تخمين كولاتز

تم التحقق من صحة الفرضية بواسطة الحاسوب لجميع القيم الابتدائية حتى ^2.71 ≈2.36 × 10 ^21. جميع القيم التي تم اختبارها حتى الآن تتقارب إلى 1. ^{[ 12 ]}

لا يزال هذا الدليل الحاسوبي غير دليل قاطع على صحة التخمين لجميع القيم الأولية، حيث يمكن العثور على أمثلة مضادة عند النظر في الأعداد الصحيحة الموجبة الكبيرة جدًا، كما هو الحال في تخمين بوليا وتخمين ميرتنز اللذين تم دحضهما .

مع ذلك، قد يكون لهذه التحققات آثار أخرى. إذ يمكن إثبات بعض القيود المفروضة على أي دورة غير تافهة، مثل الحدود الدنيا لطول الدورة، استنادًا إلى قيمة أصغر حد فيها. لذا، فإن عمليات البحث الحاسوبية لاستبعاد الدورات ذات الحد الأدنى الصغير يمكن أن تعزز هذه القيود. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

إذا اقتصرنا على الأعداد الفردية في المتتالية الناتجة عن عملية كولاتز، فإن كل عدد فردي يساوي في المتوسط ​​3/4 من العدد السابق له. ^{[ 16 ]} (وبشكل أدق، فإن المتوسط ​​الهندسي لنسب النتائج يساوي 3/4 ) . وهذا يُعطينا حجة استدلالية مفادها أن كل متتالية هيلستون يجب أن تتناقص على المدى الطويل، مع أن هذا لا يُعد دليلاً ضد وجود دورات أخرى ، بل ضد التباعد فقط. إلا أن هذه الحجة ليست برهاناً قاطعاً، لأنها تفترض أن متتاليات هيلستون تتكون من أحداث احتمالية غير مترابطة. (وهي تُثبت بدقة أن الامتداد الثنائي الأدي لعملية كولاتز يتضمن خطوتين قسمة لكل خطوة ضرب لجميع القيم الابتدائية الثنائية الأدية تقريباً ).

كما أثبت ريهو تيراس ، فإن لكل عدد صحيح موجب تقريبًا زمن توقف محدود. ^{[ ب ] [ 17 ]} بعبارة أخرى، تصل كل متتالية كولاتز تقريبًا إلى نقطة أدنى من قيمتها الابتدائية. يعتمد البرهان على توزيع متجهات التكافؤ ويستخدم نظرية النهاية المركزية .

في عام ٢٠١٩، حسّن تيرينس تاو هذه النتيجة بإثباته، باستخدام الكثافة اللوغاريتمية ، أن جميع مدارات كولاتز تقريبًا (بمعنى الكثافة اللوغاريتمية) تنحدر إلى ما دون أي دالة معينة لنقطة البداية، شريطة أن تتباعد هذه الدالة إلى ما لا نهاية، مهما كان بطء هذا التباعد. وفي معرض تعليقها على هذا العمل، كتبت مجلة كوانتا أن تاو "توصل إلى واحدة من أهم النتائج المتعلقة بفرضية كولاتز منذ عقود". ^{[ ٩ ] [ ١٨ ]}

في برهان بمساعدة الحاسوب ، أظهر كراسيكوف ولاغارياس أن عدد الأعداد الصحيحة في الفترة [1، x ] التي تصل في النهاية إلى 1 يساوي على الأقل x ^0.84 لجميع قيم x الكبيرة بما فيه الكفاية . ^{[ 19 ]}

اعتبارًا من عام 2025، فإن أفضل حد معروف لطول الدورة هو217 976 794 617 (355 504 839 929 (بدون اختصار). ^{[ 12 ]} في عام 1993، أثبت إلياهو أن الفترة p لأي دورة غير تافهة تكون على الشكل التالي: $${\displaystyle p=301994a+17087915b+85137581c}$$ حيث a و b و c ^أعداد صحيحة غير سالبة، b ≥ 1 و ac = 0. تستند هذه النتيجة إلى مفكوك الكسر المستمر البسيط لـ ln 3 / ln 2. ^{[ 14} ]

الدورة من الرتبة k هي دورة يمكن تقسيمها إلى k متتابعة فرعية متجاورة، تتكون كل منها من متتابعة متزايدة من الأعداد الفردية، تليها متتابعة متناقصة من الأعداد الزوجية. ^{[ 15 ]} على سبيل المثال، إذا كانت الدورة تتكون من متتابعة متزايدة واحدة من الأعداد الفردية تليها متتابعة متناقصة من الأعداد الزوجية، فإنها تسمى دورة من الرتبة 1 .

