تحليل القيم المفردة

في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle \mathbf {M} }$هو​​${\displaystyle m\times m}$المصفوفة المربعة الحقيقية ، المصفوفات${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$يمكن اختيارها لتكون متعامدة حقيقية${\displaystyle m\times m}$المصفوفات .​${\displaystyle \mathbf {M} }$يمكن تفسير ذلك على أنه يمثل تحويلاً خطياً${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {M} \mathbf {x} }$من الفضاء الإقليدي​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ثم المصفوفات​${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$تمثل هذه الرموز دورانات أو انعكاسات الفضاء، بينما${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$يمثل هذا مقياس كل إحداثية${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$بمعامل​​${\displaystyle \sigma _{i}}$وبالتالي ، فإن تحليل القيم المفردة (SVD) يُفشل أي تحويل خطي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$إلى تركيبةمن ثلاثة تحويلات هندسية : دوران أو انعكاس${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ثم يتم إجراء تغيير في المقياس من إحداثية إلى أخرى .${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ثم يتبع ذلك دوران أو انعكاس آخر${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ .

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \mathbf {M} }$إذا كان له محدد موجب، فإن${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$يمكن اختيار كلا الدورانين بحيث يكون أحدهما مع انعكاس، والآخر بدون انعكاس.إذا كانت قيمة المحدد سالبة، فسيكون لأحدهما فقط انعكاس. أما إذا كانت قيمة المحدد صفرًا، فيمكن اختيار كل منهما بشكل مستقل ليكون من أي نوع.

في الحالة الأكثر عمومية عندما تكون المصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$حقيقي ولكنه ليس مربعًا، أي${\displaystyle m\times n}$مع​​${\displaystyle m\neq n}$، ويمكن تفسير ذلك على أنه تحويل خطي من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ثم​​${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$يمكن اختيارها لتكون دورانات/انعكاسات لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$و​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$على التوالي ؛ و${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$بالإضافة إلى توسيع نطاق الأول${\displaystyle \min\{m,n\}}$تُضيف الدالة Σ، بالإضافة إلى تغيير مقياس أول إحداثيات min {m, n} للمتجه، عددًا من الأصفار يساوي m − n إذا كان m > n، أو تُزيل آخر n − m إحداثيات إذا كان m < n، أي تُزيلالإحداثيات اللاحقة، وذلك لتحويل المتجه إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠ .

كما هو موضح في الشكل، يمكن تفسير القيم المفردة على أنها مقدار أنصاف محاور القطع الناقص في بعدين. ويمكن تعميم هذا المفهوم إلى${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد، مع القيم المفردة لأي${\displaystyle n\times n}$المصفوفة المربعة التي تُنظر إليها على أنها مقدار نصف محور ⁠${\displaystyle n}$القطع الناقص ذو الأبعاد. وبالمثل، فإن القيم المفردة لأي${\displaystyle m\times n}$يمكن اعتبار المصفوفة بمثابة مقدار نصف المحور لـ${\displaystyle n}$مجسم بيضاوي ذو أبعاد في${\displaystyle m}$الفضاء ذو ​​الأبعاد n ، على سبيل المثال كقطع ناقص في مستوى ثنائي الأبعاد (مائل) في فضاء ثلاثي الأبعاد. تشير القيم المفردة إلى مقدار نصف المحور، بينما تشير المتجهات المفردة إلى الاتجاه. انظر أدناه لمزيد من التفاصيل.

منذ​${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$بما أن المصفوفات أحادية، فإن أعمدة كل منها تشكل مجموعة من المتجهات المتعامدة ، والتي يمكن اعتبارها متجهات أساسية . المصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ يحدد متجه الأساس ⁠${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$إلى متجه الوحدة الممتد${\displaystyle \sigma _{i}\mathbf {u} _{i}}$وبحسب تعريف المصفوفة الوحدوية، ينطبق الأمر نفسه على منقولاتها المرافقة .${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}}$و​​${\displaystyle \mathbf {V} }$باستثناء أن التفسير الهندسي للقيم المفردة على أنها امتدادات يضيع . باختصار، أعمدة${\displaystyle \mathbf {U} }$،​​${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}}$،​​${\displaystyle \mathbf {V} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$⁠ هي قواعد متعامدة . متى ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$هيمصفوفة هيرميتية شبه موجبة ،${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} }$كلاهما يساويان المصفوفة الوحدوية المستخدمة في عملية التقطير .${\displaystyle \mathbf {M} }$ومع ذلك، عندما${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ ليس شبه موجب محدد وهيرميتي ولكنه لا يزال قابلاً للتقطير ، فإن تحليل القيم الذاتية وتحليل القيم المفردة له متميزان.

