خطوط متزامنة

في المثلث ، توجد أربعة أنواع أساسية من مجموعات الخطوط المتلاقية وهي الارتفاعات ، ومنصفات الزوايا ، والمتوسطات ، والمنصفات العمودية :

• تنطلق ارتفاعات المثلث من كل رأس من رؤوسه وتلتقي بالضلع المقابل بزاوية قائمة . وتُسمى النقطة التي تلتقي فيها الارتفاعات الثلاثة بالمركز العمودي .
• منصفات الزوايا هي أشعة تنطلق من كل رأس من رؤوس المثلث وتنصف الزاوية المقابلة لها . وتلتقي جميعها عند مركز الدائرة الداخلية .
• تصل المتوسطات كل رأس من رؤوس المثلث بمنتصف الضلع المقابل له. وتلتقي المتوسطات الثلاثة عند مركز المثلث .
• المنصفات العمودية هي خطوط تنطلق من منتصفات أضلاع المثلث بزاوية 90 درجة. وتلتقي المنصفات العمودية الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث .

تتقاطع مجموعات أخرى من الخطوط المرتبطة بالمثلث أيضًا. على سبيل المثال:

• أي متوسط ​​(وهو بالضرورة منصف لمساحة المثلث ) يتقاطع مع منصفين آخرين للمساحة، كل منهما موازٍ لأحد أضلاع المثلث. ^{[ 1 ]}
• قاطع المثلث هو قطعة مستقيمة تنصف محيط المثلث، ولها إحدى نهايتيها في منتصف أحد أضلاعه الثلاثة. تلتقي هذه القطع الثلاث في مركز دائرة سبيكر ، وهي الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط .
• فاصل المثلث هو قطعة مستقيمة لها إحدى نهايتيها عند أحد رؤوس المثلث الثلاثة وتنصف محيطه. وتلتقي الفواصل الثلاثة عند نقطة ناجل في المثلث .
• أي خط يمر عبر مثلث ويقسم مساحته ومحيطه إلى نصفين يمر بمركز الدائرة الداخلية للمثلث ، ولكل مثلث خط واحد أو خطان أو ثلاثة من هذه الخطوط. ^{[ 2 ]} وبالتالي، إذا كان هناك ثلاثة خطوط، فإنها تتقاطع عند مركز الدائرة الداخلية.
• نقطة تاري للمثلث هي نقطة التقاء الخطوط المارة برؤوس المثلث والعمودية على الأضلاع المقابلة لمثلث بروكارد الأول للمثلث .
• نقطة شيفلر للمثلث هي نقطة التقاء خطوط أويلر لأربعة مثلثات: المثلث المعني، والمثلثات الثلاثة التي يشترك كل منها في رأسين معه ويكون مركزها الداخلي هو الرأس الآخر.
• تُعرف نقاط نابليون وتعميماتها بنقاط التقاء الخطوط. فعلى سبيل المثال، نقطة نابليون الأولى هي نقطة التقاء الخطوط الثلاثة المرسومة على الجانب الخارجي للضلع المقابل للرأس، والتي تمتد من رأس المثلث المتساوي الأضلاع إلى مركزه. ومن تعميمات هذا المفهوم نقطة جاكوبي .
• نقطة دي لونغشامب هي نقطة التقاء عدة خطوط مع خط أويلر .
• تتقاطع ثلاثة خطوط، كل منها مُشكَّل برسم مثلث متساوي الأضلاع خارجي على أحد أضلاع مثلث مُعطى وتوصيل الرأس الجديد بالرأس المقابل في المثلث الأصلي، في نقطة تُسمى المركز المتساوي الزوايا الأول . وفي حالة عدم وجود زاوية في المثلث الأصلي أكبر من 120 درجة، تُسمى هذه النقطة أيضًا نقطة فيرما .
• نقطة أبولونيوس هي نقطة التقاء ثلاثة خطوط، كل منها يربط نقطة التماس للدائرة التي تتماس معها الدوائر الخارجية للمثلث داخليًا، بالرأس المقابل للمثلث.

