عدم المساواة في ليديجينسكايا

في الرياضيات ، متباينة لاديزهنسكايا هي أي من عدد من المتباينات الوظيفية ذات الصلة التي سميت على اسم عالمة الرياضيات الروسية السوفييتية أولغا ألكسندروفنا لاديزهنسكايا . قدمت لاديزهنسكايا هذه المتباينة الأصلية، لوظائف متغيرين حقيقيين، في عام 1958 لإثبات وجود وتفرد الحلول طويلة الأمد لمعادلات نافير-ستوكس في بعدين مكانيين (للحصول على بيانات أولية سلسة بدرجة كافية). هناك متباينة مماثلة لوظائف ثلاثة متغيرات حقيقية، لكن الأسس مختلفة قليلاً؛ ينبع الكثير من الصعوبة في إثبات وجود وتفرد الحلول لمعادلات نافير-ستوكس ثلاثية الأبعاد من هذه الأسس المختلفة. متباينة لاديزهنسكايا هي أحد أعضاء فئة واسعة من المتباينات المعروفة باسم متباينات الاستيفاء .

ليكن مجال ليبشيتز في لـ وليكن دالة قابلة للاشتقاق بشكل ضعيف تتلاشى على حدود بمعنى الأثر (أي تكون حدًا في فضاء سوبوليف لتسلسل من الدوال السلسة المدعومة بشكل مضغوط في ). إذن يوجد ثابت يعتمد فقط على بحيث، في الحالة : ${\displaystyle \أوميغا }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n=2{\text{ أو }}3}$${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \أوميغا }$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H^{1}(\أوميغا )}$${\displaystyle \أوميغا }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \أوميغا }$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^{2}}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{ 2}}^{1/2}}$

وفي الحالة : ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^{2}}^{1/4}\|\nabla u\|_{L^{ 2}}^{3/4}}$

• كل من النسختين ثنائية وثلاثية الأبعاد لمتباينة لاديزهنسكايا هي حالات خاصة لمتباينة الاستيفاء جاجلياردو-نيرينبيرج

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}}\leq C\|u\|_{L^{q}}^{\alpha }\|u\|_{H_{0}^{s}}^{1-\alpha },}$

الذي يحمل في كل وقت

${\displaystyle p>q\geq 1,s>n(\tfrac {1}{2}}-\tfrac {1}{p}})،{\text{ و }}{\tfrac {1}{p}}=\tfrac {\alpha }{q}}+(1-\alpha )(\tfrac {1}{2}}-\tfrac {s}{n}}).}$

تعتبر متباينات لاديزينسكايا حالات خاصة عندما و عندما .${\displaystyle p=4,q=2,s=1}$ ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle n=3}$

• يؤدي التعديل البسيط للحجة التي استخدمتها Ladyzhenskaya في ورقتها البحثية عام 1958 (انظر على سبيل المثال Constantin & Seregin 2010) إلى المتباينة التالية لـ ، صالحة للجميع :${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{2r}}\leq Cr\|u\|_{L^{r}}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{ 2}}^{1/2}.}$

• يمكن تعميم متباينة لاديزينسكايا المعتادة على ، (انظر ماكورميك وآخرون، 2013) لاستخدام "المعيار" الضعيف بدلاً من المعيار المعتاد :${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n=2{\text{ أو }}3}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq {\begin{cases}C\|u\|_{L^{2,\infty }}^{1/2}\|\ نابلة u\|_{L^{2}}^{1/2},&n=2,\\C\|u\|_{L^{2,\infty }}^{1/4}\| \nabla u\|_{L^{2}}^{3/4},&n=3.\end{cases}}}$

• متباينة أجمون

• Constantin, P.; Seregin, G. (2010), "Hölder continuity of solutions of 2D Navier–Stokes equivalents with singular forcing", Nonlinear partial differential values ​​and related topics , Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 229, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 87–95
• لاديجينسكايا، أوه. أ. (1958). "القرار "في النهاية" هو أفضل سبب لقيادة البحرية - ستوكس في حالتين من التغييرات الثابتة". أكاديميات نوك نوك الاشتراكية السوفياتية . 123 (3): 427-429.[ Ladyzhensakya, OA (1958). "حل مشكلة القيمة الحدية الكبيرة لمعادلات نافير-ستوكس في متغيرين فضائيين". مجلة الفيزياء السوفيتية . 123 (3): 1128-1131. رمز المكتبة : 1960SPhD....4.1128L.]
• McCormick, DS; Robinson, JC; Rodrigo, JL (2013). "متباينات جاجلياردو-نيرينبيرج المعممة باستخدام فضاءات ليبيج الضعيفة ونموذج BMO". Milan J. Math . 81 (2): 265–289. arXiv : 1303.6351 . CiteSeerX  10.1.1.758.7957 . doi :10.1007/s00032-013-0202-6. S2CID  44022084.