيد التالي على الثروة (W). لنفترض${\displaystyle w_{i}}$ليكن الوزن المستثمر في الأصل i. إذن:

${\displaystyle W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]}$

أين${\displaystyle r_{i}}$يمثل العائد على الأصل i. أما التغير في الثروة فهو:

${\displaystyle dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}$

يمكننا استخدام البرمجة الديناميكية لحل المشكلة. على سبيل المثال، إذا نظرنا في سلسلة من مسائل الزمن المتقطع:

${\displaystyle \max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}}$

ثم، يُعطي توسيع تايلور ما يلي:

${\displaystyle \int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt}$

أين${\displaystyle t^{*}}$هي قيمة تقع بين t و t+dt.

بافتراض أن العوائد تتبع حركة براونية :

${\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}$

مع:

${\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad$ ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad  ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}

ثم إلغاء الحدود من الرتبة الثانية وما فوقها:

${\displaystyle dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}$

باستخدام معادلة بيلمان ، يمكننا إعادة صياغة المسألة:

${\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}}$

مع مراعاة قيد الثروة المذكور سابقاً.

باستخدام مبرهنة إيتو، يمكننا إعادة كتابة ما يلي:

${\displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

والقيمة المتوقعة:

${\displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

بعد بعض العمليات الجبرية ^{[ 2 ]} ، نحصل على دالة الهدف التالية:

${\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}$

أين${\displaystyle r_{f}}$هو العائد الخالي من المخاطر. شروط الدرجة الأولى هي:

${\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}$

في شكل مصفوفة، لدينا:

${\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

أين${\displaystyle \alpha }$هو متجه العوائد المتوقعة،${\displaystyle \Omega }$مصفوفة التغاير للعوائد،${\displaystyle {\mathbf {1} }}$متجه الوحدة${\displaystyle cov_{rX}}$التباين المشترك بين العوائد ومتغير الحالة. الأوزان المثلى هي:

${\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}$

لاحظ أن النموذج الزمني المتعدد يوفر نفس أوزان نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) . ويمكن التعبير عن العوائد المتوقعة على النحو التالي:

${\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}$

حيث m هي محفظة السوق و ha هي محفظة التحوط لمتغير الحالة.

• اختيار المحفظة الاستثمارية عبر الزمن

• ميرتون، آر سي، (1973)، نموذج تسعير الأصول الرأسمالية بين الفترات الزمنية. إيكونومتريكا 41، المجلد 41، العدد 5. (سبتمبر 1973)، الصفحات  867-887
• "كفاءة المحفظة متعددة العوامل وتسعير الأصول متعدد العوامل" بقلم يوجين ف. فاما، ( مجلة التحليل المالي والكمي )، المجلد 31، العدد 4، ديسمبر 1996