أثبت شتاينر (1977) أنه لا توجد دورة أحادية سوى الدورة البسيطة (1، 2) . ^{[ 20 ]} استخدم سيمونز (2005) طريقة شتاينر لإثبات عدم وجود دورة ثنائية. ^{[ 21 ]} وسّع سيمونز ودي ويجر (2005) هذا البرهان ليشمل دورات من 68 عنصرًا؛ أي أنه لا توجد دورة من k عنصرًا حتى k = 68. [ ^{15 ] وسّع} هيرشر الطريقة أكثر وأثبت أنه لا توجد دورة من k عنصرًا حيث k ≤ 91. [ ^{22 ] ومع} استمرار عمليات البحث الحاسوبية الشاملة، قد تُستبعد قيم k الأكبر . ولتوضيح الحجة بشكل أكثر بديهية، لسنا مضطرين للبحث عن دورات تحتوي على أقل من 92 متتالية فرعية، حيث تتكون كل متتالية فرعية من ارتفاعات متتالية متبوعة بانخفاضات متتالية.

هناك نهج آخر لإثبات الفرضية، وهو النهج الذي يعتمد على طريقة النمو من الأسفل إلى الأعلى لما يسمى بمخطط كولاتز ، وهو مخطط معرف بالعلاقة العكسية.$${\displaystyle R(n)={\begin{cases}\{2n\}&{\text{إذا كان }}n\equiv 0,1,2,3,5\\\left\{2n,{\frac {n-1}{3}}\right\}&{\text{إذا كان }}n\equiv 4\end{cases}}{\pmod {6}}.}$$

لذا، بدلاً من إثبات أن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة تؤدي في النهاية إلى 1، يمكننا محاولة إثبات أن 1 يؤدي عكسيًا إلى جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. لأي عدد صحيح n ، يكون n ≡ 1 (mod 2) إذا وفقط إذا كان 3n + 1 ≡ 4 (mod 6) . وبالمثل، يكون n − 1 / 3 ≡ 1 (mod 2) إذا وفقط إذا كان n ≡ 4 (mod 6) . من المفترض أن هذه العلاقة العكسية تُشكل شجرة للأعداد الصحيحة الموجبة باستثناء حلقة 1-2-4 (وهي معكوس حلقة 4-2-1 للدالة f غير المُعدلة المُعرّفة في قسم "بيان المسألة " من هذه المقالة).

عندما يتم استبدال العلاقة 3n + 1 للدالة f بالعلاقة "المختصرة" الشائعة 3n + 1 / 2 ، يتم تعريف مخطط كولاتز بواسطة العلاقة العكسية .$${\displaystyle R(n)={\begin{cases}\{2n\}&{\text{إذا كان }}n\equiv 0,1\\\left\{2n,{\frac {2n-1}{3}}\right\}&{\text{إذا كان }}n\equiv 2\end{cases}}{\pmod {3}}.}$$

لأي عدد صحيح n ، يكون n ≡ 1 (mod 2) إذا وفقط إذا كان 3n + 1/2 ≡ 2 (mod 3) . وبالمثل، يكون 2n - 1/3 ≡ 1 (mod 2) إذا وفقط إذا كان n ≡ 2 (mod 3) . ويُفترض أن هذه العلاقة العكسية تُشكل شجرة للأعداد الصحيحة الموجبة باستثناء حلقة 1-2 (وهي معكوس حلقة 1-2 للدالة f(n) بعد تعديلها كما هو موضح أعلاه).