• الأول​${\displaystyle r}$أعمدة من​${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ هي أساس فضاء الأعمدة لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ .
• الأخير​${\displaystyle mr}$أعمدة من​${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ هي أساس الفضاء الصفري لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$⁠ .
• الأول​${\displaystyle r}$أعمدة من​${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ هي أساس فضاء الأعمدة لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$( مساحة الصفلـ​${\displaystyle \mathbf {M} }$( في الحالة الحقيقية).
• الأخير​${\displaystyle nr}$أعمدة من​${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ هي أساس الفضاء الصفري لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ .

لأن​${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} }$الأعمدة أحادية الوحدة${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}}$من​​${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ هي أساس متعامد لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$والأعمدة​​${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$من​​${\displaystyle \mathbf {V} }$⁠ هي أساس متعامد لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$( فيما يتعلق بالضرب القياسي القياسي على هذه المساحات).

التحويل الخطي$${\displaystyle T\colon \left\{{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{n}&\to \mathbb {C} ^{m}\\\mathbf {x} &\mapsto \mathbf {Mx} \end{aligned}}\right.}$$ يتميز هذا النظام بوصف بسيط للغاية فيما يتعلق بهذه القواعد المتعامدة: لدينا $${\displaystyle T(\mathbf {v} _{i})=\sigma _{i}\mathbf {u} _{i},\qquad i=1,\ldots ,\min\{m,n\},}$$ أين​${\displaystyle \sigma _{i}}$هو​​${\displaystyle i}$المدخل القطري رقم - من${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$و​​${\displaystyle T(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {0} }$لـ​​${\displaystyle i>\min\{m,n\}}$⁠ .

وبالتالي، يمكن تلخيص المحتوى الهندسي لنظرية SVD على النحو التالي: لكل تحويل خطي ⁠${\displaystyle T\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$يمكن للمرء أن يجد قواعد متعامدة لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$و​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$بحيث​​${\displaystyle T}$خرائط​​${\displaystyle i}$متجه الأساس رقم -th لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$إلى مضاعف غير سالب لـ${\displaystyle i}$متجه الأساس رقم -th لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$، ويرسل متجهات الأساس المتبقية إلى الصفر. بالنسبة لهذه الأسس، فإن الخريطة${\displaystyle T}$وبالتالي يتم تمثيلها بواسطة مصفوفة قطرية ذات عناصر قطرية حقيقية غير سالبة.

للحصول على فهم بصري أفضل للقيم المفردة وتحليل القيم المفردة - على الأقل عند العمل على فضاءات متجهة حقيقية - ضع في اعتبارك كرة الوحدة .${\displaystyle S}$في​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$الخريطة الخطية​${\displaystyle T}$⁠ يرسم هذه الكرة على شكل قطع ناقص في ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$القيم المفردة غير الصفرية هي ببساطة أطوال أنصاف محاور هذا القطع الناقص. خاصة عندما${\displaystyle n=m}$، وجميع القيم المفردة متميزة وغير صفرية، تحليل القيم المفردة للخريطة الخطية${\displaystyle T}$يمكن تحليلها بسهولة على أنها سلسلة من ثلاث حركات متتالية: لنأخذ القطع الناقص كمثال${\displaystyle T(S)}$وبالتحديد محاورها؛ ثم انظر إلى الاتجاهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أُرسل بواسطة​${\displaystyle T}$على هذه المحاور. هذه الاتجاهات متعامدة فيما بينها. قم أولاً بتطبيق قياس متساوي القياس .${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$إرسال هذه التوجيهات إلى محاور الإحداثيات الخاصة بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. في الخطوة الثانية، قم بتطبيق تحويل داخلي ⁠${\displaystyle \mathbf {D} }$يتم تحويلها قطريًا على طول محاور الإحداثيات، مع تمديدها أو تقليصها في كل اتجاه، باستخدام أطوال نصف المحور لـ${\displaystyle T(S)}$كمعاملات قياس . التركيب${\displaystyle \mathbf {D} \circ \mathbf {V} ^{*}}$ثم يرسل الكرة الوحدة إلى شكل بيضاوي متساوي القياس إلى${\displaystyle T(S)}$لتحديد الحركة الثالثة والأخيرة، قم بتطبيق التماثل الهندسي .${\displaystyle \mathbf {U} }$إلى هذا الشكل الإهليلجي للحصول على${\displaystyle T(S)}$. كما يمكن التحقق بسهولة، فإن التركيب ⁠${\displaystyle \mathbf {U} \circ \mathbf {D} \circ \mathbf {V} ^{*}}$يتزامن مع​${\displaystyle T}$⁠ .

