مشغل التتبع

في التحليل الرياضي ، يُوسّع مُؤثِّر الأثر مفهوم تقييد الدالة على حدود مجالها ليشمل الدوال "المُعمَّمة" في فضاء سوبوليف . وهذا ذو أهمية خاصة لدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية ذات الشروط الحدية المُحدَّدة ( مسائل القيم الحدية )، حيث قد لا تكون الحلول الضعيفة منتظمة بما يكفي لتحقيق الشروط الحدية بالمعنى الكلاسيكي للدوال.

تحفيز

على نطاق محدود وأملس ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ، لننظر في مشكلة حل معادلة بواسون مع شروط حدودية غير متجانسة من نوع ديريشليه :

{\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{في }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{على }}\partial \Omega \end{alignedat}}

مع الدوال المعطاة ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ مع مراعاة الانتظام المذكور في قسم التطبيق أدناه. الحل الضعيف ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ يجب أن يحقق جزء من هذه المعادلة

\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x

للجميع

{\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}

.

ال ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ -انتظام ${\textstyle u}$ يكفي هذا لتحديد هذه المعادلة التكاملية بدقة . إلا أنه ليس من الواضح بأي معنى ${\textstyle u}$ يمكن أن يفي بشرط الحدود ${\textstyle u=g}$ على ${\textstyle \partial \Omega }$ بحسب التعريف، ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ هي فئة تكافؤ من الدوال التي يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية على ${\textstyle \partial \Omega }$ بما أن هذه مجموعة فارغة بالنسبة لمقياس ليبيغ ذي الأبعاد n .

لو ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ هناك يحمل ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ بحسب نظرية سوبوليف للتضمين ، بحيث ${\textstyle u}$ يمكن أن يفي بشرط الحدود بالمعنى الكلاسيكي، أي تقييد ${\textstyle u}$ ل ${\textstyle \partial \Omega }$ يتفق مع الوظيفة ${\textstyle g}$ (بتعبير أدق: يوجد ممثل لـ ${\textstyle u}$ في ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ (مع هذه الخاصية). لـ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ مع ${\textstyle n>1}$ لا يوجد مثل هذا التضمين، وعامل التتبع ${\textstyle T}$ يجب استخدام ما هو معروض هنا لإعطاء معنى لـ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ . ثم ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ مع ${\textstyle Tu=g}$ يُطلق على الحل اسم الحل الضعيف لمسألة القيمة الحدية إذا تحققت المعادلة التكاملية المذكورة أعلاه. ولكي يكون تعريف مؤثر الأثر منطقيًا، يجب أن يتحقق الشرط التالي: ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ للحصول على انتظام كافٍ ${\textstyle u}$ .

نظرية الأثر

يمكن تعريف عامل الأثر للدوال في فضاءات سوبوليف ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ مع ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ انظر القسم أدناه للاطلاع على الامتدادات المحتملة للأثر إلى مساحات أخرى. ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ل ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ ليكن مجالًا محدودًا بحدود ليبشيتز . عندئذٍ ^{[ 1 ]} يوجد مؤثر أثر خطي محدود

T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )

بحيث ${\textstyle T}$ يمدد الأثر الكلاسيكي، أي

Tu=u|_{\partial \Omega }

للجميع

{\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}

.

استمرارية ${\textstyle T}$ يشير ذلك إلى أن

\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}

للجميع

{\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}

مع ثوابت تعتمد فقط على ${\textstyle p}$ و ${\textstyle \Omega }$ الوظيفة ${\textstyle Tu}$ يُطلق عليه أثر ${\textstyle u}$ وغالباً ما يُشار إليه ببساطة بـ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ رموز شائعة أخرى لـ ${\textstyle T}$ يشمل ${\textstyle tr}$ و ${\textstyle \gamma }$ .

بناء

تأتي هذه الفقرة بعد فقرة إيفانز، ^{[ 2 ]} حيث يمكن العثور على مزيد من التفاصيل، وتفترض أن ${\textstyle \Omega }$ لديه ${\textstyle C^{1}}$ -الحدود. ^{[ أ ]} يمكن إيجاد برهان (لنسخة أقوى) لنظرية الأثر لمجالات ليبشيتز في غالياردو. ^{[ 1 ]} على أ ${\textstyle C^{1}}$ في المجال - يمكن تعريف عامل التتبع على أنه امتداد خطي مستمر للعامل

T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )

إلى الفضاء ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ حسب كثافة ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ في ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ هذا التمديد ممكن إذا ${\textstyle T}$ متصل بالنسبة إلى ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ المعيار. والدليل على ذلك هو أنه يوجد ${\textstyle C>0}$ (اعتمادا علي ${\textstyle \Omega }$ و ${\textstyle p}$ ) بحيث

\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}

للجميع

u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})

،

يُعدّ هذا المكوّن الأساسي في بناء عامل التتبع. وهناك صيغة محلية لهذا التقدير لـ ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ تم إثبات الدوال أولاً لحدود مسطحة محليًا باستخدام نظرية التباعد . وبالتحويل، يمكن الحصول على دالة عامة ${\textstyle C^{1}}$ يمكن تقويم الحدود محليًا للوصول إلى هذه الحالة، حيث ${\textstyle C^{1}}$ - يتطلب انتظام التحويل أن يكون التقدير المحلي صحيحًا لـ ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ -الوظائف.

مع استمرارية عامل التتبع هذا في ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ امتداد لـ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ توجد من خلال حجج مجردة و ${\textstyle Tu}$ ل ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ يمكن وصفها على النحو التالي. ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ لتكن متتالية تقريبية ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ بالكثافة. من خلال الاستمرارية المثبتة لـ ${\textstyle T}$ في ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ التسلسل ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ هي متتالية كوشي في ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ و ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ مع الحد المسموح به ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ .

خاصية الامتداد ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ يحمل لـ ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ بالبناء، ولكن لأي ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ يوجد تسلسل ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ والتي تتقارب بانتظام على ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ ل ${\textstyle u}$ ، والتحقق من خاصية الامتداد على المجموعة الأكبر ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ .

↑ $C^{k}$ الحدود: نقول $\partial U$ يكون $C^{k}$ إذا كان لكل نقطة $x^{0}\in \partial U$ يوجد $r>0$ و أ $C^{k}$ وظيفة $\gamma \colon \mathbb {R} ^{n-1}\rightarrow \mathbb {R}$ بحيث يكون لدينا - بعد إعادة تسمية محاور الإحداثيات وإعادة توجيهها إذا لزم الأمر - ما يلي: $U\cap B(x^{0},r)=\{x\in B(x^{0},r)|x_{n}>\gamma (x_{1},\dots ,x_{n-1})\}$

الحالة p = ∞

لو ${\textstyle \Omega }$ محدد وله ${\textstyle C^{1}}$ إذا كان -الحدود، فبحسب متباينة موري يوجد تضمين مستمر ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$ ، أين ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ يرمز إلى فضاء الدوال المتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز . على وجه الخصوص، أي دالة ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$ له أثر كلاسيكي ${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$ وهناك يثبت

\|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.

الدوال ذات الأثر الصفري

مساحات سوبوليف ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ ل ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ تُعرَّف بأنها إغلاق مجموعة دوال الاختبار ذات الدعم المضغوط ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ فيما يتعلق بـ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ المعيار -. ينطبق التوصيف البديل التالي:

W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),

أين ${\textstyle \ker(T)}$ هو جوهر ${\textstyle T}$ ، أي ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ هو الفضاء الجزئي للدوال في ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ مع أثر صفري.

صورة لمشغل التتبع

بالنسبة لـ p > 1

لا يكون عامل التتبع شاملاً على ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ لو ${\textstyle p>1}$ أي ليس كل وظيفة في ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ هو أثر دالة في ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ كما هو موضح أدناه، تتكون الصورة من دوال تحقق شرطًا ما. ${\textstyle L^{p}}$ نسخة هولدر من الاستمرارية .

توصيف مجرد

وصف تجريدي لصورة ${\textstyle T}$ يمكن استنتاج ذلك على النحو التالي. وبحسب نظريات التشاكل، فإن

T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )

أين ${\textstyle X/N}$ يرمز إلى فضاء القسمة لفضاء باناخ ${\textstyle X}$ بواسطة الفضاء الفرعي ${\textstyle N\subset X}$ وتنتج الهوية الأخيرة من توصيف ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ من الأعلى. تزويد فضاء القسمة بمعيار القسمة المحدد بواسطة

\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}

عامل التتبع ${\textstyle T}$ إذن، يكون مؤثرًا خطيًا شاملًا ومحدودًا

T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )

.