بدلاً من ذلك، استبدل 3n + 1 بـ n ′ / H ( n ′ ) حيث n ′ = 3n + 1 و H ( n ′ ) هي أعلى قوة للعدد 2 تقسم n ′ (بدون باقٍ ). الدالة الناتجة f تربط الأعداد الفردية ببعضها. لنفترض الآن أنه بالنسبة لعدد فردي n ، فإن تطبيق هذه العملية k مرة ينتج عنه العدد 1 (أي fk ( n ) = 1 ). عندئذٍ ^، في النظام الثنائي ، يمكن كتابة العدد n على شكل سلسلة من السلاسل wk _، wk _{-1 ،} ... ، w1 _، حيث كل wh عبارة عن جزء محدود ومتصل من تمثيل 1 / 3h . ^{[ 23 ]} وبالتالي، فإن تمثيل n يحتوي على _أجزاء التكرار في 1 / 3h ، حيث ^يتم تدوير كل جزء تكرار اختياريًا ثم تكراره حتى عدد محدود من ^البتات . يحدث هذا فقط في النظام الثنائي. ^{[ 24 ]} من المفترض أن كل سلسلة ثنائية s تنتهي بالرقم '1' يمكن الوصول إليها من خلال تمثيل بهذا الشكل (حيث يمكننا إضافة أو حذف الأصفار البادئة إلى s ). 

يمكن تمثيل التطبيقات المتكررة لدالة كولاتز كآلة مجردة تتعامل مع سلاسل من البتات . ستنفذ الآلة الخطوات الثلاث التالية على أي عدد فردي حتى يتبقى بت واحد فقط:

1. أضف 1 إلى الطرف (الأيمن) للعدد في النظام الثنائي (مما يعطي 2 ن + 1 )؛
2. أضف هذا إلى العدد الأصلي عن طريق الجمع الثنائي (مما يعطي 2 ن + 1 + ن = 3 ن + 1 )؛
3. قم بإزالة جميع الأصفار الزائدة ( أي، اقسم بشكل متكرر على 2 حتى تصبح النتيجة فردية).

 111 111 1 1011 0 1011 1 10001 0 10001 1 1101 00 1101 1 101 000 101 1 1 0000

في هذا القسم، سننظر في الشكل المختصر لدالة كولاتز $${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{إذا كان }}n\equiv 0\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{إذا كان }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.}$$

إذا كان P(...) هو زوجية عدد ما، أي P(2 n ) = 0 و P(2 n + 1) = 1 ، فيمكننا تعريف متتالية كولاتز الزوجية (أو متجه الزوجية) لعدد n على النحو التالي p _i = P( a _i ) ، حيث a ₀ = n ، و a _{i +1} = f ( a _i ) .

يعتمد اختيار العملية الحسابية، سواء كانت 3n + 1/2 أو n / 2 ، على الزوجية . ويكون تسلسل الزوجية هو نفسه تسلسل العمليات الحسابية .

باستخدام هذه الصيغة للدالة f ( n ) ، يمكن إثبات أن متواليات التكافؤ لعددين m و n تتطابق في أول k حد إذا وفقط إذا كان m و n متكافئين بتردد ^2k . وهذا يعني أن كل عدد يُعرَّف بشكل فريد من خلال متوالية تكافؤه، وعلاوة على ذلك، إذا وُجدت دورات Hailstone متعددة، فإن دورات التكافؤ المقابلة لها يجب أن تكون مختلفة. ^{[ 2 ] [ 17 ]}