عدد حقيقي غير سالب${\displaystyle \sigma }$⁠ هي قيمة مفردة لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$إذا وفقط إذا وُجدت متجهات وحدة${\displaystyle \mathbf {u} }$في​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$و​​${\displaystyle \mathbf {v} }$في​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بحيث​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Mv} &=\sigma \mathbf {u} ,\\[3mu]\mathbf {M} ^{*}\mathbf {u} &=\sigma \mathbf {v} .\end{aligned}}}$$

المتجهات​${\displaystyle \mathbf {u} }$و​​${\displaystyle \mathbf {v} }$تُسمى هذه المتجهات بالمتجهات المنفردة اليسرى والمتجهات المنفردة اليمنى لـ${\displaystyle \sigma }$، على التوالي.

في أي تحليل للقيم المفردة${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V} ^{*}}$المدخلات القطرية لـ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$تتضمن القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$الأول​​${\displaystyle p=\min\{m,n\}}$أعمدة من​${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} }$تمثل هذه المتجهات، على التوالي، متجهات مفردة يسارية ويمنية للقيم المفردة المقابلة. وبالتالي،

• أن​${\displaystyle m\times n}$مصفوفة​​${\displaystyle \mathbf {M} }$يحتوي على الأكثر${\displaystyle p}$قيم مفردة مميزة .
• من الممكن دائمًا إيجاد أساس وحدوي${\displaystyle \mathbf {U} }$لـ​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$مع مجموعة فرعية من متجهات الأساس التي تغطي متجهات القيم المفردة اليسرى لكل قيمة مفردة من${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ .
• من الممكن دائمًا إيجاد أساس وحدوي${\displaystyle \mathbf {V} }$لـ​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$مع مجموعة فرعية من متجهات الأساس التي تغطي متجهات القيم المفردة اليمنى لكل قيمة مفردة من${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ .

المدخلات القطرية لـ ⁠${\displaystyle \Sigma }$لا يشترط أن تكون القيم متميزة . القيمة المفردة${\displaystyle \sigma }$والتي تظهر من بينها${\displaystyle k}$⁠ تايمز لديها ⁠${\displaystyle k}$فضاء جزئي ذو بُعد n من المتجهات المنفردة اليسرى المناظرة. يمكن اعتبار أي أساس متعامد لهذا الفضاء الجزئي بمثابة الأعمدة المناظرة لمصفوفة ما .${\displaystyle \mathbf {U} }$، ويحدد بشكل فريد أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle k}$فضاء جزئي ذو أبعاد n من المتجهات المفردة اليمنى التي تشكل الأعمدة المقابلة لمصفوفة${\displaystyle \mathbf {V} }$. عندما​${\displaystyle \sigma \neq 0}$و​​${\displaystyle k=1}$تُسمى القيمة المفردة غير مُنحلة ، ويكون المتجه المفرد الأيسر والمتجه المفرد الأيمن المقابلين فريدين حتى الضرب بعامل طور (عدد مركب يساوي 1)، أو، في الحالة الحقيقية، فريدين حتى الإشارة. عندما${\displaystyle k>1}$، القيمة المفردة${\displaystyle \sigma }$يُطلق عليه اسم المنحط .

