رقم كابريكار

في الرياضيات ، العدد الطبيعي في نظام عددي معين هو $p$ - عدد كابريكار إذا كان تمثيل مربعه في ذلك الأساس قابلاً للتقسيم إلى قسمين، ويكون القسم الثاني هو $p$ أرقامٌ طولها يساوي العدد الأصلي. على سبيل المثال، في النظام العشري ، يُعتبر العدد 45 عددًا من نوع 2-كابريكار، لأن 45² ⁼ 20²⁵، و20 + 25 = 45. سُميت هذه الأعداد نسبةً إلى الدكتور كابريكار .

التعريف والخصائص

يترك $n$ ليكن عددًا طبيعيًا. عندئذٍ، دالة كابريكار للأساس $b>1$ والقوة $p>0$ $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ويُعرَّف على النحو التالي:

F_{p,b}(n)=\alpha +\beta

،

أين $\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}$ و

\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}

عدد طبيعي $n$ هو $p$ - رقم كابريكار إذا كان نقطة ثابتة لـ $F_{p,b}$ ، وهو ما يحدث إذا $F_{p,b}(n)=n$ . $0$ و $1$ أرقام كابريكار تافهة للجميع $b$ و $p$ جميع أرقام كابريكار الأخرى هي أرقام كابريكار غير تافهة .

المثال السابق للعدد 45 يحقق هذا التعريف مع $b=10$ و $p=2$ ، لأن

\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25

\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20

F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45

عدد طبيعي $n$ يُعتبر رقم كابريكار اجتماعيًا إذا كان نقطة دورية لـ $F_{p,b}$ ، أين $F_{p,b}^{k}(n)=n$ لعدد صحيح موجب $k$ (أين $F_{p,b}^{k}$ هو $k$ معدل تكرار $F_{p,b}$ )، ويشكل دورة زمنية $k$ رقم كابريكار هو رقم كابريكار اجتماعي $k=1$ ورقم كابريكار الودود هو رقم كابريكار اجتماعي مع $k=2$ .

عدد التكرارات $i$ مطلوب لـ $F_{p,b}^{i}(n)$ إن الوصول إلى نقطة ثابتة هو استمرارية دالة كابريكار $n$ ويكون غير محدد إذا لم يصل أبدًا إلى نقطة ثابتة.

يوجد عدد محدود فقط من $p$ - أعداد كابريكار والدورات لقاعدة معينة $b$ لأنه إذا $n=b^{p}+m$ ، أين $m>0$ ثم

{\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}

و $\beta =m^{2}$ ، $\alpha =b^{p}+2m$ ، و $F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n$ فقط عندما $n\leq b^{p}$ هل توجد أعداد ودورات كابريكار؟

لو $d$ أي قاسم لـ $p$ ، ثم $n$ وهو أيضًا $p$ - رقم كابريكار للأساس $b^{p}$ .

في القاعدة $b=2$ جميع الأعداد الزوجية الكاملة هي أعداد كابريكار. وبشكل أعم، أي أعداد من الشكل $2^{n}(2^{n+1}-1)$ أو $2^{n}(2^{n+1}+1)$ بالنسبة للأعداد الطبيعية $n$ أرقام كابريكار في النظام الثنائي .

التعريف النظري للمجموعات والقواسم الوحدوية

المجموعة $K(N)$ لعدد صحيح معين $N$ يمكن تعريفها بأنها مجموعة الأعداد الصحيحة $X$ والتي توجد لها أعداد طبيعية $A$ و $B$ تحقيق المعادلة الديوفانتية ^{[ 1 ]}

X^{2}=AN+B

، أين

0\leq B<N

X=A+B

أن $n$ - رقم كابريكار للأساس $b$ إذن، هو واحد يقع في المجموعة $K(b^{n})$ .

