روتين كابريكار

في نظرية الأعداد ، تُعدّ خوارزمية كابريكار خوارزمية تكرارية سُمّيت نسبةً إلى مخترعها، عالم الرياضيات الهندي د. ر. كابريكار . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} تبدأ كل دورة برقم عشوائي مكون من أربعة أرقام ، ثم تُرتّب الأرقام ترتيبًا تنازليًا وتصاعديًا، وتُحسب الفرق بين الرقمين الجديدين.

على سبيل المثال، بدءًا من الرقم 8991 في النظام العشري :

9981 - 1899 = 8082

8820 - 288 = 8532

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

العدد 6174 ، المعروف بثابت كابريكار ، هو نقطة ثابتة في هذه الخوارزمية. أي عدد مكون من أربعة أرقام (في النظام العشري) يحتوي على رقمين مختلفين على الأقل سيصل إلى 6174 خلال سبع دورات. ^{[ 3 ]} تعمل الخوارزمية على أي عدد طبيعي في أي نظام عد مُعطى .

التعريف والخصائص

الخوارزمية هي كما يلي: ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

اختر أي عدد طبيعي مكون من أربعة أرقام $n$ في نظام عددي معين $b$ هذا هو الرقم الأول في المتتالية.
إنشاء رقم جديد $\alpha$ عن طريق فرز أرقام $n$ بترتيب تنازلي، ورقم آخر $\beta$ عن طريق فرز أرقام $n$ مرتبة تصاعدياً. قد تحتوي هذه الأرقام على أصفار بادئة، والتي يمكن تجاهلها. اطرح $\alpha -\beta$ لإنتاج الرقم التالي في المتتالية.
كرر الخطوة 2.

تُسمى هذه المتتالية متتالية كابريكار، والدالة $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ هي دالة كابريكار . بعض الأعداد تُطابق نفسها؛ هذه هي النقاط الثابتة لدالة كابريكار، ^{[ 5 ]} وتُسمى ثوابت كابريكار . الصفر هو ثابت كابريكار لجميع الأنظمة العددية. $b$ ولذلك يُطلق عليه اسم ثابت كابريكار البسيط. أما جميع ثوابت كابريكار الأخرى فهي ثوابت كابريكار غير البسيطة.

على سبيل المثال، في النظام العشري، بدءًا من 3524،

K_{10}(3524)=5432-2345=3087

K_{10}(3087)=8730-378=8352

K_{10}(8352)=8532-2358=6174

K_{10}(6174)=7641-1467=6174

مع اعتبار 6174 ثابتًا لكابريكار.

ستصل جميع متواليات كابريكار إما إلى إحدى هذه النقاط الثابتة أو ستؤدي إلى دورة متكررة. في كلتا الحالتين، يتم الوصول إلى النتيجة النهائية في عدد قليل نسبيًا من الخطوات (في غضون سبع دورات أو خطوات).

لاحظ أن الأرقام $\alpha$ و $\beta$ يكون لهما نفس مجموع الأرقام ، وبالتالي نفس الباقي modulo $b-1$ لذلك، كل رقم في متتالية كابريكار ذات أساس $b$ الأعداد (باستثناء العدد الأول ربما) هي مضاعفات لـ $b-1$ .

عند الاحتفاظ بالأصفار البادئة، فإن الأرقام المتكررة فقط هي التي تؤدي إلى ثابت كابريكار البسيط.

في النظام العددي ذي الأساس 4 ، يمكن بسهولة إثبات أن جميع الأرقام من الشكل 3021، 310221، 31102221، 3...111...02...222...1 (حيث يكون طول التسلسل "1" وطول التسلسل "2" متساويين) هي نقاط ثابتة لخريطة كابريكار.

في النظام العشري، يمكن بسهولة إثبات أن جميع الأرقام من الشكل 6174، 631764، 63317664، 6...333...17...666...4 (حيث يكون طول التسلسل "3" وطول التسلسل "6" متساويين) هي نقاط ثابتة لخريطة كابريكار.

تحديد أرقام كابريكار

فيما يلي، يشير "ثابت كابريكار $k$ " إلى رقم يصبح نقطة ثابتة موجبة $k$ نتيجة لروتين كابريكار.

في عام 1981، أظهر جي دي بريتشيت وآخرون أن ثوابت كابريكار تقتصر على رقمين، 495 (ثلاثة أرقام) و6174 (أربعة أرقام). ^{[ 6 ]} كما صنفوا أرقام كابريكار إلى أربعة أنواع، ولكن كان هناك بعض التداخل في التصنيف.

