التوزيع المثلثي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، فإن التوزيع المثلثي هو توزيع احتمالي مستمر بحد أدنى a وحد أعلى b ونمط c ، حيث a < b و a ≤ c ≤ b .

حالات خاصة

الوضع عند حد معين

يتبسط التوزيع عندما يكون c = a أو c = b . على سبيل المثال، إذا كان a = 0 و b = 1 و c = 1، فإن دالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي تصبحان كما يلي:

${\begin{aligned}f(x)&=2x,\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}$ ل $0\leq x\leq 1$ .

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}$

توزيع الفرق المطلق بين متغيرين معياريين منتظمين

هذا التوزيع لـ a = 0، b = 1 و c = 0 هو توزيع X = | X ₁− X ₂ |، حيث X ₁ و X ₂ متغيران عشوائيان مستقلان بتوزيع منتظم قياسي .

${\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ لـ }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ لـ }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}$

توزيع مثلثي متناظر

تنشأ الحالة المتناظرة عندما يكون c = ( a + b ) / 2. في هذه الحالة، يكون الشكل البديل لدالة التوزيع كما يلي:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {(bc)-|cx|}{(bc)^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{ba}}\left(1-{\frac {\left|a+b-2x\right|}{ba}}\right)\end{aligned}}$

توزيع متوسط متغيرين معياريين منتظمين

هذا التوزيع، حيث a = 0 و b = 1 و c = 0.5 - ويقع المنوال (أي الذروة) في منتصف الفترة تمامًا - يُطابق توزيع متوسط متغيرين منتظمين قياسيين، أي توزيع X = ( X1 ₊X2 ) / 2، حيث X1 و _X2 متغيران عشوائيان مستقلان يتبعان توزيعًا منتظمًا قياسيًا في _{الفترة [}₀ ، 1 ]. ^[¹^] وهذا ما يُعرف بتوزيع بيتس لمتغيرين.

$f(x)={\begin{cases}4x&{\text{لـ }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4(1-x)&{\text{لـ }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}$

$F(x)={\begin{cases}2x^{2}&{\text{لـ }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x^{2}-(2x-1)^{2}&{\text{لـ }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}$

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}$

توليد متغيرات عشوائية

بالنظر إلى متغير عشوائي U مسحب من التوزيع المنتظم في الفترة (0، 1) ، فإن المتغير ^{[ 2 ]}

$X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}$

أين $F(c)=(c-a)/(b-a)$ ، له توزيع مثلثي ذو معلمات $a,b$ و $c$ ويمكن الحصول على ذلك من دالة التوزيع التراكمي.

استخدام التوزيع

يُستخدم التوزيع المثلثي عادةً كوصفٍ تقريبي لمجتمعٍ لا تتوفر عنه سوى بيانات عينة محدودة، وخاصةً في الحالات التي تكون فيها العلاقة بين المتغيرات معروفة ولكن البيانات شحيحة (ربما بسبب ارتفاع تكلفة جمعها). وهو يعتمد على معرفة الحد الأدنى والحد الأقصى، وعلى "تخمينٍ مُستوحى" ^{[ 3 ]} للقيمة الأكثر شيوعًا. لهذه الأسباب، يُطلق على التوزيع المثلثي اسم توزيع "نقص المعرفة".

محاكاة الأعمال

لذا، يُستخدم التوزيع المثلثي بكثرة في اتخاذ القرارات التجارية ، وخاصةً في عمليات المحاكاة . عمومًا، عندما لا تتوفر معلومات كافية عن توزيع نتيجة ما (كأن تتوفر فقط أصغر وأكبر قيمها)، يُمكن استخدام التوزيع المنتظم . أما إذا كانت النتيجة الأكثر ترجيحًا معروفة، فيُمكن محاكاة هذه النتيجة باستخدام التوزيع المثلثي. انظر على سبيل المثال قسم تمويل الشركات .

إدارة المشاريع

يُستخدم التوزيع المثلثي، إلى جانب توزيع PERT ، على نطاق واسع في إدارة المشاريع (كمدخل في PERT وبالتالي طريقة المسار الحرج (CPM)) لنمذجة الأحداث التي تحدث ضمن فترة زمنية محددة بقيمة دنيا وقيمة قصوى.

تشويش الصوت

يُستخدم التوزيع المثلثي المتماثل بشكل شائع في التمويه الصوتي ، حيث يُطلق عليه اسم TPDF (دالة كثافة الاحتمال المثلثية).

انظر أيضاً

توزيع شبه منحرف
توماس سيمبسون
التقدير ثلاثي النقاط
ملخص الأرقام الخمسة
ملخص الأرقام السبعة
الدالة المثلثية
نظرية النهاية المركزية - غالبًا ما ينتج التوزيع المثلثي عن جمع متغيرين عشوائيين منتظمين. بعبارة أخرى، غالبًا (وليس دائمًا) ما يكون التوزيع المثلثي نتيجة التكرار الأول لعملية جمع نظرية النهاية المركزية (أي ${\textstyle n=2}$ وبهذا المعنى، يمكن أن يحدث توزيع المثلث بشكل طبيعي في بعض الأحيان. إذا استمرت عملية جمع المزيد من المتغيرات العشوائية (أي ${\textstyle n\geq 3}$ ثم يصبح التوزيع على شكل جرس بشكل متزايد.
توزيع إيروين-هول — يعد استخدام توزيع إيروين-هول طريقة سهلة لتوليد توزيع مثلثي.
توزيع بيتس — يشبه توزيع إيروين-هول، ولكن مع إعادة تحجيم القيم إلى النطاق من 0 إلى 1. وهو مفيد لحساب توزيع مثلثي يمكن إعادة تحجيمه وتحريكه لاحقًا لإنشاء توزيعات مثلثية أخرى خارج النطاق من 0 إلى 1.

مراجع

↑ كوتز، صموئيل؛ دورب، يوهان رينيه فان (8 ديسمبر 2004). ما وراء بيتا: عائلات أخرى متصلة من التوزيعات ذات الدعم المحدود وتطبيقاتها . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4481-24-3.
↑ "نسخة مؤرشفة" (ملف PDF) . www.asianscientist.com . مؤرشفة من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 أبريل 2014. تم الاطلاع عليها بتاريخ 12 يناير 2022 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )
↑ "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 23-09-2006 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 23-09-2006 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "التوزيع المثلثي" . عالم الرياضيات .
توزيع المثلث ، decisionsciences.org
التوزيع المثلثي ، brighton-webs.co.uk
برهان على تباين التوزيع المثلثي ، math.stackexchange.com

[KD-1] كوتز، صموئيل؛ دورب، يوهان رينيه فان (8 ديسمبر 2004). ما وراء بيتا: عائلات أخرى متصلة من التوزيعات ذات الدعم المحدود وتطبيقاتها . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4481-24-3.

[2] "نسخة مؤرشفة" (ملف PDF) . www.asianscientist.com . مؤرشفة من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 أبريل 2014. تم الاطلاع عليها بتاريخ 12 يناير 2022 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

[3] "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 23-09-2006 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 23-09-2006 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

[

[ 2 ]

[ 3 ]