لقد تم إثبات في عام 2000 ^{[ 1 ]} أن هناك تقابلًا بين القواسم الوحدوية لـ $N-1$ والمجموعة $K(N)$ كما هو موضح أعلاه. ليكن $\operatorname {Inv} (a,c)$ يرمز إلى المعكوس الضربي لـ $a$ modulo $c$ أي أصغر عدد صحيح موجب $m$ بحيث $am=1{\bmod {c}}$ ولكل قاسم وحدوي $d$ ل $N-1$ يترك $e={\frac {N-1}{d}}$ و $\zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ ثم الدالة $\zeta$ هي تقابل من مجموعة القواسم الوحدوية لـ $N-1$ إلى موقع التصوير $K(N)$ وعلى وجه الخصوص، عدد من $X$ موجود في المجموعة $K(N)$ إذا وفقط إذا $X=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ لبعض القواسم الوحدوية $d$ ل $N-1$ .

الأرقام في $K(N)$ تحدث في أزواج متكاملة، $X$ و $N-X$ . لو $d$ هو قاسم وحدوي لـ $N-1$ إذن كذلك $e={\frac {N-1}{d}}$ وإذا $X=d\operatorname {Inv} (d,e)$ ثم $N-X=e\operatorname {Inv} (e,d)$ .

أرقام كابريكار لـ $F_{p,b}$

ب = 4 ك + 3 و ف = 2 ن + 1

يترك $k$ و $n$ لتكن أعدادًا طبيعية، أساس العدد $b=4k+3=2(2k+1)+1$ ، و $p=2n+1$ . ثم:

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ هو رقم كابريكار.

دليل

يترك

${\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\end{aligned}}$

ثم،

${\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}$

الرقمان $\alpha$ و $\beta$ نكون

\beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

\alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

ومجموعهما هو

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}&=X_{1}\\\end{aligned}}$

هكذا، $X_{1}$ هو رقم كابريكار.

$X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1$ هو عدد كابريكار لجميع الأعداد الطبيعية $n$ .

دليل

يترك

${\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\end{aligned}}$

ثم،

${\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}$

الرقمان $\alpha$ و $\beta$ نكون

\beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

\alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

ومجموعهما هو

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\end{aligned}}$

هكذا، $X_{2}$ هو رقم كابريكار.

b = m ²k + m + 1 و p = mn + 1

يترك $m$ ، $k$ ، و $n$ لتكن أعدادًا طبيعية، أساس العدد $b=m^{2}k+m+1$ والقوة $p=mn+1$ . ثم:

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ هو رقم كابريكار.
$X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1$ هو رقم كابريكار.

b = m ²k + m + 1 و p = mn + m − 1

يترك $m$ ، $k$ ، و $n$ لتكن أعدادًا طبيعية، أساس العدد $b=m^{2}k+m+1$ والقوة $p=mn+m-1$ . ثم:

$X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ هو رقم كابريكار.
$X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1$ هو رقم كابريكار.

b = m²k + ^m² - m + ¹ و p = mn + 1

يترك $m$ ، $k$ ، و $n$ لتكن أعدادًا طبيعية، أساس العدد $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$ والقوة $p=mn+m-1$ . ثم:

$X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ هو رقم كابريكار.
$X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1$ هو رقم كابريكار.

b = m²k + m² ^-m + 1 و p = mn + m ^-1

يترك $m$ ، $k$ ، و $n$ لتكن أعدادًا طبيعية، أساس العدد $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$ والقوة $p=mn+m-1$ . ثم:

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ هو رقم كابريكار.
$X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1$ هو رقم كابريكار.

أرقام كابريكار ودورات $F_{p,b}$ للحصول على معلومات محددة $p$ ، $b$

جميع الأرقام بالنظام الأساسي $b$ .