التوصيف باستخدام فضاءات سوبوليف-سلوبوديكي

تمثيل أكثر واقعية لصورة ${\textstyle T}$ يمكن التعبير عنها باستخدام فضاءات سوبوليف-سلوبوديكي التي تعمم مفهوم الدوال المتصلة لهولدر إلى ${\textstyle L^{p}}$ - الإعداد. منذ ${\textstyle \partial \Omega }$ هي متعددة شعب ليبشيتز ذات (n-1) أبعاد مضمنة في ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ يتطلب الأمر توصيفًا صريحًا لهذه المساحات من الناحية التقنية. ولتبسيط الأمر، لنفترض أولًا نطاقًا مستويًا ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ . ل ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$ تحديد المعيار (الذي قد يكون لانهائيًا)

\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}

وهو ما يعمم شرط هولدر ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$ . ثم

W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}

يُعد الفضاء المجهز بالمعيار السابق فضاءً باناخياً (تعريف عام لـ ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ للأعداد غير الصحيحة ${\textstyle s>0}$ يمكن الاطلاع على ذلك في مقالة فضاءات سوبوليف-سلوبوديكي . بالنسبة لمتشعب ليبشيتز ذي الأبعاد (n-1) ${\textstyle \partial \Omega }$ يُعرِّف ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ عن طريق التقويم الموضعي ${\textstyle \partial \Omega }$ والمضي قدماً كما هو موضح في تعريف ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$ .

المساحة ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ ويمكن حينها تحديدها على أنها صورة عامل التتبع، ويتحقق ^{[ 1 ]} أن

T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )

هو مؤثر خطي شامل ومحدود.

عندما تكون قيمة p تساوي 1

ل ${\textstyle p=1}$ صورة عامل التتبع هي ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$ ويؤكد ^{[ 1 ]} أن

T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )

هو مؤثر خطي شامل ومحدود.

المعكوس الأيمن: عامل تمديد الأثر

لا يُعد عامل التتبع أحاديًا نظرًا لوجود دوال متعددة فيه. ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ يمكن أن يكون لها نفس الأثر (أو ما يعادله، ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$ ومع ذلك، فإن لمؤثر الأثر معكوسًا يمينيًا منتظمًا، والذي يمد دالة معرفة على الحدود إلى المجال بأكمله. تحديدًا، بالنسبة لـ ${\textstyle 1<p<\infty }$ يوجد عامل تمديد أثر خطي محدود ^{[ 3 ]}

E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )

،

باستخدام توصيف سوبوليف-سلوبوديكي لصورة عامل التتبع من القسم السابق، بحيث

T(Ev)=v

للجميع

{\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}

وبالاستمرارية، يوجد ${\textstyle C>0}$ مع

\|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}

.

لا تكمن الأهمية في مجرد وجود المعكوس الأيمن، بل في خطيته واستمراريته. يجب عدم الخلط بين عامل تمديد الأثر هذا وعوامل تمديد الفضاء الكامل. ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ والتي تلعب دورًا أساسيًا في نظرية فضاءات سوبوليف.

توسيع إلى مساحات أخرى

المشتقات العليا

يمكن تعميم العديد من النتائج السابقة على ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ مع قابلية تمايز أعلى ${\textstyle m=2,3,\ldots }$ إذا كان المجال منتظمًا بدرجة كافية. ليكن ${\textstyle N}$ يشير إلى حقل الوحدة العمودي الخارجي على ${\textstyle \partial \Omega }$ . منذ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ يمكن ترميز خصائص التفاضل في الاتجاه المماسي فقط، المشتقة العمودية ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ ويكتسب أهمية إضافية لنظرية الآثار لـ ${\textstyle m=2}$ تنطبق حجج مماثلة على المشتقات ذات الرتب العليا لـ ${\textstyle m>2}$ .

يترك ${\textstyle 1<p<\infty }$ و ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ليكن مجالًا محدودًا مع ${\textstyle C^{m,1}}$ -الحدود. إذن ^{[ 3 ]} يوجد مؤثر أثر خطي شامل ومحدود من الرتبة العليا

T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )

مع مساحات سوبوليف-سلوبوديتسكي ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ للأعداد غير الصحيحة ${\textstyle s>0}$ محدد في ${\textstyle \partial \Omega }$ من خلال التحويل إلى الحالة المستوية ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ ل ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ ، والذي تم شرح تعريفه بالتفصيل في المقالة المتعلقة بفضاءات سوبوليف-سلوبوديكي . المؤثر ${\textstyle T_{m}}$ توسع الآثار الطبيعية الكلاسيكية بمعنى أن

T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)

للجميع

{\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}

علاوة على ذلك، يوجد معكوس يميني خطي محدود لـ ${\textstyle T_{m}}$ ، عامل تمديد أثر من الدرجة الأعلى ^{[ 3 ]}

E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )

.