في عام 2005، قام ي. هيراتا بحساب جميع النقاط الثابتة حتى 31 رقمًا عشريًا وفحص توزيعها. ^{[ 7 ]}

في عام 2024، أظهر هارو إيواساكي ^{[ 8 ]} من مجموعة رانزان لدراسة الرياضيات (برئاسة كينيتشي إياناغا) أنه لكي يكون العدد الطبيعي عددًا كابريكاريًا، يجب أن ينتمي إلى واحدة من خمس مجموعات منفصلة تتكون من تركيبات الأعداد السبعة 495، 6174، 36، 123456789، 27، 875421 و09. كما أظهر إيواساكي أن هذا التصنيف الجديد باستخدام المجموعات الخمس يتضمن تصنيفًا مصححًا من قبل بريتشيت وآخرون.

ونتيجة لذلك، إذا اعتبرنا $n$ ثابتًا، فإن عدد أرقام كابريكار العشرية المكونة من $n$ خانة يتم تحديده بواسطة نوعين من المعادلات:

(1)

n=3x\quad \quad (x\geq 1)\,,

......... بالنسبة لتسلسل الثوابت المكونة من 3 أرقام

x ، 495

(2)

n=4+2x\quad (x\geq 0)\,,

...... سلسلة من الثابت المكون من 4 أرقام 6174 متبوعة بـ

x

من الثوابت المكونة من رقمين 36

أو من خلال ثلاثة أنواع من المعادلات الديوفانتية:

(3)

n=9x+2y\quad (x\geq 1,\ y\geq 0)\,,

......... متتالية من القيم

x

123456789 و

y

36

(4)

n=9x+14y\quad (x\geq 1,\ y\geq 1)\,,

...... متسلسلة من القيم

x

123456789 و

y

(36 495495 272727)

(5)

n=6x+2y+9z+2u\quad (x\geq 1,\ y\geq 1,\ z\geq 0,\ u\geq 0)\,.

... سلسلة من الأرقام 124578 و09 و123456789 و36

وقد تبين أن عدد الحلول الصحيحة (مجموعات $x ~ u$ ) للمعادلات التي يمكن إثباتها هو نفسه عدد الحلول التي تعبر عن جميع أعداد كابريكار المكونة $من n$ خانة. ^{[ 8 ]}

تؤكد المعادلات أعلاه أنه لا توجد ثوابت كابريكار أخرى غير 495 و6174. لا توجد أعداد كابريكار مكونة من 1 أو 2 أو 5 أو 7 أرقام، لأنها لا تحقق أيًا من المعادلات من (1) إلى (5). بالنسبة للأعداد المكونة من ستة أرقام، يوجد حلان يحققان المعادلتين (1) و(2). ^{[ أ ]} علاوة على ذلك، من الواضح أن الأعداد ذات الأرقام الزوجية التي تساوي أو تزيد عن 8، ^{[ ب ]} والأعداد ذات الأرقام 9، ^{[ ج ]} أو الأعداد ذات الأرقام الفردية التي تساوي أو تزيد عن 15 ^{[ د ]} لها حلول متعددة. على الرغم من أن الأعداد المكونة من 11 و13 رقمًا لها حل واحد فقط، إلا أنه يشكل حلقة من خمسة أرقام وحلقة من رقمين، على التوالي. ^{[ هـ ]} وبالتالي، تم التحقق من نتيجة بريتشيت بأن ثوابت كابريكار تقتصر على 495 (3 أرقام) و6174 (4 أرقام) . ^{[ و ]}

وبذلك، تم حل مشكلة تحديد جميع ثوابت كابريكار وعددها. ^{[ 8 ]} سيوضح المثال التالي نتيجة إيواساكي.

مثال : في حالة كون عدد الأرقام العشرية $n = 23$ ، ولأن $n$ عدد فردي وليس من مضاعفات 3، فإن المعادلتين (1) و(2) لا تتحققان، والمعادلات الوحيدة التي يمكن أن تتحقق هي (3) و(4) و(5). إذا طُبقت العملية (المُشار إليها بـ $K 10$ ) المُعرّفة أعلاه مرة واحدة على الأعداد المُقابلة لحلول هذه المعادلات، يُمكن الحصول على سبعة أعداد كابريكار.