• يتقاطع ثنائيا متوسطي الشكل الرباعي ( القطعتان الواصلتان بين منتصفي ضلعين متقابلين) والقطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي قطريه، وينصف كل منهما الآخر عند نقطة تقاطعهما. ^{[ 3 ] : ص 125}
• في الشكل الرباعي المماسي ، تلتقي منصفات الزوايا الأربع في مركز الدائرة الداخلية . ^{[ 4 ]}
• ترد هنا حالات التقاء أخرى لشكل رباعي مماس .
• في الشكل الرباعي الدائري ، تتقاطع أربعة قطع مستقيمة، كل منها عمودية على أحد الأضلاع وتمر بمنتصف الضلع المقابل . ^{[ 3 ] : ص 131، [ 5 ]} تُسمى هذه القطع المستقيمة بالارتفاعات ، ^{[ 6 ]} وهو اختصار لارتفاع نقطة المنتصف. وتُسمى نقطة التقائها بالمركز المضاد .
• يكون الشكل الرباعي المحدب مماسًا خارجيًا إذا وفقط إذا كان هناك ستة منصفات زوايا متقاطعة: منصفات الزوايا الداخلية عند زاويتين متقابلتين من الرؤوس، ومنصفات الزوايا الخارجية عند زاويتين أخريين من الرؤوس، ومنصفات الزوايا الخارجية عند الزوايا المتكونة حيث تتقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة.

• إذا كانت الأضلاع المتتالية لسداسي دائري هي a و b و c و d و e و f ، فإن الأقطار الرئيسية الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة إذا وفقط إذا كان ace = bdf . ^{[ 7 ]}
• إذا كان للسداسي قطع مخروطي داخلي ، فإن أقطاره الرئيسية تتقاطع وفقًا لنظرية بريانشون (كما في الصورة أعلاه).
• تنشأ الخطوط المتوازية في ثنائية نظرية بابوس السداسية .
• لكل ضلع من أضلاع الشكل السداسي الدائري، نمدد الأضلاع المجاورة إلى نقطة تقاطعها، لنشكل مثلثًا خارجيًا للضلع المعطى. عندئذٍ، تكون القطع المستقيمة الواصلة بين مركزي الدوائر المحيطة بالمثلثات المتقابلة متلاقية. ^{[ 8 ]}

• إذا كان للمضلع المنتظم عدد زوجي من الأضلاع، فإن الأقطار التي تربط الرؤوس المتقابلة تتقاطع في مركز المضلع.

• تتقاطع المنصفات العمودية لجميع أوتار الدائرة في مركز الدائرة .
• الخطوط العمودية على المماسات للدائرة عند نقاط التماس تتقاطع في المركز.
• جميع منصفات المساحة ومنصفات محيط الدائرة هي أقطار ، وهي متقاطعة في مركز الدائرة.

• جميع منصفات المساحة ومنصفات محيط القطع الناقص تتقاطع في مركز القطع الناقص.

• في القطع الزائد، تتلاقى النقاط التالية: (1) دائرة تمر عبر بؤرتي القطع الزائد وتتمركز في مركز القطع الزائد؛ (2) أي من الخطوط المماسية للقطع الزائد عند رؤوسه؛ و(3) أي من خطوط التقارب للقطع الزائد.
• ما يلي متزامن أيضًا: (1) الدائرة التي مركزها مركز القطع الزائد والتي تمر عبر رؤوس القطع الزائد؛ (2) أي من الدليلين؛ و (3) أي من الخطوط المقاربة.

• في رباعي الأوجه ، تتقاطع جميع المتوسطات الأربعة والمتوسطات الثنائية الثلاثة في نقطة تسمى مركز رباعي الأوجه. ^{[ 9 ]}
• إن رباعي الأوجه المتساوي الديناميكية هو الذي تكون فيه الخطوط السيفية التي تربط الرؤوس بمراكز الأوجه المتقابلة متزامنة، أما رباعي الأوجه المتساوي الزوايا فله خطوط سيفية متزامنة تربط الرؤوس بنقاط التماس بين الأوجه المتقابلة والكرة المحيطة برباعي الأوجه.
• في رباعي الأوجه المتعامد، تكون الارتفاعات الأربعة متزامنة.