نموذج لي-كارتر

نموذج لي-كارتر هو خوارزمية عددية تُستخدم في التنبؤ بمعدلات الوفيات والتنبؤ بمتوسط ​​العمر المتوقع . ^{[ 1 ]} المدخلات إلى النموذج هي مصفوفة لمعدلات الوفيات الخاصة بكل فئة عمرية ، مرتبة ترتيبًا تصاعديًا حسب الزمن، وعادةً ما تكون الأعمار في الأعمدة والسنوات في الصفوف. أما المخرجات فهي مصفوفة متوقعة لمعدلات الوفيات بنفس تنسيق المدخلات.

يستخدم النموذج تحليل القيم المفردة (SVD) لإيجاد:

• متجه سلسلة زمنية أحادي المتغير${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$وهذا يغطي 80-90% من اتجاه الوفيات (هنا الرمز السفلي).${\displaystyle t}$(يشير إلى الوقت)،
• متجه${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$يصف ذلك معدل الوفيات النسبي في كل عمر (هنا الرمز السفلي)${\displaystyle x}$(يشير إلى العمر)، و
• ثابت القياس (يشار إليه هنا باسم${\displaystyle s_{1}}$(لكنها غير مذكورة بالاسم في الأدبيات).

${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$عادةً ما يكون النمو خطيًا، مما يعني أن الزيادة في متوسط ​​العمر المتوقع ثابتة نسبيًا عامًا بعد عام في معظم المجتمعات. قبل حساب تحليل القيم المفردة (SVD)، يتم تحويل معدلات الوفيات الخاصة بكل فئة عمرية أولًا إلى${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$، وذلك بأخذ لوغاريتماتها ، ثم توسيطها بطرح متوسطاتها الخاصة بكل فئة عمرية على مر الزمن. ويُرمز إلى المتوسط ​​الخاص بكل فئة عمرية على مر الزمن بـ${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$الرمز السفلي${\displaystyle x,t}$يشير إلى حقيقة أن${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$يتجاوز العمر والزمن.

يقوم العديد من الباحثين بتعديل${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$يتم حساب المتجه عن طريق ملاءمته مع متوسطات العمر المتوقعة لكل عام، باستخدام${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$و${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$تم توليدها باستخدام SVD. عند تعديلها باستخدام هذا النهج، ستطرأ تغييرات على${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$عادة ما تكون صغيرة.

للتنبؤ بمعدل الوفيات،${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$(سواء تم تعديلها أم لا) يتم إسقاطها في${\displaystyle n}$السنوات المستقبلية باستخدام نموذج ARIMA . التنبؤات المقابلة${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t+n}}$يتم استردادها عن طريق الضرب${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$بواسطة${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$والعنصر القطري الأول من S (عندما${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}$). يتم استعادة معدلات الوفيات الفعلية عن طريق أخذ الدوال الأسية لهذا المتجه.

بسبب خطية${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$يُنمذج هذا النموذج عمومًا على أنه مسار عشوائي ذو اتجاه. ويمكن حساب متوسط ​​العمر المتوقع ومقاييس جداول الحياة الأخرى من مصفوفة التنبؤ هذه بعد إضافة المتوسطات وأخذ الدوال الأسية للحصول على معدلات الوفيات العادية.

في معظم التطبيقات، تُولَّد فترات الثقة للتنبؤات عن طريق محاكاة تنبؤات متعددة للوفيات باستخدام طرق مونت كارلو . ويُعتبر نطاق الوفيات الواقع بين المئين 5% والمئين 95% من نتائج المحاكاة تنبؤًا صحيحًا. وتُجرى هذه المحاكاة بتوسيع${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$في المستقبل باستخدام التوزيع العشوائي بناءً على الخطأ المعياري لـ${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$مشتق من بيانات الإدخال.

تسعى الخوارزمية إلى إيجاد حل المربعات الصغرى للمعادلة:

${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})}=\mathbf {a} _{x}+\mathbf {b} _{x}\mathbf {k} _{t}+\epsilon _{x,t}}$

أين${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t}}$هي مصفوفة معدل الوفيات لكل فئة عمرية${\displaystyle x}$في كل عام${\displaystyle t}$.

