اختيار المحفظة الاستثمارية عبر الزمن

إذا كانت دالة منفعة المستثمر هي دالة المنفعة اللوغاريتمية للثروة النهائية مع تجنب المخاطر${\displaystyle W_{T},}$

${\displaystyle {\text{Utility}}=\ln W_{T},}$

عندئذٍ تكون القرارات منفصلة زمنيًا. ^{[ 1 ]} لنفترض أن الثروة الأولية (المبلغ القابل للاستثمار في الفترة الأولية) هي${\displaystyle W_{0}}$ولنفترض أن عائد المحفظة العشوائي في أي فترة (المقدار الذي لا يمكن التنبؤ به تمامًا والذي ينمو أو ينكمش إليه متوسط ​​الدولار في المحفظة في فترة معينة t ) هو${\displaystyle R_{t}.}$${\displaystyle R_{t}}$يعتمد ذلك على توزيع المحفظة الاستثمارية - الكسور ${\displaystyle w_{it}}$من الثروة الحالية${\displaystyle W_{t-1}}$الأصول الموروثة من الفترة السابقة والتي يتم تخصيصها في بداية الفترة t للأصول i (حيث i = 1، ...، n ). لذا:

${\displaystyle W_{T}=W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}}$

أين

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt},}$

أين${\displaystyle r_{it}}$يشير إلى العائد العشوائي (المقدار الذي لا يمكن التنبؤ به تمامًا والذي ينمو إليه متوسط ​​الدولار) للأصل i للفترة t ، وحيث الأسهم${\displaystyle w_{it}}$( i = 1, ..., n ) مقيدة بحيث يكون مجموعها 1. بأخذ لوغاريتم${\displaystyle W_{T}}$أعلاه للتعبير عن المنفعة المشروطة بالنتيجة، مع استبدالها بـ${\displaystyle R_{t}}$لكل قيمة t ، وبأخذ القيمة المتوقعة للوغاريتم${\displaystyle W_{T}}$يعطي تعبير المنفعة المتوقعة المراد تعظيمها:

${\displaystyle \ln[W_{0}]+\sum _{t=1}^{T}{\text{E}}\ln[w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}].}$

الشروط التي تتضمن أسهم الاختيار${\displaystyle w_{it}}$بالنسبة لـ t المختلفة ، تكون منفصلة بشكل إضافي، مما يؤدي إلى نتيجة الاستقلال الزمني للقرارات المثلى : إن التحسين لأي فترة قرار معينة t يتضمن أخذ مشتقات تعبير منفصل بشكل إضافي واحد فيما يتعلق بالأسهم المختلفة، ولا تحتوي شروط الدرجة الأولى للأسهم المثلى في فترة معينة على معلومات العائد العشوائي أو معلومات القرار لأي فترة أخرى.

على غرار دالة المنفعة اللوغاريتمية، تُظهر دالة المنفعة الأسية ، لأي قيمة لمعامل الأس، كراهية نسبية ثابتة للمخاطرة ، وهي خاصية تميل إلى جعل القرارات تتوسع بشكل متناسب دون تغيير مع زيادة الثروة الأولية. دالة المنفعة الأسية هي

${\displaystyle {\text{Utility}}=aW_{T}^{a}}$

مع معامل a < 1 موجب أو سالب، ولكن غير صفري. باستخدام دالة المنفعة هذه بدلاً من دالة اللوغاريتم، يؤدي التحليل أعلاه إلى التعبير التالي للمنفعة المتوقعة التي يجب تعظيمها:

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}],}$

بينما كما كان من قبل

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}}$

لكل فترة زمنية t .

إذا كان هناك استقلال تسلسلي لعوائد الأصول - أي إذا لم يكن تحقيق العائد على أي أصل في أي فترة مرتبطًا بتحقيق العائد على أي أصل في أي فترة أخرى - فإن تعبير المنفعة المتوقعة هذا يصبح

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}R_{1}^{a}\cdot {\text{E}}R_{2}^{a}\cdots {\text{E}}R_{T}^{a};}$

إن تعظيم تعبير المنفعة المتوقعة هذا يكافئ تعظيم (إذا كانت قيمة a > 0) أو تصغير (إذا كانت قيمة a < 0) كل حد من الحدود على حدة${\displaystyle {\text{E}}R_{t}^{a}.}$وبالتالي، في ظل هذا الشرط، نضمن مجدداً استقلال قرارات المحفظة الاستثمارية عبر الزمن. تجدر الإشارة إلى أن دالة المنفعة اللوغاريتمية، على عكس دالة المنفعة الأسية، لا تتطلب افتراض استقلال العوائد عبر الزمن لتحقيق استقلال قرارات المحفظة الاستثمارية عبر الزمن.

