مشكلة ليموين

في الهندسة ، تُعد مسألة ليموين مسألة إنشاء باستخدام المسطرة والفرجار طرحها عالم الرياضيات الفرنسي إميل ليموين في عام 1868: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بمعلومية رأس واحد من كل مثلث متساوي الأضلاع موضوع على أضلاع مثلث ، قم بإنشاء المثلث الأصلي.

نُشرت المسألة تحت عنوان السؤال رقم 864 في مجلة "الحوليات الجديدة للرياضيات" (السلسلة 2، المجلد 7 (1868)، صفحة 191). وتكمن أهمية هذه المسألة في أن مناقشة لودفيج كيبرت لحلها، والمنشورة في مجلة "الحوليات الجديدة للرياضيات" (السلسلة 2، المجلد 8 (1869)، الصفحات 40-42)، تضمنت وصفًا لقطع زائد يُعرف الآن باسم قطع كيبرت الزائد . ^{[ 3 ]}

يثبت كيبرت صحة بنائه من خلال إثبات بعض الليمات . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

مشكلة

لتكن A1 _و B1 _و C1 رؤوس المثلثات متساوية _{الأضلاع} الموضوعة على أضلاع مثلث .${\displaystyle \triangle ABC.}$⁠ بالنظر إلى A ₁ ، B ₁ ، C ₁ قم بإنشاء A، B، C .

اللمة 1

إذا كانت على الأضلاع الثلاثة لمثلث عشوائي${\displaystyle \triangle ABC,}$يصف أحدهما المثلثات متساوية الأضلاع${\displaystyle \triangle ABC_{1},}$⁠ ⁠${\displaystyle \triangle ACB_{1},}$⁠ ⁠${\displaystyle \triangle BCA_{1},}$ثم القطع المستقيمة${\displaystyle {\overline {AA_{1}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {BB_{1}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {CC_{1}}}}$⁠ متساوية، وتلتقي في نقطة P ، والزوايا التي تشكلها مع بعضها البعض تساوي 60 درجة.

اللمة 2

إذا كان على${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$يقوم المرء بنفس البناء كما هو الحال في${\displaystyle \triangle ABC,}$سيكون هناك ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{2},}$⁠ ⁠${\displaystyle \triangle A_{1}C_{1}B_{2},}$⁠ ⁠${\displaystyle \triangle B_{1}C_{1}A_{2},}$ثلاثة قطع مستقيمة متساوية${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {B_{2}B_{2}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {C_{2}C_{2}}},}$والتي ستتفق أيضاً عندالنقطة P.

اللمة 3

A و B و C هي على التوالي نقاط منتصف ⁠${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {B_{2}B_{2}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {C_{2}C_{2}}}.}$⁠

حل

• صف الأجزاء${\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {A_{1}C_{1}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {B_{1}C_{1}}}}$المثلثات متساوية الأضلاع${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},}$⁠ ⁠${\displaystyle \triangle A_{1}C_{2}B_{2},}$⁠ ⁠${\displaystyle \triangle B_{1}C_{1}A_{2},}$على التوالي .
• نقاط المنتصف لـ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {B_{2}B_{2}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {C_{2}C_{2}}}}$⁠ هي، على التوالي، رؤوسالمثلث المطلوب A و B و C.

بالإضافة إلى كيبرت، قدّم العديد من الأشخاص حلولهم خلال الفترة 1868-1869، بمن فيهم السادة ويليير (في آرلون)، وبروكارد، وكلافيري (ليسيه كليرمون)، وجوفر (ليسيه شارلمان)، وراسين (ليسيه بواتييه)، وأوجييه (ليسيه كاين)، وفي. نيبيلوفسكي، وإل. هنري لوريز. وكان حل كيبرت أكثر اكتمالاً من الحلول الأخرى. ^{[ 3 ]}