وأخيرًا، المساحات ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$ ، إتمام ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ في ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ يمكن وصف المعيار -norm بأنه نواة ${\textstyle T_{m}}$ ، ^{[ 3 ]} أي

W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}

.

مساحات أقل انتظامًا

لا يوجد أثر في L ^p

لا يوجد امتداد منطقي لمفهوم الآثار إلى ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ ل ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ بما أن أي مؤثر خطي محدود يمتد إلى الأثر الكلاسيكي يجب أن يساوي صفرًا على فضاء دوال الاختبار ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ، وهي مجموعة فرعية كثيفة من ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ مما يعني أن مثل هذا العامل سيكون صفراً في كل مكان.

مخطط طبيعي معمّم

يترك ${\textstyle \operatorname {div} v}$ يشير إلى التباعد التوزيعي لحقل متجهي ${\textstyle v}$ . ل ${\textstyle 1<p<\infty }$ ومجال ليبشيتز المحدود ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ يُعرِّف

E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}

وهو فضاء باناخ ذو معيار

\|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}

.

يترك ${\textstyle N}$ يشير إلى حقل الوحدة العمودي الخارجي على ${\textstyle \partial \Omega }$ ثم ^{[ 4 ]} يوجد مؤثر خطي محدود

T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'

،

أين ${\textstyle q=p/(p-1)}$ هو الأس المرافق لـ ${\textstyle p}$ و ${\textstyle X'}$ يشير إلى الفضاء الثنائي المتصل لفضاء باناخ ${\textstyle X}$ بحيث ${\textstyle T_{N}}$ يمدد الأثر الطبيعي ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ ل ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$ بمعنى أن

T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}

.

قيمة عامل التتبع العادي ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ ل ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ يتم تعريفها من خلال تطبيق نظرية التباعد على حقل المتجهات ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ أين ${\textstyle E}$ هو عامل تمديد التتبع المذكور أعلاه.

التطبيق. أي حل ضعيف ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ل ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ في مجال ليبشيتز المحدود ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ له مشتق طبيعي بمعنى ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$ وهذا يتبعه ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ منذ ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ و ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$ وتُعد هذه النتيجة جديرة بالملاحظة، خاصةً في نطاقات ليبشيتز بشكل عام. ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$ بحيث ${\textstyle \nabla u}$ قد لا يقع ضمن نطاق عامل التتبع ${\textstyle T}$ .

طلب

تتيح النظريات المذكورة أعلاه إجراء دراسة أكثر دقة لمسألة القيمة الحدية

{\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}

على نطاق ليبشيتز ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ انطلاقاً من الدافع. بما أن حالة فضاء هيلبرت فقط ${\textstyle p=2}$ يتم هنا بحث التدوين ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ يُستخدم للدلالة على ${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ إلخ. كما هو مذكور في الدافع، حل ضعيف ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ يجب أن تحقق هذه المعادلة ${\textstyle Tu=g}$ و

\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x

للجميع

{\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}

،

حيث يجب تفسير الجانب الأيمن لـ ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ كمنتج ثنائي ذي قيمة ${\textstyle f(\varphi )}$ .

وجود الحلول الضعيفة وتفردها

توصيف نطاق ${\textstyle T}$ وهذا يعني أن لـ ${\textstyle Tu=g}$ للحفاظ على الانتظام ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$ هذا ضروري. هذا الانتظام كافٍ أيضًا لوجود حل ضعيف، والذي يمكن توضيحه على النحو التالي. بموجب نظرية امتداد الأثر، يوجد ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ بحيث ${\textstyle T(Eg)=g}$ تعريف ${\textstyle u_{0}}$ بواسطة ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ لدينا ذلك ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ وبالتالي ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ من خلال توصيف ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ كمساحة أثرها صفر. الدالة ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ثم يحقق المعادلة التكاملية

\int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x

للجميع

{\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}

.

وبالتالي فإن مشكلة القيم الحدية غير المتجانسة لـ ${\textstyle u}$ يمكن اختزالها إلى مشكلة ذات قيم حدودية متجانسة لـ ${\textstyle u_{0}}$ وهي تقنية يمكن تطبيقها على أي معادلة تفاضلية خطية . وبحسب نظرية تمثيل ريز، يوجد حل وحيد. ${\textstyle u_{0}}$ لحل هذه المشكلة. بفضل تفرد عملية التفكيك ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$ وهذا يعادل وجود حل ضعيف وحيد ${\textstyle u}$ إلى مسألة القيمة الحدية غير المتجانسة.

