توزيع إيروين-هول

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف توزيع إيروين-هول ، نسبةً إلى جوزيف أوسكار إيروين وفيليب هول ، بأنه توزيع احتمالي لمتغير عشوائي يُعرَّف بأنه مجموع عدد من المتغيرات العشوائية المستقلة ، لكل منها توزيع منتظم . ^{[ 1 ]} ولهذا السبب يُعرف أيضًا باسم توزيع المجموع المنتظم .

يتم أحيانًا توليد أرقام شبه عشوائية ذات توزيع طبيعي تقريبي عن طريق حساب مجموع عدد من الأرقام شبه العشوائية ذات التوزيع المنتظم؛ وذلك عادةً لتبسيط البرمجة. ويُوفر إعادة قياس توزيع إيروين-هول التوزيع الدقيق للمتغيرات العشوائية المُولَّدة.

يتم الخلط أحيانًا بين هذا التوزيع وتوزيع بيتس ، وهو المتوسط ​​(وليس المجموع ) لـ n من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل منتظم من 0 إلى 1.

توزيع إيروين-هول هو توزيع احتمالي مستمر لمجموع n من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع U (0,  1) :

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

دالة كثافة الاحتمال (pdf) لـ${\displaystyle 0\leq x\leq n}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(xk)_{+}^{n-1}}$

أين${\displaystyle (xk)_{+}}$يشير إلى الجزء الإيجابي من التعبير:

${\displaystyle (xk)_{+}={\begin{cases}xk&x-k\geq 0\\0&x-k<0.\end{cases}}}$

منذ${\displaystyle k}$إذا كان عددًا صحيحًا، فلدينا ذلك${\displaystyle (xk)_{+}=(xk)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle k\leq \lfloor x\rfloor }$وبالتالي، فإن التعبير المكافئ تمامًا لدالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle 0\leq x\leq n}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(xk)^{n-1}.}$

وبالتالي، فإن دالة كثافة الاحتمال هي دالة تكعيبية (دالة متعددة الحدود مجزأة) من الدرجة n − 1 على العقد 0، 1، ...، n . في الواقع، بالنسبة لـ x بين العقدتين k و k + 1، فإن دالة كثافة الاحتمال تساوي  

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j}}$

حيث يمكن إيجاد المعاملات a _j ( k , n ) من علاقة تكرارية على k

${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{cases}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+kj-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{nj-1}&k>0\end{cases}}}$

المعاملات هي أيضًا A188816 في OEIS . معامل التوزيع التراكمي هو A188668 . للاطلاع على تفسير هندسي/توافقي لدالة كثافة الاحتمال بدلالة مستوى يمر عبر مكعب، يُرجى مراجعة الرابط هنا .

المتوسط ​​والتباين هما n / 2 و n /12 على التوالي.

• بالنسبة لـ n = 1، يتبع X توزيعًا منتظمًا :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

• بالنسبة لـ n = 2، يتبع X توزيعًا مثلثيًا :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{cases}}}$

• بالنسبة لـ n = 3،

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2}}(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end{cases}}}$

• بالنسبة لـ n = 4،

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6}}(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2}+60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{cases}}}$

• بالنسبة لـ n = 5،

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4}-60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}-330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{cases}}}$

بحسب نظرية النهاية المركزية ، كلما زاد عدد عناصر المصفوفة n ، يقترب توزيع إيروين-هول بشكل متزايد من التوزيع الطبيعي ذي المتوسط.${\displaystyle \mu =n/2}$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}=n/12}$لتقريب التوزيع الطبيعي القياسي${\displaystyle \phi (x)={\mathcal {N}}(\mu =0,\sigma ^{2}=1)}$، يمكن توسيط توزيع إيروين-هول عن طريق إزاحته بمقدار متوسطه n/2 ، وقياس النتيجة بالجذر التربيعي لتباينه:

${\displaystyle \phi (x){\overset {n\gg 0}{\approx }}{\sqrt {\frac {n}{12}}}f_{X}\left(x{\sqrt {\frac {n}{12}}}+{\frac {n}{2}};n\right)}$

يؤدي هذا الاشتقاق إلى طريقة استدلالية بسيطة حسابيًا تزيل الجذر التربيعي، حيث يمكن تقريب التوزيع الطبيعي القياسي بمجموع 12 سحبة منتظمة U (0، 1) على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{12}U_{k}-6\sim f_{X}(x+6;12)\mathrel {\dot {\sim }} \phi (x)}$

يُشبه توزيع إيروين-هول توزيع بيتس ، ولكنه لا يزال يقتصر على الأعداد الصحيحة كمعاملات. ويمكن توسيعه ليشمل معاملات ذات قيم حقيقية بإضافة متغير عشوائي منتظم بعرض N − trunc( N ).

عند استخدام طريقة إيروين-هول لملاءمة البيانات، تكمن إحدى المشكلات في أن هذه الطريقة ليست مرنة للغاية لأن المعامل n يجب أن يكون عددًا صحيحًا. مع ذلك، بدلًا من جمع n توزيعات منتظمة متساوية، يمكننا أيضًا إضافة U + 0.5 U لمعالجة الحالة n = 1.5 (مما ينتج عنه توزيع شبه منحرف ).

يُستخدم توزيع إيروين-هول في تشكيل الحزم الضوئية وتوليف الأنماط كما هو موضح في الشكل 1 من المرجع ^{[ 2 ] [ 3 ] .}

• توزيع بيتس
• التوزيع الطبيعي
• نظرية النهاية المركزية
• التوزيع المنتظم (المستمر)
• التوزيع المثلثي

• هول، فيليب . (1927). "توزيع المتوسطات لعينات بحجم N مسحوبة من مجتمع إحصائي يأخذ فيه المتغير قيمًا بين 0 و1، وتكون جميع هذه القيم متساوية الاحتمال". Biometrika ، المجلد 19، العدد 3/4، الصفحات  240-245 . doi : 10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR 2331961 
• إيروين، جيه أو (1927). "حول التوزيع التكراري لمتوسطات عينات من مجتمع إحصائي يخضع لأي قانون تكرار ذي عزوم محدودة، مع إشارة خاصة إلى بيرسون من النوع الثاني". مجلة Biometrika ، المجلد 19، العدد 3/4، الصفحات 225-239. doi  : 10.1093 / biomet /19.3-4.225 JSTOR 2331960