بتطبيق الدالة f عدد k من المرات على العدد n = 2ka + b، نحصل على النتيجة 3ca + d ^، حيث d هي ^نتيجة تطبيق الدالة f عدد k من المرات على b ، و c هو عدد الزيادات التي حدثت خلال تلك العملية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 2 = 5a ⁺ 1، ^هناك 3 زيادات حيث يتكرر 1 إلى 2، ثم 1، ثم 2، ثم 1، وأخيرًا إلى 2، لذا فإن النتيجة هي 3a + 2. أما بالنسبة للعدد 2 ⁼ 2a + 1، ^فهناك زيادة واحدة فقط حيث يرتفع 1 إلى 2 ثم ينخفض ​​إلى 1، لذا فإن النتيجة هي 3a + 1. عندما يكون b = 2k ^- 1، فسيكون هناك k من الزيادات، وستكون النتيجة 3ka + 3k ^- 1. إن أس 3 الذي يُضرب به a مستقل عن قيمة a ، ويعتمد فقط على سلوك b . يُتيح هذا التنبؤ بأن بعض أشكال الأعداد ستؤدي دائمًا إلى عدد أصغر بعد عدد معين من التكرارات: على سبيل المثال، يصبح العدد 4a + 1 هو 3a + 1 بعد تطبيق الدالة f مرتين ، ويصبح العدد 16a + 3 هو 9a + 2 بعد تطبيق الدالة f أربع مرات . ومع ذلك، فإن استمرار هذه الأعداد الأصغر حتى الوصول إلى 1 يعتمد على قيمة a .

للحصول على دالة كولاتز في شكلها المختصر

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n\equiv 0\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{if }}n\equiv 1.\end{cases}}{\pmod {2}}}$

يمكن حساب تسلسلات Hailstone بواسطة نظام الوسوم الثنائية باستخدام قواعد الإنتاج

أ → قبل الميلاد ، ب → أ ، ج → أأ .

في هذا النظام، يتم تمثيل العدد الصحيح الموجب n بسلسلة من n نسخة من a ، وتتوقف عملية الوسم عند أي كلمة يقل طولها عن  2. (مقتبس من دي مول.)

تنص فرضية كولاتز بشكل مكافئ على أن نظام العلامات هذا، مع سلسلة محدودة عشوائية من a ككلمة أولية، يتوقف في النهاية (انظر نظام العلامات للحصول على مثال عملي).

يتمثل أحد امتدادات حدسية كولاتز في تضمين جميع الأعداد الصحيحة، وليس فقط الأعداد الصحيحة الموجبة. وبغض النظر عن الدورة 0 → 0 التي لا يمكن الدخول إليها من خارجها، توجد أربع دورات معروفة، يبدو أن جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية تندرج ضمنها في نهاية المطاف عند تكرار الدالة f . هذه الدورات مُدرجة هنا، بدءًا من الدورة المعروفة للأعداد الصحيحة الموجبة n : 

تُعرض القيم الفردية بخط عريض كبير. تُدرج كل دورة مع العنصر ذي القيمة المطلقة الأصغر (وهو دائمًا فردي) أولاً.

إن فرضية كولاتز المعممة هي التأكيد على أن كل عدد صحيح، تحت التكرار بواسطة f ، يقع في النهاية في واحدة من الدورات الأربع المذكورة أعلاه أو الدورة 0 → 0.

يمكن توسيع خريطة كولاتز لتشمل الأعداد النسبية (الموجبة أو السالبة) ذات المقامات الفردية عند كتابتها في أبسط صورة. يُصنف العدد على أنه "فردي" أو "زوجي" بناءً على ما إذا كان بسطه فرديًا أم زوجيًا. وتكون صيغة الخريطة مطابقة تمامًا لصيغة الأعداد الصحيحة: يُقسم العدد النسبي "الزوجي" على 2، ويُضرب العدد النسبي "الفردي" في 3 ثم يُضاف إليه 1. ومن الحقائق ذات الصلة أن خريطة كولاتز تمتد إلى حلقة الأعداد الصحيحة الثنائية ، والتي تحتوي على حلقة الأعداد النسبية ذات المقامات الفردية كحلقة فرعية.

عند استخدام تعريف "الاختصار" لخريطة كولاتز، من المعروف أن أي متتالية زوجية دورية تتولد من عدد نسبي واحد فقط. ^{[ 25 ]} وعلى العكس من ذلك، يُفترض أن كل عدد نسبي ذي مقام فردي له متتالية زوجية دورية في النهاية (فرضية الدورية ^{[ 2 ]} ).