(3) حل المعادلة $23 = 9 س + 2 ص$ هو

(س ، ص) = (1، 7)

: ...... سلسلة من 123456789 متبوعة بسبعة أرقام 36

K 10 (123456789 36363636363636) = 86433333331976666666532

.

(4) حل المعادلة $23 = 9 س + 14 ص$ هو

(س ، ص) = (1، 1)

: ...... متتالية من 123456789 متبوعة بـ 36 495495 272727

K 10 (123456789 36 495495 272727) = 87765443219997765543222

.

(5) حلول المعادلة $23 = 6 س + 2 ص + 9 ع + 2 ع$ هي

(x, y, z, u) = (1, 4, 1, 0)

: ...... متتالية من 124578، وأربعة أرقام 09، و123456789

K 10 (124578 09090909 123456789) = 99998765420987543210001

,

(x, y, z, u) = (1, 3, 1, 1)

: ...... Sequence of 124578, three 09's, 123456789 and 36

K 10 (124578 090909 123456789 36) = 99987654320987654321001

,

(x, y, z, u) = (1, 2, 1, 2)

: ...... Sequence of 124578, two 09's, 123456789 and two 36's

K 10 (124578 0909 123456789 3636) = 99876543320987665432101

,

(x, y, z, u) = (1, 1, 1, 3)

: ...... Sequence of 124578, 09, 123456789 and three 36's

K 10 (124578 09 123456789 363636) = 98765433320987666543211

, and

(x, y, z, u) = (2, 1, 1, 0)

: ...... Sequence of two 124578's, 09 and 123456789

K 10 (124578124578 09 123456789) = 98776554210988754432211

.

Families of Kaprekar's constants

In case where even base (b = 2k)

It can be shown that all natural numbers

m=(k)b^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k)

are fixed points of the Kaprekar mapping in even base $b = 2 k$ for all natural numbers $n$ .

Proof

$\alpha =(2k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)$

$\beta =(k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)$

${\begin{aligned}K_{b}(m)&=\alpha -\beta \\&=((2k-1)-(k-1))b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+((k-1)-(2k-1))\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+b^{2n+2}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k)b^{2n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1}+b^{2n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-1}\left(\sum _{i=0}^{1}b^{i}\right)+b^{2n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{2n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k)b^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+kb^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-1}+b^{n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b-k\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+2k-k\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+k\\&=m\\\end{aligned}}$

Perfect digital invariants
$k$	$b$	$m$
$1$	$2$	$011, 101101, 110111001, 111011110001...$
$2$	$4$	$132, 213312, 221333112, 222133331112...$
$3$	$6$	$253, 325523, 332555223, 333255552223...$
$4$	$8$	$374, 437734, 443777334, 444377773334...$
$5$	$10$	$495, 549945, 554999445, 555499994445...$
$6$	$12$	$5B6, 65BB56, 665BBB556, 6665BBBB5556...$
$7$	$14$	$6D7, 76DD67, 776DDD667, 7776DDDD6667...$
$8$	$16$	$7F8, 87FF78, 887FFF778, 8887FFFF7778...$
$9$	$18$	$8H9, 98HH89, 998HHH889, 9998HHHH8889...$

Notes and citations

Notes

↑For six-digit numbers, i.e. $n$ =6, (1) 6=3×2 and (2) 6=4+2×1. From these solutions (1) $x$ =2 and (2) $x$ =1, we obtain 495 495 and 6174 36, respectively. Applying $f$ to these solutions gives us the numbers 549945 and 631764, that are Kaprekar numbers. In fact, $f$ (549945)=549945, and $f$ (631764)=631764.
↑For even-digits greater than or equal to 8, there are at least two solutions that satisfy equations (2) and (5).
↑For 9 digits, there are at least two solutions: (1) with $x$ =3, and (3) with ( $x$ =1, $y$ =0).
↑ بالنسبة للأعداد المكونة من 15 رقمًا، يوجد حلان على الأقل: (1) حيث $x$ = 5، و(3) حيث $x$ = 1 و $y$ = 3. أما بالنسبة للأعداد الفردية التي تبلغ 17 رقمًا أو أكثر، فيوجد حلان يحققان المعادلتين (3) و(5).
↑ يشكل الرقم المكون من 11 خانة 86420987532 حلقة بفترة 5، ويشكل الرقم المكون من 13 خانة 8733209876622 حلقة بفترة 2.
↑ بالنسبة لثلاثة أرقام، نحصل على 495 من حل المعادلة (1) عندما $x$ = 1. وبالنسبة لأربعة أرقام، نحصل على 6174 من حل المعادلة (2) عندما $x$ = 0.

