مجموع الأرقام

في الرياضيات ، مجموع أرقام عدد طبيعي في نظام عد معين هو مجموع جميع أرقامه . على سبيل المثال، مجموع أرقام العدد العشري${\displaystyle 9045}$سيكون${\displaystyle 9+0+4+5=18.}$

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا طبيعيًا. نُعرّف مجموع الأرقام للأساس${\displaystyle b>1}$،${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$أن تكون على النحو التالي:

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k}d_{i}}$

أين${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }$هو أقل بواحد من عدد الأرقام في العدد بالأساس${\displaystyle b}$، و

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

هي قيمة كل رقم من أرقام العدد.

على سبيل المثال، في النظام العشري ، يكون مجموع أرقام العدد 84001 هو${\displaystyle F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13.}$

لأي قاعدتين${\displaystyle 2\leq b_{1}<b_{2}}$وبالنسبة للأعداد الطبيعية الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k).}$^{[ 1 ]}

يُعطى مجموع أرقام النظام العشري للأعداد الصحيحة 0 ، 1، 2، ... بواسطة OEIS : A007953  في الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . استخدم بورواين وبورواين (1992) الدالة المولدة لهذه المتتالية (ولمتتالية مماثلة لمجاميع الأرقام الثنائية ) لاستنتاج عدة متسلسلات متقاربة ^بسرعة ذات مجاميع نسبية ومتسامية . ^{[ 2} ]

يمكن توسيع مجموع الأرقام ليشمل الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام تمثيل رقمي موقّع لتمثيل كل عدد صحيح.

يمكن حساب عدد الأعداد المكونة من n خانة والتي مجموع خاناتها q باستخدام:

${\displaystyle f(n,q)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\f(n,9n-q+1)&{\text{if }}q>\lceil {\frac {9n}{2}}\rceil \\\sum _{i=\max(q-9,1)}^{q}f(n-1,i)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

لأي عدد طبيعي${\displaystyle n}$في القاعدة${\displaystyle b}$، مجموع الأرقام هو على الأكثر:

${\displaystyle d}$≤${\displaystyle (b-1)}$× log _b (n)

الحد الأقصى لطول رقم معين يُعطى بالصيغة b ⁿ −1، حيث جميع${\displaystyle n}$كل رقم يساوي${\displaystyle b-1}$، أعلى رقم في الأساس${\displaystyle b}$.

يرتبط مفهوم مجموع الأرقام العشرية ارتباطًا وثيقًا بالجذر الرقمي ، ولكنه ليس مطابقًا له ، وهو ناتج تطبيق عملية جمع الأرقام بشكل متكرر حتى يصبح الناتج رقمًا واحدًا فقط. يكون الجذر الرقمي لأي عدد صحيح غير صفري عددًا بين 1 و9، بينما يمكن أن يأخذ مجموع الأرقام أي قيمة. يمكن استخدام مجموع الأرقام والجذور الرقمية لإجراء اختبارات سريعة لقابلية القسمة : يكون العدد الطبيعي قابلاً للقسمة على 3 أو 9 إذا وفقط إذا كان مجموع أرقامه (أو جذره الرقمي) قابلاً للقسمة على 3 أو 9، على التوالي. بالنسبة لقابلية القسمة على 9، يُطلق على هذا الاختبار اسم قاعدة التسعات ، وهو أساس تقنية استبعاد التسعات للتحقق من العمليات الحسابية.

تُعدّ مجاميع الأرقام عنصرًا شائعًا في خوارزميات التحقق من المجموع للتحقق من العمليات الحسابية في الحواسيب القديمة. ^{[ 3 ]} في وقت سابق، في عصر الحساب اليدوي، اقترح إيدجوورث (1888) استخدام مجاميع 50 رقمًا مأخوذة من جداول اللوغاريتمات الرياضية كشكل من أشكال توليد الأرقام العشوائية ؛ إذا افترضنا أن كل رقم عشوائي، فبحسب نظرية النهاية المركزية ، فإن مجاميع الأرقام هذه ستتبع توزيعًا عشوائيًا يقترب كثيرًا من التوزيع الغاوسي . ^{[ 4 ]}

يُعرف مجموع أرقام التمثيل الثنائي لعدد ما باسم وزن هامينغ أو عدد السكان؛ وقد دُرست خوارزميات لإجراء هذه العملية، وأُدرجت كعملية مدمجة في بعض بنى الحاسوب وبعض لغات البرمجة . تُستخدم هذه العمليات في تطبيقات الحوسبة، بما في ذلك التشفير ، ونظرية الترميز ، وشطرنج الحاسوب .

يتم تعريف أعداد هارشاد من حيث قابليتها للقسمة على مجموع أرقامها، ويتم تعريف أعداد سميث من خلال تساوي مجموع أرقامها مع مجموع أرقام تحليلها إلى عواملها الأولية .

• الديناميكا الحسابية
• رمي التسعات
• مجموع التحقق
• الجذر الرقمي
• وزن هامينغ
• رقم هارشاد
• ثابت رقمي مثالي
• المجموع الجانبي
• رقم سميث
• عدد حاصل الضرب

• وايسستين، إريك دبليو. “مجموع الأرقام” . عالم الرياضيات .