1. الحوسبة${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$وهو المتوسط ​​بمرور الوقت لـ${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}$لكل فئة عمرية:

   ${\displaystyle \mathbf {a} _{x}={\frac {\sum _{t=1}^{T}{\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}}{T}}}$

2. الحوسبة${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$والتي سيتم استخدامها في تحليل القيم المفردة (SVD):

   ${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}=\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}-\mathbf {a} _{x}}$

3. احسب تحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$:

   ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}$

4. اشتقاق${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$،${\displaystyle s_{1}}$(القيمة الذاتية للقياس)، و${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$من${\displaystyle \mathbf {U} }$،${\displaystyle \mathbf {S} }$، و${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$:

   ${\displaystyle \mathbf {b} _{x}=(u_{1,1},u_{2,1},...,u_{x,1})}$

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t}=(v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,t})}$

5. تنبؤ بالمناخ${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$باستخدام نموذج ARIMA أحادي المتغير القياسي لـ${\displaystyle n}$سنوات إضافية:

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}={\text{ARIMA}}(\mathbf {k} _{t},n)}$

6. استخدم التوقعات${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$، مع الأصل${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$، و${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$لحساب معدل الوفيات المتوقع لكل فئة عمرية:

   ${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t+n}=\exp(\mathbf {a} _{x}+s_{1}\mathbf {k} _{t+n}\mathbf {b} _{x})}$

بدون تطبيق تحليل القيم المفردة (SVD) أو أي طريقة أخرى لتقليل الأبعاد ، تُعدّ جداول بيانات الوفيات سلسلة بيانات متعددة المتغيرات شديدة الارتباط، ويجعل تعقيد هذه السلاسل الزمنية متعددة الأبعاد من الصعب التنبؤ بها. وقد أصبح تحليل القيم المفردة (SVD) شائع الاستخدام كطريقة لتقليل الأبعاد في العديد من المجالات المختلفة، بما في ذلك من قِبل جوجل في خوارزمية ترتيب الصفحات .

طُوِّر نموذج لي-كارتر على يد رونالد د. لي ولورانس كارتر عام ١٩٩٢ في مقال بعنوان "نمذجة وتوقع معدل الوفيات في الولايات المتحدة". ^{[ ٢ ]} وقد انبثق هذا النموذج من عملهما في أواخر الثمانينيات وأوائل التسعينيات، حيث حاولا استخدام الإسقاط العكسي لاستنتاج المعدلات في علم السكان التاريخي . ^{[ ٣ ]} وقد استُخدم هذا النموذج من قِبَل إدارة الضمان الاجتماعي الأمريكية ، ومكتب الإحصاء الأمريكي ، والأمم المتحدة. وأصبح اليوم أكثر تقنيات التنبؤ بمعدل الوفيات استخدامًا في العالم. ^{[ ٤ ]}

أُدخلت تعديلات على نموذج لي-كارتر، أبرزها مراعاة السنوات المفقودة، وارتباط أعداد الذكور والإناث، والتماسك واسع النطاق في المجتمعات التي تشترك في نظام وفيات واحد (أوروبا الغربية، على سبيل المثال). يمكن الاطلاع على العديد من الأبحاث ذات الصلة على موقع البروفيسور رونالد لي الإلكتروني.

توجد حزم برمجية قليلة للتنبؤ باستخدام نموذج لي-كارتر.

• LCFIT مؤرشف في 18 أبريل 2022، في Wayback Machine عبارة عن حزمة قائمة على الويب مع نماذج تفاعلية.
• يقدم البروفيسور روب ج. هايندمان حزمة R لعلم السكان تتضمن إجراءات لإنشاء نموذج لي-كارتر والتنبؤ به.
• تشمل البدائل في R حزمة StMoMo الخاصة بـ Villegas و Millousovich و Kaishev (2015).
• يقدم البروفيسور جيرمان رودريغيز رمزًا لنموذج لي-كارتر باستخدام برنامج ستاتا .
• باستخدام برنامج Matlab ، قام البروفيسور إريك جوندو والبروفيسور مايكل روكينجر بتجميع مجموعة أدوات Longevity لتقدير المعلمات.