إذا كانت دورة التكافؤ بطول n وتتضمن أعدادًا فردية m مرة بالضبط عند الفهارس k ₀ < ⋯ < k _{m −1} ، فإن العدد النسبي الوحيد الذي يولد دورة التكافؤ هذه بشكل فوري ودوري هو

${\displaystyle {\frac {3^{m-1}2^{k_{0}}+\cdots +3^{0}2^{k_{m-1}}}{2^{n}-3^{m}}}.}$

1

على سبيل المثال، يبلغ طول دورة التكافؤ (1 0 1 1 0 0 1) 7، وتحتوي على أربعة حدود فردية عند الفهارس 0 و2 و3 و6. ويتم توليدها بشكل متكرر بواسطة الكسر $${\displaystyle {\frac {3^{3}2^{0}+3^{2}2^{2}+3^{1}2^{3}+3^{0}2^{6}}{2^{7}-3^{4}}}={\frac {151}{47}}}$$ لأن الأخير يؤدي إلى الدورة العقلانية $${\displaystyle {\frac {151}{47}}\rightarrow {\frac {250}{47}}\rightarrow {\frac {125}{47}}\rightarrow {\frac {211}{47}}\rightarrow {\frac {340}{47}}\rightarrow {\frac {170}{47}}\rightarrow {\frac {85}{47}}\rightarrow {\frac {151}{47}}.}$$

أي تبديل دوري للعدد (1 0 1 1 0 0 1) يرتبط بأحد الكسور المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، ينتج التتابع الدوري (0 1 1 0 0 1 1) عن الكسر $${\displaystyle {\frac {3^{3}2^{1}+3^{2}2^{2}+3^{1}2^{5}+3^{0}2^{6}}{2^{7}-3^{4}}}={\frac {250}{47}}.}$$

في حالة التناظر الأحادي، يجب أن تكون دورة التكافؤ غير قابلة للاختزال ، أي لا يمكن تقسيمها إلى دورات فرعية متطابقة. على سبيل المثال، ترتبط دورة التكافؤ (1 1 0 0 1 1 0 0) ودورتها الفرعية (1 1 0 0) بنفس الكسر 5/7 عند اختزالهما إلى أبسط صورة .

في هذا السياق، فإن افتراض صحة حدسية كولاتز يعني أن (1 0) و (0 1) هما دورات التكافؤ الوحيدة التي تولدها الأعداد الصحيحة الموجبة (1 و 2 على التوالي).

إذا لم يكن المقام الفردي d لعدد نسبي من مضاعفات 3، فإن جميع التكرارات لها نفس المقام، ويمكن الحصول على متتالية البسط بتطبيق تعميم " 3n + d "  [ ^{26 ] لدالة} كولاتز $${\displaystyle T_{d}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}&{\text{if }}x\equiv 0{\pmod {2}},\\{\frac {3x+d}{2}}&{\text{if }}x\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

الوظيفة $${\displaystyle T(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}&{\text{if }}x\equiv 0{\pmod {2}}\\{\frac {3x+1}{2}}&{\text{if }}x\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}$$ محدد بشكل جيد على الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$من الأعداد الصحيحة ثنائية القيمة ، حيث تكون متصلة وتحافظ على القياس بالنسبة للقياس ثنائي القيمة. علاوة على ذلك، من المعروف أن ديناميكياتها إرجودية . ^{[ 2 ]}

عرّف دالة متجه التكافؤ Q التي تعمل على${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$مثل $${\displaystyle Q(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(T^{k}(x){\bmod {2}}\right)2^{k}.}$$

الدالة Q هي تماثل ثنائي الأبعاد . ^{[ 27 ]} ونتيجة لذلك، فإن كل متتالية زوجية لانهائية تحدث لعدد صحيح ثنائي الأبعاد واحد فقط، بحيث تكون جميع المسارات تقريبًا غير دورية في${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

الصيغة المكافئة لتخمين كولاتز هي: $${\displaystyle Q\left(\mathbb {Z} ^{+}\right)\subset {\tfrac {1}{3}}\mathbb {Z} .}$$