المتجهات المفردة اليسرى واليمنى ذات القيمة المفردة${\displaystyle 0}$تتضمن جميع متجهات الوحدة في النواة المشتركة والنواة، على التوالي، من${\displaystyle \mathbf {M} }$بحسب نظرية الرتبة والفراغ ، لا يمكن أن يكون لهذه الفضاءات الجزئية نفس البعد إذا${\displaystyle m\neq n}$حتى عندما تكون جميع القيم المفردة غير صفرية، إذا${\displaystyle m>n}$إذاً ، فإن النواة المشتركة غير تافهة، وفي هذه الحالة ...${\displaystyle \mathbf {U} }$مبطن بـ​${\displaystyle m-n}$متجهات الوحدة المتعامدة من النواة المشتركة. على العكس من ذلك ، إذا${\displaystyle m<n}$ثم​​${\displaystyle \mathbf {V} }$يتم حشوها بواسطة${\displaystyle n-m}$متجهات الوحدة المتعامدة من النواة. ومع ذلك، إذا كانت القيمة المفردة${\displaystyle 0}$موجودة ، الأعمدة الإضافية من${\displaystyle \mathbf {U} }$أو​​${\displaystyle \mathbf {V} }$تظهر بالفعل كمتجهات مفردة يسارية أو يمينية. [...، إذا كانت القيمة المفردة 0 موجودة، فلا يجب أن تكرر الأعمدة الإضافية من U أو V المتجهات المفردة اليسارية أو اليمينية المقابلة.] [وإلا، فلن يكون لـ U أو V رتبة عمودية كاملة.]

إذا كانت جميع القيم المفردة لمصفوفة مربعة${\displaystyle \mathbf {M} }$إذا كانت القيم غير صفرية وغير منحلة، فإن تحليلها إلى قيم مفردة يكون فريدًا حتى ضرب أي عمود من ⁠${\displaystyle \mathbf {U} }$والعمود المقابل من${\displaystyle \mathbf {V} }$بواسطة عامل طور عشوائي. وبشكل أعم، فإن تحليل القيم المفردة لأي مصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ فريد من نوعه حتى التحويلات الوحدوية المطبقة بشكل موحد على متجهات الأعمدة لكليهما ⁠${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} }$( والتي لا تخلط الأعمدة التي تتوافق مع القيم المفردة المتميزة).

يُعد تحليل القيم المفردة عامًا جدًا بمعنى أنه يمكن تطبيقه على أي${\displaystyle m\times n}$المصفوفة ، بينمالا يمكن تطبيق تحليل القيم الذاتية إلا على المصفوفات القابلة للتقطير المربع . ومع ذلك، فإن التحليلين مرتبطان.

إذا​${\displaystyle \mathbf {M} }$لديه SVD​${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$، تتحقق العلاقتان التاليتان: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} &=\mathbf {V} \mathbf {\Sigma } ^{*}\mathbf {U} ^{*}\,\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}=\mathbf {V} (\mathbf {\Sigma } ^{*}\mathbf {\Sigma } )\mathbf {V} ^{*},\\[3mu]\mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}&=\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}\,\mathbf {V} \mathbf {\Sigma } ^{*}\mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} (\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{*})\mathbf {U} ^{*}.\end{aligned}}}$$

تصف الأطراف اليمنى لهذه العلاقات تحليلات القيم الذاتية للأطراف اليسرى. وبالتالي:

• أعمدة ⁠${\displaystyle \mathbf {V} }$( يشار إليها باسم المتجهات المنفردة اليمنى) هي المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$⁠ .
• أعمدة ⁠${\displaystyle \mathbf {U} }$( يشار إليها باسم المتجهات المنفردة اليسرى) هي المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}}$⁠ .
• العناصر غير الصفرية لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$( القيم المفردة غير الصفرية) هي الجذور التربيعية للقيم الذاتية غير الصفرية لـ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}\mathbf {M} }$أو​​${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{*}}$⁠ .

