نقطة ليموين

في الهندسة ، تُعرف نقطة ليموين ، أو نقطة غريب ، أو نقطة التناظر المتوسط ، بأنها نقطة تقاطع التناظر المتوسطات الثلاثة ( المتوسطات المنعكسة عند منصفات الزوايا المرتبطة بها ) للمثلث. بعبارة أخرى، هي النقطة المتناظرة مع مركز المثلث.

وصف روس هونسبرغر وجودها بأنها "إحدى جواهر التاج في الهندسة الحديثة". ^{[ 1 ]}

في موسوعة مراكز المثلثات، تظهر نقطة التناظر المتوسط ​​كالنقطة السادسة، X(6). ^{[ 2 ]} بالنسبة للمثلث غير المتساوي الأضلاع، تقع هذه النقطة في القرص المتعامد المفتوح المثقوب عند مركزه، ويمكن أن تكون أي نقطة فيه. ^{[ 3 ]}

النقطة المتناظرة في مثلث أطوال أضلاعه a و b و c لها إحداثيات ثلاثية متجانسة [ a  : b  : c ] . ^{[ 2 ]}

إحدى الطرق الجبرية لإيجاد نقطة التناظر المتوسط ​​هي التعبير عن المثلث بثلاث معادلات خطية بمجهولين، مُعطاة بالصيغة المعيارية لهيس للخطوط المتناظرة. حل هذا النظام الزائد التحديد، الذي يُحسب بطريقة المربعات الصغرى، يُعطي إحداثيات النقطة. كما أنه يحل مسألة التحسين لإيجاد النقطة ذات أقل مجموع لمربعات المسافات من الأضلاع.

يمكن إنشاء نقطة التناظر المتوسط ​​للمثلث ABC بالطريقة التالية: لنفترض أن المماسات للدائرة المحيطة بالمثلث ABC والمارّة بالنقطتين B و C تتقاطع عند النقطة A' ، وبالمثل، لنُعرّف النقطتين B' و C' ؛ عندئذٍ يكون المثلث A'B'C' هو المثلث المماسي للمثلث ABC ، وتتقاطع الخطوط AA' و BB' و CC' عند نقطة التناظر المتوسط ​​للمثلث ABC . ^{[ أ ]} يمكن إثبات أن هذه الخطوط الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة باستخدام نظرية بريانشون . الخط AA' هو خط تناظر متوسط، كما يتضح من رسم الدائرة التي مركزها A' والمارّة بالنقطتين B و C.

نقطة جيرجون في المثلث هي نفسها النقطة المتوسطة في مثلث التماس . ^{[ 4 ]} النقطة الوسطى في المثلث هي نفسها النقطة المتوسطة في المثلث اللامركزي .

مركز ثقل المثلث الدوّاسي للنقطة المتناظرة هو النقطة المتناظرة نفسها. ^{[ 1 ]} مركز ثقل المثلث المضادّ الدوّاسي للنقطة المتناظرة هو مركز الدائرة المحيطة . ^{[ 5 ]}

للاطلاع على الامتداد إلى رباعي الأوجه غير المنتظم، انظر إلى المتماثل .

أثبت عالم الرياضيات الفرنسي إميل ليموين وجود النقطة المتناظرة في عام 1873، ونشر إرنست فيلهلم غريبي ورقة بحثية عنها في عام 1847. كما لاحظ سيمون أنطوان جان لويلييه هذه النقطة في عام 1809. ^{[ 1 ]}

• وايسشتاين، إريك دبليو. "النقطة الوسيطة" . عالم الرياضيات .