يُعدّ النفور المطلق المفرط من المخاطرة (HARA) سمةً لفئة واسعة من دوال المنفعة فون نيومان-مورغنسترن للاختيار في ظل المخاطرة، بما في ذلك دوال المنفعة اللوغاريتمية والأسية التي تم تناولها سابقًا. وقد بيّن موسين ^{[ 2 ]} أنه في ظل دالة المنفعة HARA، ينطوي اختيار المحفظة الأمثل على استقلال زمني جزئي للقرارات إذا وُجد أصل خالٍ من المخاطر، وكان هناك استقلال تسلسلي لعوائد الأصول: لإيجاد المحفظة الأمثل للفترة الحالية، لا يحتاج المرء إلى معرفة أي معلومات توزيعية مستقبلية حول عوائد الأصول باستثناء العوائد المستقبلية الخالية من المخاطر.

تُعدّ البرمجة الديناميكية الطريقة الرياضية الأمثل للتعامل مع ضرورة مراعاة القرارات المستقبلية عند اتخاذ القرارات الحالية . في البرمجة الديناميكية، تُصاغ قاعدة القرار للفترة الأخيرة مسبقًا، بناءً على الثروة المتاحة وعوائد الأصول المحققة في جميع الفترات السابقة؛ ثم تُصاغ قاعدة القرار للفترة قبل الأخيرة، مع مراعاة تأثير نتائج هذه الفترة على قرارات الفترة الأخيرة؛ وهكذا دواليك. يصبح هذا الإجراء معقدًا للغاية بسرعة في حال وجود أكثر من بضع فترات زمنية أو أكثر من بضعة أصول.

متوسط ​​تكلفة الدولار هو دخول تدريجي إلى الأصول الخطرة، وهو أسلوب ينصح به مستشارو الاستثمار. وكما ذُكر سابقًا، لا تؤكده النماذج التي تستخدم دالة المنفعة اللوغاريتمية. مع ذلك، يمكن استنتاجه من نموذج متوسط ​​التباين بين الفترات الزمنية مع وجود ارتباط تسلسلي سلبي للعوائد. ^{[ 3 ]}

مع نموذج منفعة هارا، وعوائد الأصول الموزعة بشكل مستقل ومتطابق عبر الزمن، وأصل خالٍ من المخاطر، فإن نسب الأصول الخطرة لا تتأثر بعمر المستثمر المتبقي. ^{[ 1 ] : الفصل 11.} في ظل افتراضات معينة، بما في ذلك المنفعة الأسية وأصل واحد بعوائد تتبع عملية ARMA (1,1)، فإن الشرط الضروري، ولكنه غير الكافي، لزيادة التحفظ (تقليل حيازة الأصل الخطير) بمرور الوقت (وهو ما ينصح به مستشارو الاستثمار غالبًا) هو وجود ارتباط تسلسلي سلبي من الدرجة الأولى ، بينما يؤدي وجود ارتباط تسلسلي غير سلبي من الدرجة الأولى إلى نتيجة معاكسة تتمثل في زيادة الإقبال على المخاطرة في مراحل لاحقة. ^{[ 4 ]}

قد تؤدي نماذج المحافظ الاستثمارية متعددة الفترات، التي يتم فيها اختيار المحفظة بالتزامن مع قرارات عرض العمل متعددة الفترات، إلى زيادة تأثير التحفظ مع التقدم في السن، كما يدعو إليه العديد من مستشاري الاستثمار. وتعود هذه النتيجة إلى أن الاستثمارات المحفوفة بالمخاطر التي يخوضها المستثمر في شبابه والتي تنتهي بنتائج سيئة، يمكن معالجتها بتوفير عمل أكثر من المتوقع في الفترات اللاحقة، وذلك لتعويض الخسائر جزئيًا على الأقل. وبما أن الشخص الأكبر سنًا، الذي لديه فترات زمنية لاحقة أقل، يكون أقل قدرة على تعويض عوائد الاستثمار السيئة بهذه الطريقة، فمن الأمثل للمستثمر أن يتحمل مخاطر استثمارية أقل في سن متقدمة.