في الحالة الخاصة لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$بما أن المصفوفة عادية ، وبالتالي مربعة أيضًا، فإن نظرية الطيف تضمن إمكانية تحويلها إلى مصفوفة قطرية أحادية باستخدام أساس من المتجهات الذاتية، وبالتالي تحليلها إلى ⁠${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {D} \mathbf {U} ^{*}}$لبعض المصفوفات الوحدوية${\displaystyle \mathbf {U} }$والمصفوفة القطرية​${\displaystyle \mathbf {D} }$بعناصر معقدة​${\displaystyle \sigma _{i}}$على طول القطر. عندما${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ موجبة شبه محددة ، الـ ⁠${\displaystyle \sigma _{i}}$ستكون أعدادًا حقيقية غير سالبة، لذا فإن التفكيك${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {D} \mathbf {U} ^{*}}$⁠ هو أيضًا تحليل للقيم المفردة. وإلا، فيمكن إعادة صياغته كتحليل للقيم المفردة عن طريق تحريك الطور ⁠${\displaystyle e^{i\varphi }}$من كل​${\displaystyle \sigma _{i}}$إما إلى ما يقابله${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$أو​​${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$. يرتبط تحليل القيم المفردة (SVD) بالمصفوفات غير الطبيعية بشكل طبيعي من خلال نظرية التحليل القطبي : ⁠${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {S} \mathbf {R} }$، حيث​${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {U} ^{*}}$هي شبه موجبة ومتجانسة، و${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$هو وحدة.

وبالتالي، باستثناء المصفوفات شبه الموجبة المحددة، فإن تحليل القيم الذاتية وتحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$على الرغم من ارتباطهما، إلا أنهما يختلفان: تحليل القيم الذاتية هو${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {D} \mathbf {U} ^{-1}}$، حيث​${\displaystyle \mathbf {U} }$ليس بالضرورة أن يكون موحدًا و${\displaystyle \mathbf {D} }$لا تكون بالضرورة موجبة شبه محددة، بينما تكون SVD كذلك.${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$، حيث​${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$هي قطرية وشبه موجبة، و${\displaystyle \mathbf {U} }$و​​${\displaystyle \mathbf {V} }$هي مصفوفات وحدوية لا ترتبط بالضرورة ببعضها إلا من خلال المصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$بينما لا تمتلك المصفوفات المربعة غير المعيبة فقطتحليلًا للقيم الذاتية، فإن أي${\displaystyle m\times n}$تحتوي المصفوفة على تحليل القيم المفردة (SVD).

يمكن استخدام تحليل القيم المفردة لحساب المعكوس الزائف للمصفوفة. المعكوس الزائف للمصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$باستخدام تحليل القيم المفردة${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V} ^{*}}$هو​ $${\displaystyle \mathbf {M} ^{+}=\mathbf {V} \mathbf {\Sigma } ^{+}\mathbf {U} ^{*},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ^{+}}$هو المعكوس الزائف لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$، والتي تتكون من استبدال كل عنصر قطري غير صفري في${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$عن طريق مقلوبها ونقل المصفوفة الناتجة. المعكوس الزائف هو إحدى طرق حلمسائل المربعات الصغرى الخطية .

يمكن كتابة مجموعة من المعادلات الخطية المتجانسة على النحو التالي :${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {0} }$للمصفوفة​​${\displaystyle \mathbf {A} }$متجه​​${\displaystyle \mathbf {x} }$، والمتجه الصفري​${\displaystyle \mathbf {0} }$الوضع النموذجي هو أن${\displaystyle \mathbf {A} }$معروف وغير صفري${\displaystyle \mathbf {x} }$يجب تحديد القيمة التي تحقق المعادلة. مثل هذه القيمة${\displaystyle \mathbf {x} }$ينتمي إلى​${\displaystyle \mathbf {A} }$الفضاء الصفري لـ ⁠ ويُطلق عليه أحيانًا اسم متجه صفري (يميني) لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$المتجه​​${\displaystyle \mathbf {x} }$يمكن وصف ⁠ بأنه متجه مفرد يميني يتوافق مع قيمة مفردة لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$هذا يساوي صفرًا. هذه الملاحظة تعني أنه إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا كانت المصفوفة مربعة وليس لها قيمة مفردة معدومة، فإن المعادلة ليس لها قيمة غير صفرية .${\displaystyle \mathbf {x} }$كحل . ويعني هذا أيضًا أنه إذا كانت هناك عدة قيم مفردة معدومة، فإن أي توليفة خطية من متجهات القيم المفردة اليمنى المقابلة تُعد حلاً صالحًا. وبالمثل لتعريف المتجه الصفري (اليميني)، فإن قيمة غير صفرية${\displaystyle \mathbf {x} }$مُرضٍ​​${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {0} }$، حيث​${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$يرمز إلى منقولة المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$يُطلق عليه اسم متجه الصفر الأيسر لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ .

تهدف مسألة المربعات الصغرى الكلية إلى إيجاد المتجه ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$الذي يقلل من معيار 2 لمتجه${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} }$في ظل القيد${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=1}$. اتضح أن الحل هو المتجه المفرد الأيمن لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ المقابل لأصغر قيمة مفردة.

من التطبيقات الأخرى لتحليل القيم المفردة (SVD) أنه يوفر تمثيلاً صريحاً لمدى وفضاء الصفر للمصفوفة .${\displaystyle \mathbf {M} }$. المتجهات الشاذة اليمنى المقابلة للقيم الشاذة المتلاشية لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ تمتد على الفضاء الصفري لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$والمتجهات المفردة اليسرى المقابلة للقيم المفردة غير الصفرية لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ تمتد على نطاق ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$⁠ .

ونتيجة لذلك، فإن رتبة ⁠${\displaystyle \mathbf {M} }$يساوي عدد القيم المفردة غير الصفرية، وهو نفس عدد العناصر القطرية غير الصفرية في${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$في الجبر الخطي العددي ، يمكن استخدام القيم المفردة لتحديد الرتبة الفعلية للمصفوفة، حيث قد يؤدي خطأ التقريب إلى قيم مفردة صغيرة ولكنها غير صفرية في مصفوفة ناقصة الرتبة. ويُفترض أن القيم المفردة التي تتجاوز فجوة كبيرة تُعادل الصفر عدديًا .

تتطلب بعض التطبيقات العملية حل مشكلة تقريب المصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$باستخدام مصفوفة أخرى${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}}$، يقال إنه مبتور ، وله رتبة محددة${\displaystyle t}$في حالة أن التقريب يعتمد على تقليل معيار فروبينيوس للفرق بين${\displaystyle \mathbf {M} }$و​​${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}}$مع مراعاة القيد الذي${\displaystyle \operatorname {rank} \!{\bigl (}{\tilde {\mathbf {M} }}{\bigr )}=t}$، اتضح أن الحل يُعطى بواسطة تحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$، أي $${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}=\mathbf {U} {\tilde {\mathbf {\Sigma } }}\mathbf {V} ^{*},}$$ أين${\displaystyle {\tilde {\mathbf {\Sigma } }}}$هي نفس المصفوفة${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$باستثناء أنه لا يحتوي إلا على${\displaystyle t}$أكبر القيم المفردة (تُستبدل القيم المفردة الأخرى بالصفر). أو، بصورة مكافئة، بواسطة تحليل القيم المفردة المقتطع . يُعرف هذا باسم نظرية إيكارت-يونغ ، حيث أثبتها هذان المؤلفان في عام 1936. ^{[ أ ]}

إحدى النتائج العملية لتقريب الرتبة المنخفضة الذي يوفره تحليل القيم المفردة (SVD) هي أن الصورة الرمادية ، المُمثلة كـ${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$، ويمكن تمثيلها بكفاءة عن طريق الاحتفاظ بالأول${\displaystyle k}$القيم المفردة والمتجهات المقابلة لها. التفكيك المقتطع $${\displaystyle \mathbf {A} _{k}=\sum _{j=1}^{k}\sigma _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {v} _{j}^{\mathsf {T}}}$$ يُعطي صورة بأفضل ما في${\displaystyle 2}$-خطأ المعيار من بين جميع الرتب-${\displaystyle k}$التقريبات . وبالتالي، تصبح المهمة إيجاد تقريب يوازن بين الحفاظ على الدقة الإدراكية وعدد المتجهات المطلوبة لإعادة بناء الصورة. التخزين${\displaystyle \mathbf {A} _{k}}$لا يتطلب الأمر سوى${\displaystyle k(n+m+1)}$مقارنة الأرقام العشرية بـ${\displaystyle nm}$الأعداد الصحيحة. وينطبق هذا المبدأ نفسه على الصور الملونة من خلال تطبيق هذه العملية على كل قناة أو تكديس القنوات في مصفوفة واحدة.