يمكن توسيع خريطة كولاتز لتشمل خط الأعداد الحقيقية باختيار أي دالة تُقيّم إلى${\displaystyle x/2}$متى${\displaystyle x}$هو عدد زوجي، وإلى إما${\displaystyle 3x+1}$أو${\displaystyle (3x+1)/2}$(بالنسبة لنسخة "الاختصار") عندما${\displaystyle x}$هو عدد صحيح فردي. تُسمى هذه دالة استيفاء . إحدى الطرق البسيطة للقيام بذلك هي اختيار دالتين.${\displaystyle g_{1}}$و${\displaystyle g_{2}}$، أين:

${\displaystyle g_{1}(n)={\begin{cases}1,&n{\text{ is even,}}\\0,&n{\text{ is odd,}}\end{cases}}}$

${\displaystyle g_{2}(n)={\begin{cases}0,&n{\text{ is even,}}\\1,&n{\text{ is odd,}}\end{cases}}}$

واستخدامها كمفاتيح للقيم التي نرغب بها:

${\displaystyle f(x)={\frac {x}{2}}\cdot g_{1}(x)\,+\,{\frac {3x+1}{2}}\cdot g_{2}(x)}$.

أحد هذه الخيارات هو${\displaystyle g_{1}(x)=\cos ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}x\right)}$و${\displaystyle g_{2}(x)=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}x\right)}$تؤدي تكرارات هذه الخريطة إلى نظام ديناميكي ، قام مارك تشامبرلاند بدراسته بتفصيل أكبر. ^{[ 28 ]} وقد أظهر أن الفرضية لا تصح للأعداد الحقيقية الموجبة نظرًا لوجود عدد لا نهائي من النقاط الثابتة ، بالإضافة إلى مدارات تتجه بشكل رتيب نحو اللانهاية.${\displaystyle f}$له دورتان جاذبتان من الفترة${\displaystyle 2}$:${\displaystyle (1;\,2)}$و${\displaystyle (1.1925...;\,2.1386...)}$علاوة على ذلك، يُفترض أن تكون مجموعة المدارات غير المحدودة ذات قياس${\displaystyle 0}$.

قام ليثرمان وشلايشر وود بتوسيع الدراسة لتشمل المستوى المركب . ^{[ 29 ]} استخدموا دالة تشامبرلاند للجيب وجيب التمام المركبين وأضافوا الحد الإضافي${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}\left({\tfrac {1}{2}}-\cos(\pi z)\right)\sin(\pi z)\,+}$${\displaystyle h(z)\sin ^{2}(\pi z)}$، أين${\displaystyle h(z)}$هي أي دالة كاملة . بما أن هذا التعبير يساوي صفرًا للأعداد الصحيحة الحقيقية، فإن الدالة الموسعة

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)=\;&{\frac {z}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)+{\frac {3z+1}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)\,+\\&{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}-\cos(\pi z)\right)\sin(\pi z)+h(z)\sin ^{2}(\pi z)\end{aligned}}}$

هي عملية استيفاء لخريطة كولاتز إلى المستوى المركب. والسبب في إضافة الحد الإضافي هو جعل جميع الأعداد الصحيحة نقاطًا حرجة لـ${\displaystyle f}$وبهذا، أثبتوا أنه لا يوجد عدد صحيح في نطاق بيكر ، مما يعني أن أي عدد صحيح إما أن يكون دوريًا في النهاية أو ينتمي إلى نطاق متجول . وافترضوا أن الاحتمال الأخير ليس هو الحال، مما يجعل جميع مدارات الأعداد الصحيحة محدودة.

معظم النقاط لها مدارات تتباعد إلى ما لا نهاية. تلوين هذه النقاط بناءً على سرعة تباعدها ينتج الصورة الموجودة على اليسار، لـ${\displaystyle h(z)=0}$المناطق السوداء الداخلية والمنطقة الخارجية هي مكونات فاتو ، والحد الفاصل بينهما هو مجموعة جوليا .${\displaystyle f}$، والذي يشكل نمطًا كسريًا ، ويسمى أحيانًا "كسر كولاتز".