الاقتباسات

1 2 كابريكار 1955 .
↑ كابريكار 1980–1981 .
↑ هانوفر 2017 ، ص 1، نظرة عامة.
↑ هانوفر 2017 ، ص 3، المنهجية.
↑ (التسلسل A099009 في OEIS )
^ بريشيت ولودينجتون ولابينتا 1981 .
↑ هيراتا 2005 .
1 2 3 إيواساكي 2024 .

مصادر

هانوفر، دانيال (2017). "السلوك المعتمد على الأساس لروتين كابريكار: دراسة نظرية وحسابية تكشف عن انتظاميات جديدة". المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . جامعة كورنيل. arXiv : 1710.06308 .
بريتشيت، جي دي؛ لودينغتون، إيه إل؛ لابينتا، جي إف (1981). "تحديد جميع ثوابت كابريكار العشرية" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 19 (1): 45-52 .
هيراتا، يومي (2005). “تحويل كابريكار للأرقام ذات الأرقام الأعلى” (PDF) . مايباشي كيواي جاكوين رونشو (باللغة اليابانية). 5 : 21 – 50.
إيواساكي، هارو (2024). “تصنيف جديد لأرقام كابريكار” (PDF) . فيبوناتشي ربع سنوية . 62 (4): 275 – 281.
كابريكار، د. ر. (1955). "خاصية مثيرة للاهتمام للعدد 6174". سكريبت ماثيماتيكا . 21 : 244-245 .
كابريكار، د. ر. (1980-1981). "حول أعداد كابريكار". مجلة الرياضيات الترفيهية . 13 : 81-82 .

روابط خارجية

نموذج برمجي لتحويل أي عدد مكون من أربعة أرقام إلى ثابت كابريكار، بلغة بيرل ، بلغة بايثون
"ثابت كابريكار" ، أداة تفاعلية لحل المعادلات المكونة من 4 و3 أرقام، مع خلفية رياضية وتاريخية، 6174.co.uk

[9] For six-digit numbers, i.e. $n$ =6, (1) 6=3×2 and (2) 6=4+2×1. From these solutions (1) $x$ =2 and (2) $x$ =1, we obtain 495 495 and 6174 36, respectively. Applying $f$ to these solutions gives us the numbers 549945 and 631764, that are Kaprekar numbers. In fact, $f$ (549945)=549945, and $f$ (631764)=631764.

[10] For even-digits greater than or equal to 8, there are at least two solutions that satisfy equations (2) and (5).

[11] For 9 digits, there are at least two solutions: (1) with $x$ =3, and (3) with ( $x$ =1, $y$ =0).

[12] بالنسبة للأعداد المكونة من 15 رقمًا، يوجد حلان على الأقل: (1) حيث $x$ = 5، و(3) حيث $x$ = 1 و $y$ = 3. أما بالنسبة للأعداد الفردية التي تبلغ 17 رقمًا أو أكثر، فيوجد حلان يحققان المعادلتين (3) و(5).

[13] يشكل الرقم المكون من 11 خانة 86420987532 حلقة بفترة 5، ويشكل الرقم المكون من 13 خانة 8733209876622 حلقة بفترة 2.

[14] بالنسبة لثلاثة أرقام، نحصل على 495 من حل المعادلة (1) عندما $x$ = 1. وبالنسبة لأربعة أرقام، نحصل على 6174 من حل المعادلة (2) عندما $x$ = 0.

[FOOTNOTEKaprekar1955-1] 1 2 كابريكار 1955 .

[FOOTNOTEKaprekar1980–1981-2] كابريكار 1980–1981 .

[FOOTNOTEHanover20171Overview-3] هانوفر 2017 ، ص 1، نظرة عامة.

[FOOTNOTEHanover20173Methodology-4] هانوفر 2017 ، ص 3، المنهجية.

[A099009-5] (التسلسل A099009 في OEIS )

[FOOTNOTEPrichettLudingtonLapenta1981-6] بريشيت ولودينجتون ولابينتا 1981 .

[FOOTNOTEHirata2005-7] هيراتا 2005 .

[FOOTNOTEIwasaki2024-8] 1 2 3 إيواساكي 2024 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ أ ]

[ ب ]

[ ج ]

[ د ]

[ هـ ]

[ و ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