بما أن القيم المفردة لمعظم الصور الطبيعية تتلاشى بسرعة، فإن معظم تباينها غالباً ما يتم التقاطه بواسطة قيمة صغيرة .${\displaystyle k}$. لـ​${\displaystyle 1528\times 1225}$في الصورة الرمادية، يمكننا تحقيق خطأ نسبي قدره${\displaystyle 0.7\%}$بأقل من ⁠${\displaystyle k=100}$⁠ . ^{[ 1 ]} من الناحية العملية، يمكن أن يكون حساب SVD مكلفًا حسابيًا للغاية، وعادة ما يكون الضغط الناتج أقل كفاءة في استخدام التخزين من خوارزمية متخصصة مثل JPEG .

يمكن اعتبار تحليل القيم المفردة (SVD) بمثابة تفكيك مصفوفة إلى مجموع مرتب ومرجح من الرتب-${\displaystyle 1}$المصفوفات . كل رتبة-${\displaystyle 1}$مصفوفة​​${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ قابلة للفصل ، بمعنى أنه يمكن كتابتها كحاصل ضرب خارجي لمتجهين: ⁠${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{*}}$كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$هو ناتج ضرب عنصر واحد من متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {u} }$مضروبًا في عنصر واحد من متجه الصف${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$أي ،​${\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}=u_{i}{\overline {v_{j}}}}$⁠ .

وبشكلٍ أدق، يقوم تحليل القيم المفردة (SVD) بتحليل المصفوفة .${\displaystyle \mathbf {M} }$كمجموع عدة رتب-${\displaystyle 1}$المصفوفات​​${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$⁠ : $${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}\mathbf {A} _{i}=\sum _{i}\sigma _{i}\mathbf {u} _{i}\mathbf {v} _{i}^{*},}$$ أين​${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$و​​${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$تمثل هذه المتجهات المفردة اليسرى واليمنى المقابلة لكل قيمة مفردة .${\displaystyle \sigma _{i}}$عدد القيم غير الصفرية${\displaystyle \sigma _{i}}$⁠ هو بالضبط رتبة المصفوفة.

يمكن استخدام تحليل القيم المفردة (SVD) لإيجاد تفكيك مرشح معالجة الصور إلى مرشحين منفصلين، أفقي ورأسي. غالبًا ما تظهر النماذج المنفصلة في الأنظمة البيولوجية، ويُعد تحليل القيم المفردة مفيدًا لتحليل هذه الأنظمة. على سبيل المثال، يمكن وصف بعض الحقول الاستقبالية للخلايا البسيطة في المنطقة البصرية V1 وصفًا دقيقًا ^{[ 2 ]} بواسطة مرشح غابور في المجال المكاني مضروبًا بدالة تعديل في المجال الزمني. وبالتالي، عند إعطاء مرشح خطي مُقَيَّم، على سبيل المثال، من خلال الارتباط العكسي ، يمكن إعادة ترتيب البُعدين المكانيين في بُعد واحد، مما ينتج عنه مرشح ثنائي الأبعاد (مكان، زمن) يمكن تفكيكه باستخدام تحليل القيم المفردة. العمود الأول من${\displaystyle \mathbf {U} }$في تحليل القيم المفردة ، يكون الناتج دالة غابور، بينما يكون العمود الأول من${\displaystyle \mathbf {V} }$يمثل هذا التعديل الزمني (أو العكس). ويمكن بعد ذلك تحديد مؤشر قابلية الفصل. $${\displaystyle \alpha ={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sum _{i}\sigma _{i}^{2}}},}$$ وهو جزء من القوة في المصفوفة${\displaystyle \mathbf {M} }$[ ^{3 ]}​^​

من الممكن استخدام تحليل القيم المفردة لمصفوفة مربعة${\displaystyle \mathbf {A} }$لتحديد المصفوفة المتعامدة​${\displaystyle \mathbf {Q} }$الأقرب إلى​${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ . يتم قياس مدى التطابق باستخداممعيار فروبينيوس ⁠${\displaystyle \mathbf {Q} -\mathbf {A} }$الحل هو الناتج${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$[ ^{4 ] [ 5 ]} وهذا منطقي بديهيًا لأن المصفوفة المتعامدة سيكون لها التفكيك ^التالي :${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {I} \mathbf {V} ^{*}}$أين​​${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة؛ لذا، إذا${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{*}}$ثم المنتج​${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$يُعادل ذلك استبدال القيم المفردة بالواحدات. وبصورة مكافئة، يكون الحل هو المصفوفة الوحدوية .${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$من التحلل القطبي${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {R} \mathbf {P} =\mathbf {P} '\mathbf {R} }$بأي ترتيب من التمدد والدوران، كما هو موضح أعلاه.