قاعدة $b$	قوة $p$	أعداد كابريكار غير التافهة $n\neq 0$ ، $n\neq 1$	دورات
2	1	10	$\varnothing$
3	1	2، 10	$\varnothing$
4	1	3، 10	$\varnothing$
5	1	4، 10	$\varnothing$
6	1	5، 10	$\varnothing$
7	1	3، 4، 6، 10	$\varnothing$
8	1	7، 10	2 → 4 → 2
9	1	8، 10	$\varnothing$
10	1	9، 10	$\varnothing$
11	1	5، 6، أ، 10	$\varnothing$
12	1	ب، 10	$\varnothing$
13	1	4، 9، ج، 10	$\varnothing$
14	1	د، 10	$\varnothing$
15	1	7، 8، هـ، 10	2 → 4 → 2 9 → ب → 9
16	1	6، أ، ف، 10	$\varnothing$
2	2	11	$\varnothing$
3	2	22,100	$\varnothing$
4	2	12، 22، 33، 100	$\varnothing$
5	2	14، 31، 44، 100	$\varnothing$
6	2	23، 33، 55، 100	15 → 24 → 15 41 → 50 → 41
7	2	22، 45، 66، 100	$\varnothing$
8	2	34، 44، 77، 100	4 → 20 → 4 11 → 22 → 11 45 → 56 → 45
2	3	111, 1000	10 → 100 → 10
3	3	111، 112، 222، 1000	10 → 100 → 10
2	4	110، 1010، 1111، 10000	$\varnothing$
3	4	121، 2102، 2222، 10000	$\varnothing$
2	5	11111, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10 111 → 10010 → 1110 → 1010 → 111
3	5	11111، 22222، 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10
2	6	11100، 100100، 111111، 1000000	100 → 10000 → 100 1001 → 10010 → 1001 100101 → 101110 → 100101
3	6	10220، 20021، 101010، 121220، 202202، 212010، 222222، 1000000	100 → 10000 → 100 122012 → 201212 → 122012
2	7	1111111, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 100110 → 101111 → 110010 → 1010111 → 1001100 → 111101 → 100110
3	7	1111111، 1111112، 2222222، 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 1111121 → 1111211 → 1121111 → 1111121
2	8	1010101، 1111000، 10001000، 10101011، 11001101، 11111111، 100000000	$\varnothing$
3	8	2012021، 10121020، 12101210، 21121001، 20210202، 22222222، 100000000	$\varnothing$
2	9	10010011، 101101101، 111111111، 1000000000	10 → 100 → 10000 → 100000000 → 10000000 → 100000 → 10 1000 → 1000000 → 1000 10011010 → 11010010 → 10011010

امتداد إلى الأعداد الصحيحة السالبة

يمكن توسيع نطاق أعداد كابريكار لتشمل الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام تمثيل رقمي موقّع لتمثيل كل عدد صحيح.

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 إيانوتشي ( 2000 )

مراجع

د. ر. كابريكار (1980-1981). "حول أعداد كابريكار". مجلة الرياضيات الترفيهية . 13 : 81-82 .
م. شاروش (1981-1982). "بعض تطبيقات طرح 999...". مجلة الرياضيات الترفيهية . 14 : 111-118 .
إيانوتشي، دوغلاس إي. (2000). "أعداد كابريكار" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 3 : 00.1.2. رمز Bibcode : 2000JIntS...3...12I .

[iannucci-1] 1 2 إيانوتشي ( 2000 )

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

التعريف والخصائص

التعريف النظري للمجموعات والقواسم الوحدوية

أرقام كابريكار لـFص،ب{\displaystyle F_{p,b}}

ب = 4 ك + 3 و ف = 2 ن + 1

b = m 2 k + m + 1 و p = mn + 1

b = m 2 k + m + 1 و p = mn + m − 1

b = m²k + m² - m + 1 و p = mn + 1

b = m²k + m² - m + 1 و p = mn + m - 1

أرقام كابريكار ودوراتFص،ب{\displaystyle F_{p,b}}للحصول على معلومات محددةص{\displaystyle p}،ب{\displaystyle b}