هناك العديد من الطرق الأخرى لتعريف دالة الاستيفاء المعقدة، مثل استخدام الدالة الأسية المعقدة بدلاً من الجيب وجيب التمام:

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}(2z+1)\left(1-e^{i\pi z}\right)}$،

والتي تُظهر ديناميكيات مختلفة. في هذه الحالة، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\gg 1}$، ثم${\displaystyle f(z)\approx z+{\tfrac {1}{4}}}$. تتكون مجموعة جوليا المقابلة، الموضحة على اليمين، من عدد لا يحصى من المنحنيات، تسمى الشعيرات أو الأشعة .

يُقدّم القسم "كسلسلة تكافؤ" أعلاه طريقةً لتسريع محاكاة السلسلة. للقفز k خطوة للأمام في كل تكرار (باستخدام الدالة f من ذلك القسم)، قسّم العدد الحالي إلى جزأين: b ( أقل k بت أهمية، تُفسّر كعدد صحيح)، و a (بقية البتات كعدد صحيح). تُعطى نتيجة القفز k خطوة للأمام بالصيغة التالية:

f ^k (2 ^k a + b ) = 3 ^{c ( b , k )} a + d ( b , k ) .

يمكن حساب قيمتي c (أو 3c ) و d مسبقًا لجميع الأعداد الممكنة ذات k بت b ، حيث ^يمثل d ( b , k ) نتيجة تطبيق الدالة f k مرة على b ، بينما يمثل c ( b , k ) عدد الأعداد الفردية التي تمت مواجهتها. ^{[ 30 ]} على سبيل المثال، إذا كانت k = 5 ، فيمكن التقدم 5 خطوات في كل تكرار بفصل أقل 5 بتات أهمية من العدد واستخدامها.

c (0...31, 5) = { 0, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 5 },

d (0...31, 5) = { 0, 2, 1, 1, 2, 2, 20, 1, 26, 1, 10, 4, 4, 13, 40, 2, 5, 17, 17, 2, 2, 20, 20, 8, 22, 8, 71, 26, 26, 80, 242 }.

يتطلب هذا 2 ^كيلو عملية حسابية مسبقة وتخزين لتسريع الحساب الناتج بمعامل k ، وهو مقايضة بين المساحة والوقت .

لغرض البحث عن مثال مضاد لفرضية كولاتز، تؤدي هذه الحسابات المسبقة إلى تسريع أكبر، استخدمه توماس أوليفيرا إي سيلفا في تأكيداته الحسابية لفرضية كولاتز حتى قيم كبيرة لـ n . إذا كان، بالنسبة لبعض قيم b و k المعطاة ، فإن المتباينة 

f ^k (2 ^k a + b ) = 3 ^{c ( b )} a + d ( b ) < 2 ^k a + b

^{إذا تحققت هذه القاعدة لجميع قيم a، فإن أول مثال مضاد، إن وُجد، لا يمكن أن يكون b modulo 2k} . [13] على سبيل المثال، يجب أن يكون المثال المضاد الأول فرديًا لأن f(2n) = n، وهو أصغر من 2n ؛ ويجب أن يكون 3 modulo 4 ^{لأن f² (} 4n + 1 ) = 3n ⁺ 1 ، وهو أصغر من 4n + 1. لكل قيمة ابتدائية a لا تُعد مثالًا مضادًا لتخمين كولاتز، توجد قيمة k تتحقق عندها هذه المتباينة، لذا فإن التحقق من تخمين كولاتز لقيمة ابتدائية واحدة يُعادل التحقق من فئة تطابق كاملة. مع ازدياد قيمة k ، لا يحتاج البحث إلا إلى التحقق من تلك البقايا b التي لا تُستبعد بقيم k الأقل . تبقى نسبة ضئيلة جدًا من البقايا. ^{[ 31 ]} على سبيل المثال، البقايا الوحيدة الباقية modulo 32 هي 7 و15 و27 و31. 

لا يمكن للأعداد الصحيحة القابلة للقسمة على 3 أن تشكل دورة، لذلك لا داعي للتحقق من هذه الأعداد الصحيحة كأمثلة مضادة. ^{[ 32 ]}