الاعتماد المستمر على البيانات

يبقى التحقق من مدى اعتماد ${\textstyle u}$ على ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ . يترك ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ تشير إلى ثوابت مستقلة عن ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ بالاعتماد المستمر لـ ${\textstyle u_{0}}$ على الجانب الأيمن من معادلتها التكاملية، يوجد

\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)

وبالتالي، باستخدام ذلك ${\textstyle \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}}$ و ${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$ وباتباع مبدأ استمرارية عامل تمديد الأثر، يترتب على ذلك أن

{\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(c_{3}+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}

وخريطة الحل

H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )

وبالتالي فهو متصل.

انظر أيضاً

المؤثرات النووية بين فضاءات باناخ

مراجع

1 2 3 4 جاجلياردو، إميليو (1957). ""مسارات المسار على الحدود مرتبطة ببعض فئات الوظائف في n متغير"" . مؤتمر ندوة الرياضيات في جامعة بادوفا . 27 : 284 – 305.
↑ إيفانز، لورانس (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 257-261 . ISBN 0-8218-0772-2.
1 2 3 4 نياس، جيندريش (1967). الطرق المباشرة في نظرية المعادلات الإهليلجية . باريس: Masson et Cie، Éditeurs، براغ: Academia، Éditeurs. ص 90 – 104.
^ سوهر ، هيرمان (2001). معادلات نافييه-ستوكس: نهج تحليلي وظيفي أولي . Birkhäuser النصوص المتقدمة Basler Lehrbücher. بازل: بيركهاوزر. الصفحات من 50 إلى 51. دوى : 10.1007/978-3-0348-8255-2 . رقم ISBN 978-3-0348-9493-7.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )

ليوني، جيوفاني (2017). مدخل إلى فضاءات سوبوليف: الطبعة الثانية . دراسات عليا في الرياضيات . 181. الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 734. ISBN 978-1-4704-2921-8

[c1boundary-3] $C^{k}$ الحدود: نقول $\partial U$ يكون $C^{k}$ إذا كان لكل نقطة $x^{0}\in \partial U$ يوجد $r>0$ و أ $C^{k}$ وظيفة $\gamma \colon \mathbb {R} ^{n-1}\rightarrow \mathbb {R}$ بحيث يكون لدينا - بعد إعادة تسمية محاور الإحداثيات وإعادة توجيهها إذا لزم الأمر - ما يلي: $U\cap B(x^{0},r)=\{x\in B(x^{0},r)|x_{n}>\gamma (x_{1},\dots ,x_{n-1})\}$

[Gagliardo1957-1] 1 2 3 4 جاجلياردو، إميليو (1957). ""مسارات المسار على الحدود مرتبطة ببعض فئات الوظائف في n متغير"" . مؤتمر ندوة الرياضيات في جامعة بادوفا . 27 : 284 – 305.

[Evans1998,_traces-2] إيفانز، لورانس (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 257-261 . ISBN 0-8218-0772-2.

[Necas1967-4] 1 2 3 4 نياس، جيندريش (1967). الطرق المباشرة في نظرية المعادلات الإهليلجية . باريس: Masson et Cie، Éditeurs، براغ: Academia، Éditeurs. ص 90 – 104.

[Sohr2001,_normal_traces-5] سوهر ، هيرمان (2001). معادلات نافييه-ستوكس: نهج تحليلي وظيفي أولي . Birkhäuser النصوص المتقدمة Basler Lehrbücher. بازل: بيركهاوزر. الصفحات من 50 إلى 51. دوى : 10.1007/978-3-0348-8255-2 . رقم ISBN 978-3-0348-9493-7.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ أ ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

تحفيز

نظرية الأثر

بناء

الحالة p = ∞

الدوال ذات الأثر الصفري

صورة لمشغل التتبع

بالنسبة لـ p > 1

توصيف مجرد

التوصيف باستخدام فضاءات سوبوليف-سلوبوديكي

عندما تكون قيمة p تساوي 1

المعكوس الأيمن: عامل تمديد الأثر

توسيع إلى مساحات أخرى

المشتقات العليا

مساحات أقل انتظامًا

لا يوجد أثر في L p

مخطط طبيعي معمّم

طلب

وجود الحلول الضعيفة وتفردها

الاعتماد المستمر على البيانات

انظر أيضاً

مراجع

لا يوجد أثر في L ^p