تُعدّ مسألة بروكروستس المتعامدة مشكلة مشابهة، ولها تطبيقات مثيرة للاهتمام في تحليل الأشكال ، وتتمثل في إيجاد مصفوفة متعامدة .${\displaystyle \mathbf {Q} }$والتي تُطابق بشكل أدق${\displaystyle \mathbf {A} }$إلى​​${\displaystyle \mathbf {B} }$. على وجه التحديد، $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\underset {\Omega }{\operatorname {argmin} }}\|\mathbf {A} \mathbf {\Omega } -\mathbf {B} \|_{F}\quad {\text{subject to}}\quad \mathbf {\Omega } ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } =\mathbf {I} ,}$$ أين${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$يشير إلى معيار فروبينيوس.

تُعادل هذه المسألة إيجاد أقرب مصفوفة متعامدة لمصفوفة معطاة .${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} }$⁠ .

تستخدم خوارزمية كابش (المعروفة بمسألة وهبة في مجالات أخرى) تحليل القيم المفردة لحساب الدوران الأمثل (بالنسبة لتقليل المربعات الصغرى) الذي يُحاذي مجموعة من النقاط مع مجموعة نقاط مقابلة. وتُستخدم، من بين تطبيقات أخرى، لمقارنة هياكل الجزيئات.

يمكن استخدام SVD لإنشاء المكونات الرئيسية في تحليل المكونات الرئيسية على النحو التالي: ^{[ 6 ]}

يترك${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{N\times p}}$لنفترض أن لدينا مصفوفة بيانات حيث كل عنصر من عناصرها${\displaystyle N}$تمثل الصفوف ملاحظة مركزية متوسطة (من حيث الميزات)، كل منها ذو بُعد ⁠${\displaystyle p}$⁠ .

تحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$يكون: $${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {V} \mathbf {\Sigma } \mathbf {U} ^{*}.}$$

نرى ذلك${\displaystyle \mathbf {V} \mathbf {\Sigma } }$يحتوي على درجات صفوف${\displaystyle \mathbf {X} }$(أي كل ملاحظة)،${\displaystyle \mathbf {U} }$هي المصفوفة التي أعمدتها عبارة عن متجهات تحميل المكونات الرئيسية. ^{[ 6 ]}

تم تطبيق تحليل القيم المفردة (SVD) والمعكوس الزائف بنجاح في معالجة الإشارات ^{[ 7 ]} ، ومعالجة الصور ^{[ 8 ]} ، والبيانات الضخمة (على سبيل المثال، في معالجة الإشارات الجينومية) ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] .}

يُستخدم تحليل القيم المفردة (SVD) على نطاق واسع في دراسة مسائل المعكوس الخطي ، وهو مفيد في تحليل أساليب التنظيم مثل أسلوب تيخونوف . كما يُستخدم بكثرة في الإحصاء، حيث يرتبط بتحليل المكونات الرئيسية وتحليل التطابق ، وفي معالجة الإشارات والتعرف على الأنماط . ويُستخدم أيضًا في تحليل الأنماط باستخدام المخرجات فقط، حيث يمكن تحديد أشكال الأنماط غير المُقاسة من المتجهات المفردة. ومن استخداماته الأخرى الفهرسة الدلالية الكامنة في معالجة النصوص باللغة الطبيعية.

في الحسابات العددية العامة التي تتضمن أنظمة خطية أو مُخطّطة، يوجد ثابت عالمي يُحدد انتظام أو تفرد المسألة، وهو "رقم حالة" النظام .${\displaystyle \kappa =\sigma _{\text{max}}/\sigma _{\text{min}}}$. غالبًا ما يتحكم في معدل الخطأ أو معدل التقارب لخوارزمية حسابية معينة على هذه الأنظمة. ^{[ 13 ] [ 14 ]}